1、 高三一轮复习 2.11导数的应用（检测教师版） 时间:50分钟 总分：70分 班级： 姓名： 一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()A(，2) B(0,3)C(1,4) D(2，)答案D解析函数f(x)(x3)ex的导数为f(x)(x3)exex(x3)ex(x2)ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当f(x)0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f(x)(x2)ex0，解得x2.2设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可能是()答案C解析由函数f(x)在x2处取得极小值，
2、可得f(2)0，且当x(a，2)(a2)时，f(x)单调递减，即f(x)2)时，f(x)单调递增，即f(x)0.所以函数yxf(x)在区间(a，2)(a2)内的函数值为正，在区间(2，b)(2b0)，则获得最大利润时的年产量为()A1百万件 B2百万件C3百万件 D4百万件答案C解析y3x2273(x3)(x3)，当0x0；当x3时，y0，即a23a180.a6或a3.5已知f(x)定义域为(0，)，f(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)(x1)f(x21)的解集是()A(0,1) B(1，) C(1,2) D(2，)答案 D解析 令g(x)xf(x)，则g(x)f(x)xf(x)，因为f
3、(x)xf(x)，所以g(x)(x1)f(x21)得(x1)f(x1)(x21)f(x21)，即g(x1)g(x21)，所以x12.6 设函数yf(x)在(0，)内有定义，对于给定的正数K，定义函数.fK(x)取函数f(x)，恒有fK(x)f(x)，则( )AK的最大值为BK的最小值为CK的最大值为2 DK的最小值为2答案B解析由f(x)，令f(x)0，得x1.当x(0,1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)x2，则不等式(x2 014)2f(x2 014)4f(2)0的解集为_答案(，2 016)解析由2f(x)xf(x)x2，x0得2xf(x)x2f(x)x3，所以x2f(x)x30
4、.令F(x)x2f(x)(x0)，则F(x)0(x0，即为F(x2 014)F(2)0，即F(x2 014)F(2)，又因为F(x)在(，0)上是减函数，所以x2 0142，所以xln 21且x0时，exx22ax1.(1)解由f(x)ex2x2a，xR，知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)22ln 22a故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a22ln 22a
5、.(2)证明设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当aln 21时，g(x)取最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，都有g(x)0.即exx22ax10，故当aln 21且x0时，exx22ax1.12 (北京市西城区2016第一学期期末)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底
6、面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)因为r0，又由h0可得r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0，故V(r)在(5,5)上为减函数由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大