1、北京高考压轴卷数学一、选择题（本大题共10小题每小题45分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设复数z满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知得，根据复数的除法法则，求出的实部和虚部，即可求解.【详解】，.故选:A.【点睛】本题考查复数的代数运算以及复数模长，属于基础题.2.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先解不等式得集合，再求出的补集，最后根据交集的定义求结果.【详解】由，得或，即或，又.故选：B.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，集合的交集、补集的运算，是基础题.3.已知定义域为奇函数满足，
2、且当时，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意可知函数是以为周期的函数，从而可得，再根据函数为奇函数可得，将代入表达式即可求解.【详解】由满足，所以函数的周期，又因为函数为奇函数，且当时，所以.故选：B【点睛】本题考查了利用函数的周期性、奇偶性求函数值，属于基础题.4.函数图象的大致形状是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用奇偶性可排除A、C；再由的正负可排除D.【详解】，故为奇函数，排除选项A、C；又，排除D，选B.故选：B.【点睛】本题考查根据解析式选择图象问题，在做这类题时，一般要结合函数的奇偶性、单调性、对称性以及特殊点函数值来判断，
3、是一道基础题.5.已知坐标原点到直线的距离为，且直线与圆相切，则满足条件的直线有（ ）条A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设出直线：，再根据点到直线的距离为和直线与圆相切列方程组成，解得，即可求解.【详解】显然直线有斜率，设：，则，即，又直线与圆相切， 联立，所以直线的方程为.故选：A【点睛】本题考查了直线与圆相切的切线问题、点到直线的距离公式，属于基础题.6.函数的单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】令，求解即得【详解】令因此 故函数的单调递增区间是故选：C【点睛】本题考查了正弦型函数的单调性，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.
4、7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A. 20B. 10C. 30D. 60【答案】B【解析】【分析】根据三视图还原几何体，根据棱锥体积公式可求得结果【详解】由三视图可得几何体直观图如下图所示：可知三棱锥高：；底面面积：三棱锥体积：本题正确选项：【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图还原几何体，从而准确求解出三棱锥的高和底面面积.8.已知点在抛物线C：的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由已知得，抛物线的准线方程为，且过点，故，则，则直线AF的斜率，选C考点：1、抛物线的标准方程和简单几何性质；2
5、、直线的斜率9.已知，则“”是“”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件【答案】C【解析】【分析】根据向量的垂直关系，可得，简单计算，可得结果.【详解】由，则又，所以若，且，所以，则所以“”是“”的充要条件故选：C【点睛】本题考查向量的垂直的数量积表示以及计算，同时考查了充分、必要条件，识记概念与计算公式，属基础题.10.已知随机变量的分布列，则下列说法正确的是( )A. 存在x，y(0，1)，E()B. 对任意x，y(0，1)，E()C. 对任意x，y(0，1)，D()E()D. 存在x，y(0，1)，D()【答案】C【解析】【分析】表示出期望与
6、方差，利用基本不等式证明不等关系。【详解】解：依题意可得，因为所以即故，错误；即，故成立；故错误故选：【点睛】本题考查简单随机变量的分布列中期望和方差的运算，属于难题。二填空题（本大题共5小题每小题5分，共25分）11.已知曲线的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为_.【答案】2【解析】【分析】根据曲线的切线斜率即对应的函数在切点处的导数值，令导数，解得的值，即为得出结果【详解】解：由于，则，由导数的几何意义可知，曲线的切线斜率即对应的函数在切点处的导数值，曲线的一条切线斜率是3，令导数，可得，所以切点的横坐标为2.故答案为：2【点睛】本题考查导数的几何意义和曲线上某点处的切线斜率的意义，属
7、于基础题12.函数的最小正周期等于_.【答案】【解析】【分析】利用降幂公式整理化简，再由三角函数的最小正周期求得答案.【详解】因为函数故最小正周期等于.故答案为：【点睛】本题考查求三角函数的最小正周期，属于基础题.13.在中，若，,求的面积 【答案】或【解析】【分析】由题意首先由余弦定理求得BC的值，然后利用面积公式求解ABC的面积即可.【详解】在中，设，由余弦定理可得，或当时，的面积为，当时，的面积为，故答案为或【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，三角形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.已知an是各项均为正数的等比数列，a11，a3100，则an的通项公式
8、an_；设数列lgan的前n项和为Tn，则Tn_.【答案】 (1). 10n1 (2). 【解析】【分析】先由a11，a3100求出公比q，再求an与lgan，最后求Tn.【详解】设等比数列an的公比为q，由题知q0.a11，a3100，q10，an10n1；lganlg10n1n1，Tn.故答案为：(1). 10n1 (2). 【点睛】本题主要考查等比数列、等差数列的通项公式与前n项和的求法，属于基础题.15.已知函数，下列命题正确的有_（写出所有正确命题的编号）是奇函数；在上是单调递增函数；方程有且仅有1个实数根；如果对任意，都有，那么的最大值为2.【答案】【解析】 根据题意，依次分析四个
9、命题：对于中，定义域是，且是奇函数，所以是正确的；对于中，若，则，所以的递增，所以是正确的；对于中，令，令可得，即方程有一根，则方程有一根之间， 所以是错误的；对于中，如果对于任意，都有，即恒成立，令，且，若恒成立，则必有恒成立，若，即恒成立，而，若有，所以是正确的，综上可得正确.三、解答题（本大题共6小题，共85分解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.已知函数（k为常数，且）（1）在下列条件中选择一个_使数列是等比数列，说明理由；数列是首项为2，公比为2的等比数列；数列是首项为4，公差为2的等差数列；数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列（2）在（1）的条件下，当时
10、，设，求数列的前n项和.【答案】（1），理由见解析；（2）【解析】分析】（1）选，由和对数的运算性质，以及等比数列的定义，即可得到结论；（2）运用等比数列的通项公式可得，进而得到，由数列的裂项相消求和可得所求和.【详解】（1）不能使成等比数列.可以：由题意，即，得，且，.常数且，为非零常数，数列是以为首项，为公比的等比数列（2）由（1）知，所以当时，.因为，所以，所以，.【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题.17.在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，为中点（1）求证：；（2）求异面直线与所成角的余弦值【答案】（1）详见解析；（2）【解析
11、】【分析】（1）以为原点，分别以，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，计算得，即可证明结论；（2）先求出，再利用向量夹角公式即可得出.【详解】（1）由题意在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，以为原点，分别以，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，因为为中点，所以，所以，所以，所以（2）由（1）得，所以与所成角的余弦值为【点睛】本题考查了异面直线所成的角、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题18.已知函数（）求函数的单调区间；（）当时，若在上有零点，求实数的取值范围.【答案】（）见解析（）【解析】试题分析：（），结合定义域讨论导数的正负求单调区间即可；（）当时，的
12、单调递增区间是，单调递减区间是.所以在上有零点的必要条件是，得，讨论和时函数单调性求解参数范围即可.试题解析：解：（）函数的定义域为，.由得或.当时，在上恒成立，所以的单调递减区间是，没有单调递增区间.当时，的变化情况如下表：所以的单调递增区间是，单调递减区间是.当时，的变化情况如下表：所以的单调递增区间是，单调递减区间是.（）当时，的单调递增区间是，单调递减区间是.所以在上有零点的必要条件是，即，所以.而，所以.若，在上是减函数，在上没有零点.若，在上是增函数，在上是减函数，所以在上有零点等价于，即，解得.综上所述，实数的取值范围是.点睛：根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，
13、（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.19.自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：20以下70以上使用人数312176420未使用人数003143630（）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；（）从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人中年龄在的人数，求随机变量的分布列及数学
14、期望；（）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.【答案】；（）详见解析；（）2200【解析】【分析】（）随机抽取的100名顾客中，年龄在30，50）且未使用自由购的有3+1417人，由概率公式即可得到所求值；（）所有的可能取值为1,2,3，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望；（）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有44人，计算可得所求值【详解】（）在随机抽取的100名顾客中，年龄在30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人，所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在30,50
15、)且未使用自由购的概率为（）所有可能取值为1,2,3，,.所以的分布列为123所以的数学期望为.（）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有人，所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为.【点睛】本题考查统计表，随机变量X的分布列及数学期望，以及古典概型，是一道综合题20.已知椭圆（1）求椭圆的标准方程和离心率；（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于，两点，且满足若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【答案】（1），；（2）存在，7x+30或7x+30【解析】【分析】（1）将椭圆方程化为标准方程，可得a，b，c，由离心率公式可得所求值；（2）假设存在过点P（0，3）的直线l与椭圆C
16、相交于A，B两点，且满足，可设直线l的方程为xm（y3），联立椭圆方程，消去x可得y的二次方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量共线的坐标表示，化简整理解方程，即可判断是否存在这样的直线【详解】（1）由，得，进而，；（2）假设存在过点P（0，3）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足，可设直线l的方程为xm（y3），联立椭圆方程x2+2y24，可得（2+m2）y26m2y+9m240，36m44（2+m2）（9m24）0，即m2，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2，y1y2，由，可得（x2，y23）2（x1，y13），即y232（y13），即y22y13，将代入可得3y
17、13，y1（2y13），消去y1，可得，解得m2，所以，故存在这样的直线l，且方程为7xy+30或7x+y30【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查向量共线的坐标表示，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题21.对于nN*（n2），定义一个如下数阵：，其中对任意的1in，1jn，当i能整除j时，aij1；当i不能整除j时，aij0设（）当n6时，试写出数阵A66并计算；（）若x表示不超过x的最大整数，求证：；（）若，求证：g（n）1f（n）g（n）+1【答案】（）， （）见解析（）见解析【解析】【分析】（）依题意可得， （）由题意可知，t（j）是数
18、阵Ann的第j列的和，可得是数阵Ann所有数的和而数阵Ann所有数的和也可以考虑按行相加对任意的1in，不超过n的倍数有1i，2i，得数阵Ann的第i行中有个1，其余是0，即第i行的和为从而得到结果（）由x的定义可知，得进而再考查定积分，根据曲边梯形的面积的计算即可证得结论【详解】（）依题意可得， （）由题意可知，t（j）是数阵Ann的第j列的和，因此是数阵Ann所有数的和而数阵Ann所有数的和也可以考虑按行相加对任意的1in，不超过n的倍数有1i，2i，因此数阵Ann的第i行中有个1，其余是0，即第i行的和为所以（）证明：由x的定义可知，所以所以考查定积分，将区间1，n分成n1等分，则的不足近似值为，的过剩近似值为 所以所以g（n）所以g（n）1g（n）+1所以g（n）1f（n）g（n）+1【点睛】本题主要考查高阶矩阵、矩阵的应用、定积分等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题