1、选修4-5 不等式选讲 第二节 不等式证明的基本方法最新考纲考情索引核心素养了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.2017全国卷，T232017江苏卷，T212016全国卷，T241.逻辑推理2.数学运算1基本不等式定理 1：如果 a，bR，那么 a2b2_，当且仅当_时，等号成立定理 2：如果 a，b0，那么ab2 _，当且仅当_时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均2abababab定理 3：如果 a，b，c(0，)，那么abc3_，当且仅当 abc 时，等号成立2不等式的证明(1)比较法作差法(a，bR)：ab0_；ab0ab；ab0ab.作商
2、法(a0，b0)：ab1ab；ab1ab；ab1ab.3 abcab(2)综合法与分析法综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的_而得出命题成立综合法又叫顺推证法或由因导果法分析法：从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的_，直到将待征不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法推理论证充分条件1作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与 0 的大小关系2用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即要证”“就要证”等1概念思辨判断下列说法的正误(正确的打“”，错误的
3、打“”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论()(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论()(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实()(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用()答案：(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(人 A 选修 45习题改编)若 ab1，xa1a，yb1b，则 x 与 y 的大小关系是()AxyBxyCxyDxy(2)(人 A 选修 45P23 习题 2.1T1 改编)已知 ab0，M2a3b3，N2ab2a2
4、b，则 M，N 的大小关系为_解析：(1)xya1ab1b abbaab（ab）（ab1）ab.由 ab1 得 ab1，ab0，所以（ab）（ab1）ab0，即 xy0，所以 xy.(2)MN2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因为 ab0，所以 ab0，ab0，2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0，故 2a3b32ab2a2b，即 MN.答案：(1)A(2)MN3典题体验(1)已知 a，bR，则使不等式|ab|0 Bab0 Dab0，|x1|a3，|y2|a3，求证：|2xy4|a.解析：(1)因为若 a0，b0，则
5、|ab|ab|a|b|，已知不等式|ab|a|b|，所以 ab0.(2)由题意得，ab1，a0，b0，所以1a1b1a1b(ab)2baab22baab4.当且仅当 ab12时等号成立所以1a1b的最小值是 4.答案：(1)D(2)4(3)证明：因为|x1|a3，|y2|a3，所以|2xy4|2(x1)(y2)|2|x1|y2|0，b0，且a3b32.证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明：(1)因为 a0，b0，且 a3b32.则(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a42a2b2b4)4ab(a2b2)24.(2)因为(ab
6、)3a33a2b3ab2b323ab(ab)23（ab）24(ab)23（ab）34，所以(ab)38，因此 ab2.【例 2】(2019湖南雅礼中学检测)已知 a，b，c 为正数，函数 f(x)|x1|x5|.(1)求不等式 f(x)10 的解集；(2)若 f(x)的最小值为 m，且 abcm，求证：a2b2c212.(1)解：f(x)|x1|x5|10，等价于x1，（x1）（x5）10，或1x5，（x1）（x5）10，或x5，（x1）（x5）10，解得3x1 或1x5 或 5x7，所以不等式 f(x)10 的解集为x|3x7(2)证明：因为 f(x)|x1|x5|(x1)(x5)|6，所以
7、 m6，即 abc6.因为 a2b22ab，a2c22ac，c2b22cb.所以 2(a2b2c2)2(abacbc)，所以 3(a2b2c2)a2b2c22ab2ac2bc(abc)2，所以 a2b2c212，当且仅当 abc2 时等号成立1综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键2在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件变式训练已知函数 f(x)2|x1|x2|.(1)求 f(x)的最小值 m；(2)若 a，b，c 均为正实数，且满足 abcm，求
8、证：b2a c2ba2c 3.(1)解：当 x1 时，f(x)2(x1)(x2)3x3.当1x2 时，f(x)2(x1)(x2)x4，此时3f(x)6.当 x2 时，f(x)2(x1)(x2)3x6.综上可知 f(x)的最小值 m3.(2)证明：a，b，c 均大于 0，且 abc3.因为(abc)b2a c2ba2c ab2a bc2b ca2c 2b2a ac2bba2c c 2(abc)(当且仅当 abc1 时取“”)所以b2a c2ba2c abc，故b2a c2ba2c 3.考点 3 分析法证明不等式(讲练互动)【例】已知函数 f(x)|x1|.(1)求不等式 f(x)|2x1|1 的
9、解集 M；(2)设 a，bM，证明：f(ab)f(a)f(b)(1)解：当 x1 时，原不等式可化为x12x2，解得 x1.当1x12时，原不等式可化为 x12x2，解得 x1，此时原不等式无解当x12时，原不等式可化为x12x，解得x1.综上，不等式的解集Mx|x1或x1(2)证明：因为f(a)f(b)|a1|b1|a1(b1)|ab|.要证f(ab)f(a)f(b)，只需证|ab1|ab|，即证|ab1|2|ab|2，即证a2b22ab1a22abb2，即证a2b2a2b210，即证(a21)(b21)0.因为a，bM，所以a21，b21，所以(a21)(b21)0成立，所以原不等式成立1.当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.2.分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为：QP1 P1P2 P2P3 得到一个明显成立的条件变式训练已知 abc，且 abc0，求证：b2ac 3a.证明：要证b2ac 3a，只需证 b2ac3a2.因为 abc0，只需证 b2a(ab)3a2，只需证 2a2abb20，只需证(ab)(2ab)0，只需证(ab)(ac)0.因为 abc，所以 ab0，ac0，所以(ab)(ac)0 显然成立，故原不等式成立
