1、4.9 热点专题三角函数与解三角形的热点问题 热点一 三角函数图象与性质的综合问题 三角函数图象与性质的综合问题是每年高考的热点，常涉及三角函数图象变换、周期性、单调性及最值等，题型既有选择题、填空题，也有解答题【例 1】已知函数 f(x)2sin4 x sinx4 2 3sin xcos x.(1)求 f(x)的单调递增区间；(2)将函数 yf(x)的图象向左平移12个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数 yg(x)的图象，求 g(x)在0，56上的值域【解析】(1)f(x)(cos xsin x)(sin xcos x)3sin 2x(cos2xsi
2、n2x)3sin 2xcos 2x 3sin 2x2sin2x6.由 2k2 2x6 2k2(kZ)，得 k3 xk6(kZ)，所以 f(x)的单调递增区间为k3，k6(kZ)(2)由(1)知 f(x)2sin2x6，将函数 yf(x)的图象向左平移12个单位长度后得到函数 y2sin2x12 6 2sin2x3的图象，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数 g(x)2sinx3 的图象当 x0，56时，x3 3，76，故 g(x)1，2故函数 g(x)在0，56上的值域为1，2【方法规律】解决此类问题，一般先由图象或三角公式确定三角函数yAsin(x)b(或yAc
3、os(x)b等)的解析式，然后把x看成一个整体研究函数的性质 变式训练1(2017山东聊城期中)已知函数 f(x)(2 3cos xsin x)sin xsin22 x(0)，且函数 yf(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4.(1)求 的值和函数 f(x)的单调递增区间；(2)求函数 f(x)在区间0，2 上的值域【解析】(1)f(x)2 3cos xsin xsin2xcos2x3sin 2xcos 2x2sin2x6.由函数 f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4，知14224，即 1，所以 f(x)2sin2x6.令2 2k2x6 2 2k(kZ)，解得 k6
4、 xk3(kZ)，所以函数 f(x)的单调递增区间为6 k，3 k，kZ.(2)因为 0 x2，所以6 2x6 56，所以12sin2x6 1，所以1f(x)2，所以函数 f(x)在区间0，2 上的值域为1，2热点二 解三角形问题解三角形多与三角恒等变换相综合，主要涉及两角和与差的正弦和余弦公式、二倍角公式以及正弦定理和余弦定理，考查题型既有选择题、填空题，也有解答题【例 2】(2015天津高考)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知ABC 的面积为 3 15，bc2，cos A14.(1)求 a 和 sin C 的值；(2)求 cos2A6 的值【解析】(1)在AB
5、C 中，由 cos A14，可得 sin A 154.由 SABC12bcsin A3 15，得 bc24.又由 bc2，解得 b6，c4.由 a2b2c22bccos A，可得 a8.由 asin Acsin C，得 sin C 158.(2)cos2A6 cos 2Acos6 sin 2Asin6 32(2cos2A1)122sin Acos A 157 316.【方法规律】解决此类问题一般利用正、余弦定理，进行边角互化求三角函数值时通常利用三角恒等变换化成一个角的三角函数求解 变式训练2(2016兰州模拟)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知a3cos Acsi
6、n C.(1)求 A 的大小；(2)若 a6，求 bc 的取值范围【解析】(1)a3cos Acsin C asin A，3cos Asin A，tan A 3.0A，A3.(2)asin A bsin Bcsin C6sin34 3，b4 3sin B，c4 3sin C，bc4 3sin B4 3sin C 4 3sin Bsin(AB)4 3sin Bsin3 B 12sinB6.6 B6 56，612sinB6 12，即 bc(6，12热点三 三角函数性质与解三角形的综合问题三角函数性质与解三角形的综合问题多出现在解答题中，且第(1)问考查三角函数的性质，第(2)问考查解三角形问题【例
7、 3】已知向量 mcosx2，1，n3sinx2，cos2x2，函数 f(x)mn1.(1)求函数 f(x)在0，上的最值，并求此时 x 的值；(2)将函数 f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移3 个单位长度并向下平移12个单位长度，得到函数 g(x)的图象若在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，gA2 12，a2，bc4，求ABC 的面积【解析】(1)f(x)3sinx2cosx2cos2x21 32 sin x12cos x12sinx6 12.x0，x6 6，56，当 x6 6，即 x0 时，f(x)min0，当 x6 2，即
8、 x23 时，f(x)max32.当 x0 时，f(x)min0，当 x23 时，f(x)max32.(2)将 f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数 ysin2x6 12的图象，再将所得图象向左平移3 个单位长度并向下平移12个单位长度，得到函数 g(x)sin2x3 6 sin2x2 cos 2x 的图象 gA2 cos A12，又 0A，A3.在ABC 中，a2b2c22bccos A，22b2c22bc12，4(bc)22bcbc，即 4423bc，bc4.SABC12bcsin A12bcsin3 34 bc 34 4 3.【方法规律】(1)向量是一种解
9、决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响 变式训练3(2016日照模拟)已知在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且函数 f(x)2cos xsin(xA)sin A 在 x512 处取得最大值(1)当 x0，2 时，求函数 f(x)的值域；(2)若 a7 且 sin Bsin C13 314，求ABC 的面积【解析】函数 f(x)2cos xsin(xA)sin A2cos xsin xcos A2cos xcos xsin Asin Asin 2xcos Acos 2xsin Asin(2xA)，又函数 f(x)在 x512 处取得最大值，2512 A2k2，其中 kZ，即 A3 2k，其中 kZ.(1)A(0，)，A3，又 x0，2，2xA3，23，32 sin(2xA)1，即函数 f(x)的值域为 32，1.(2)由正弦定理得 asin Abcsin Bsin C，则 sin Bsin Cbcasin A，即13 314 bc7 32，bc13.又 a2b2c22bccos A(bc)22bc2bccos A，即 491693bc，bc40.故ABC 的面积 S12bcsin A1240 32 10 3.