1、20102014年高考真题备选题库第3章 三角函数、解三角形第8节 正弦定理和余弦定理的应用1(2014四川，13,5分)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67，30，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于_m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin 670.92，cos 670.39，sin 370.60，cos 370.80，1.73)解析：过A作BC边上的高AD，D为垂足在RtACD中，AC92，在ABC中，由正弦定理，得BCsinBACsin 370.6060(m)答案：602(2013江苏，16分)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路
2、径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A，cos C.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：本题考查正弦、余弦定理，二次函数的最值，两角和的正弦公式，不等式的解法，意在考查考生阅读审
3、题建模的能力和解决实际问题的能力(1)在ABC中，因为cos A，cos C，所以sin A，sin C.从而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理，得ABsin C1 040(m)所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)，因0t，即0t8，故当t(min)时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理，得BCsin A500(m)乙从B出发时，
4、甲已走了50(281)550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在，(单位：m/min)范围内3(2010福建，12分)(本小题满分13分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航
5、行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由解：法一：(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S .故当t时，Smin10，此时v30.即，小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)设小艇与轮船在B处相遇则v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900.0AC，且对于线段AC上任意点P，有OPOCAC.而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故小艇与轮船不可能在A，C之间(包含C)的任意位置相遇设COD(090)，则在RtCOD中，CD10tan ，OD.由于从出发到相遇
6、，轮船与小艇所需要的时间分别为t和t，所以，.由此可得，v.又v30，故sin(30).从而，3090.由于30时，tan取得最小值，且最小值为.于是，当30时，t取得最小值，且最小值为.法三：(1)同法一或法二(2)设小艇与轮船在B处相遇依据题意得：v2t2400900t222030tcos(9030)，(v2900)t2600t4000.()若0v30，则由360 0001 600(v2900)1 600(v2675)0，得v15.从而，t，v15，30)当t时，令x，则x0,15)，t，当且仅当x0即v15时等号成立当t时，同理可得.()若v30，则t；综合()、()可知，当v30时，t取最小值，且最小值等于.此时，在OAB中，OAOBAB20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇