1、44.3不同函数增长的差异新课程标准解读核心素养1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型数学抽象2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义逻辑推理3.能根据具体问题选择合适的函数模型数学建模1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只，可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口这使澳大利亚头痛不已他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的兔子，澳大
2、利亚人才算松了一口气问题想想看，澳大利亚的兔子为什么在不到100年的时间内发展到75亿只？知识点三种常见函数模型的增长差异函数性质yax(a1)ylogax(a1)ykx(k0)在(0，)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定增长速度不变形象描述指数爆炸对数增长直线上升增长速度yax(a1)的增长速度最终都会大大超过ykx(k0)的增长速度增长结果存在一个x0，当xx0时，有axkxlogax三种函数模型的再理解(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型；(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型 1判
3、断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型()(2)函数ylog2x增长的速度越来越慢()(3)不存在一个实数m，使得当xm时，1.1xx100.()答案：(1)(2)(3)2下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是()AyexByln xCy2x Dyex答案：A3某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是()Ayaxb Byax2bxcCyaexb Dyaln xb解析：选B由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型是yax2bxc.几类函数模型增长的差异例1(链接教科书第139页练习1题)四个自变
4、量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321 02432 7681.051063.361071.07109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907则关于x呈指数型函数变化的变量是_解析以爆炸式增长的变量呈指数型函数变化从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化答案y2常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型：线性
5、函数模型ykxb(k0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变；(2)指数函数模型：指数函数模型yax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”；(3)对数函数模型：对数函数模型ylogax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓；(4)幂函数模型：幂函数yxn(n0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间 跟踪训练下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意的序号是_y31.04x；y20x10；y40lg(x1)；y80.解析：结合三类函数的增长差异可知的预
6、期收益最大答案：几类函数模型的比较例2函数f(x)2x和g(x)x3的图象如图所示设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10)，所以1x12，9x210，所以x16x2，从图象上可以看出当x1xx2时，f(x)g(x)，所以f(6)x2时，f(x)g(x)，所以f(2 021)g(2 021)；又因为g(2 021)g(6)，所以f(2 021)g(2 021)g(6)f(6)不同函数的变化规律(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；(3)对数函数增长模型适合
7、于描述增长速度平缓的变化规律 跟踪训练函数f(x)lg x，g(x)0.3x1的图象如图所示：(1)指出曲线C1，C2分别对应题中哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)解：(1)C1对应的函数为g(x)0.3x1，C2对应的函数为f(x)lg x.(2)当x(0，x1)时，g(x)f(x)；当x(x1，x2)时，g(x)f(x)；当x(x2，)时，g(x)f(x)函数模型的选择问题例3某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t，120 t，130 t为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一
8、个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系对此模拟函数可选用二次函数yf(x)ax2bxc(a，b，c均为待定系数，xN*)或函数yg(x)pqxr(p，q，r均为待定系数，xN*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？解根据题意可列方程组解得所以yf(x)5x235x70.同理yg(x)800.5x140.再将x4分别代入式与式得f(4)54235470130(t)，g(4)800.54140135(t)与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以式作为模拟函数比式更好，故选用函数yg(x)pqxr作为模拟函数
9、较好建立函数模型应遵循的三个原则(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型；(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论；(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题 跟踪训练某人对东北一种松树生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择hmtb与hloga(t1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度t(年)123456h(米)0.611.31.51.61.7解：据表中数据作出散点如
10、图由图可以看出与一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理不妨将(2，1)代入到hloga(t1)中，得1loga3，解得a3.故可用函数hlog3(t1)来刻画h与t的关系当t8时，求得hlog3(81)2，故可预测第8年松树的高度为2米1下列函数中，增长速度越来越慢的是()Ay6xBylog6xCyx6 Dy6x解析：选BD中一次函数的增长速度不变，A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意2在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是()Ay2x
11、 Byx21Cy2x2 Dylog2x解析：选D将x0.50代入计算，可以排除A；将x2.01代入计算，可以排除B、C.故选D.3.向高为H的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V与水深h的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是()解析：选B水深h为自变量，随着h的增大，A项中V的增长速度越来越快，C项中先慢后快，D项中增长速度不变，只有B项中V的增长速度越来越慢4已知函数f(x)3x，g(x)2x，当xR时，f(x)与g(x)的大小关系为_解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)3x，g(x)2x的图象，如图所示，由于函数f(x)3x的图象在函数g(x)2x图象的上方，则f(x)g(x)答案：f(x)g(x)