1、42指数函数42.1指数函数的概念新课程标准解读核心素养1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义数学抽象2.理解指数函数的概念数学建模问题(1)某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，则经过2个小时，这种细胞能由1个分裂成多少个？(2)如果将上述问题改为“经过x次分裂，这种细胞能由1个分裂成y个”，你能用分裂次数x表示个数y吗？知识点一指数函数的概念一般地，函数y(a0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，定义域是对指数函数概念的再理解 为什么指数函数的底数a0，且a1?提示：如果a0，当x0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x0时，ax无意义如果a0，且a1.1判断正误(正确的画“”，错
2、误的画“”)(1)yx2是指数函数()(2)指数函数yax中，a可以为负数()(3)y2x1是指数函数()答案：(1)(2)(3)2若函数f(x)是指数函数，且f(2)2，则f(x)_解析：设f(x)ax(a0，a1)，f(2)2，a22，a，即f(x)()x.答案：()x知识点二指数型函数模型形如ykax(k为非零常数，a0，且a1)的函数为指数型函数模型某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初始溶液含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少.(1)写出杂质含量y与过滤次数n的函数关系式；(2)过滤7次后的杂质含量是多少？过滤8次后的杂质含量是多少？至少应过滤几次才能使产
3、品达到市场要求？解：(1)过滤1次后的杂质含量为；过滤2次后的杂质含量为；过滤3次后的杂质含量为；过滤n次后的杂质含量为(nN*)故y与n的函数关系式为y(nN*)(2)由(1)知当n7时，y，当n8时，y0，且a1)是指数函数，则k_，b_解析(1)中指数式()x的系数不为1，故不是指数函数；中y2x12x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；是指数函数(2)根据指数函数的定义，得解得答案(1)(2)12判断一个函数是指数函数的方法(1)看形式：判断其解析式是否符合yax(a0，且a1)这一结构特征；(2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征只要有一个特征不具备，该函数就不是指
4、数函数 跟踪训练若函数y(2a1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是()A(0，1)(1，)B0，1)(1，)C.(1，) D.解析：选C依题意得2a10，且2a11，解得a，且a1，故选C.求指数函数的解析式或函数值例2(链接教科书第114页例1)若函数f(x)是指数函数，且f(2)9，则f(x)_解析由题意设f(x)ax(a0且a1)，因为f(2)a29，所以a3，所以f(x)3x.答案3x1求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键2求指数函数的函数值的关
5、键是求指数函数的解析式 跟踪训练已知函数f(x)为指数函数，且f，求f(2)的值解：设f(x)ax(a0且a1)，由f得，a，所以a3，又f(2)a2，所以f(2)32.指数函数型的实际应用例3(链接教科书第114页例2)某林区2020年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求yf(x)的表达式，并求此函数的定义域解现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为2002005%200(15%)经过2年后木材蓄积量为：200(15%)200(15%)5%200(15%)2.经过x
6、年后木材蓄积量为200(15%)x.yf(x)200(15%)x.函数的定义域为xN*.指数函数在实际问题中的应用(1)利用数学方法解决实际问题时，应准确读懂题意，从实际问题中提取出模型转化为数学问题；(2)在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用yN(1p)x来表示，这是非常有用的函数模型 跟踪训练某地区2010年年底的人口数量为500万，人均住房面积为6平方米，若该地区的人口年平均增长率为1%，要使2021年年底该地区的人均住房面积至少为7平方米，则平均每年新增住房面积至少_万平方米(精确到1万平方米，参考数据：1.0191.093
7、 7，1.01101.104 6，1.01111.115 7)解析：设平均每年新增住房面积x万平方米，则7，解得x82.2782.即平均每年新增住房面积至少82万平方米答案：821下列各函数中，是指数函数的是()Ay(3)xBy3xCy3x1 Dy解析：选D根据指数函数的定义知，D正确2若函数y(m2m1)mx是指数函数，则m等于()A1或2 B1C2 D.解析：选C由题意得解得m2.故选C.3已知函数f(x)ax(a0，且a1)，f(2)4，则函数f(x)的解析式是()Af(x)2x Bf(x)Cf(x)4x Df(x)解析：选A由f(2)4得a24，又a0，且a1，所以a2，即f(x)2x.故选A.4若函数y(43a)x是指数函数，则实数a的取值范围为_解析：若函数y(43a)x是指数函数，则43a0且43a1，所以a且a1，所以实数a的取值范围为(，1).答案：(，1)5一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩余物质的质量约是原来的，则经过_年，剩余物质的质量是原来的.解析：经过一年，剩余物质的质量约是原来的；经过两年，剩余物质的质量约是原来的；经过三年，剩余物质的质量约是原来的.答案：三