1、第十一章 算法初步、统计、统计案例 第四节 变量间的相关关系、统计案例 最新考纲考情索引核心素养1.会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.3.了解独立性检验(只要求22列联表)的基本思想、方法及其简单应用.4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.2018全国卷，T182018全国卷，T182017全国卷，T192017全国卷，T192016全国卷，T181.数学建模2.数据分析3.数学运算1两个变量的线性相关(1)正相关在散点图中，点散布在从_到_的区域，对于两个变量的这种相关关系，我
2、们将它称为正相关(2)负相关在散点图中，点散布在从_到_的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关左下角右上角左上角右下角(3)线性相关关系、回归直线如 果 散 点 图 中 点 的 分 布 从 整 体 上 看 大 致 在_，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线2回归方程(1)最小二乘法求回归直线，使得样本数据的点到它的_的方法叫做最小二乘法一条直线附近距离的平方和最小(2)回归方程方程ybxa是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)的回归方程，其中a，b是待定参数3回归分析(1)定义：对具有_的两个变量进行统计分析的一种常用方法(2
3、)样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中_称为样本点的中心相关关系(x，y)(3)相关系数当 r0 时，表明两个变量_；当 r0 时，表明两个变量_正相关负相关r 的绝对值越接近于 1，表明两个变量的线性相关性_r 的 绝 对 值 越 接 近 于 0，表 明 两 个 变 量 之 间_通常|r|大于_时，认为两个变量有很强的线性相关性4独立性检验(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的_，像这类变量称为分类变量越强几乎不存在线性相关关系0.75不同类别(2)列联表：列出两个分类变量的_，称为列联表假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的
4、可能取值分别为x1，x2和y1，y2，其样本频数列联表(称为 22 列联表)为：频数表22 列联表项目y1y2总 计x1ababx2cdcd总计acbdabcd构造一个随机变量 K2n（adbc）2（ab）（cd）（ac）（bd），其中 n_为样本容量(3)独立性检验利用随机变量_来判断“两个分类变量_”的方法称为独立性检验abcdK2有关系1求回归方程的方法求解回归方程的关键是确定回归系数a，b，因求解b的公式计算量太大，一般题目中给出相关的量，如 x，y，xi2,xi yi 等，便可直接代入求解充分利用回归直线过样本中心点(x，y)，即有 yb xa，可确定a.2根据 K2 的值可以判断两
5、个分类变量有关的可信程度3回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(x，y)点，可能所有的样本数据点都不在直线上1概念思辨判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系()(2)通过回归直线方程ybxa可以估计预报变量的取值和变化趋势()(3)因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验()(4)事件 X，Y 关系越密切，则由观测数据计算得到的K2 的观测值越小()答案：(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(人 A必修 3P90例题改编)某研究机构对高三学生的记忆力 x
6、和判断力 y 进行统计分析，所得数据如表：x681012y2356则 y 对 x 的线性回归直线方程为()A.y2.3x0.7 B.y2.3x0.7C.y0.7x2.3 D.y0.7x2.3(2)(人 A 选修 12P16 习题 12T1 改编)为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取 50 名学生，得到如下 22 列联表：分 类理 科文 科男1310女720已知 P(K23.841)0.05，P(K25.024)0.025.根据表中数据，得到 K2 的观测值 k50（1320107）2232720304.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为_解析：(1)易求 x
7、9，y4，将样本点中心(9，4)代入选项中验证，满足y0.7x2.3，故选 C.(2)K2 的观测值 k4.844，这表明小概率事件发生根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选择文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.答案：(1)C(2)5%3典题体验(1)(2019汉中一模)已知两个随机变量 x，y 之间的相关关系如下表所示：x42124y5310.51根据上述数据得到的回归方程为ybxa，则大致可以判断()A.a0，b0B.a0，b0C.a0 D.a0，b0，所以a1.70.730.21.85R22；x，y 之间不能建立线性回归方程解析：在散点图中，点散布在从左上角到
8、右下角的区域，因此 x，y 是负相关关系，故正确；由散点图知用 yc1ec2x 拟合比用ybxa拟合效果要好，则 R21R22，故正确；x，y 之间可以建立线性回归方程，但拟合效果不好，故错误答案：判定两个变量正、负相关性的方法1画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关2相关系数：r0 时，正相关；r0 时，负相关3线性回归直线方程中：b0 时，正相关；b0时，负相关考点 2 线性回归分析(讲练互动)【例】(2017全国卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔 30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm
9、)下面是检验员在一天内依次抽取的 16 个零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95(1)求(xi，i)(i1，2，16)的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x3s，x3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情
10、况，需对当天的生产过程进行检查()从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？()在(x3s，x3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差(精确到0.01)附：样本(xi，yi)(i1，2，n)的相关系数解：(1)由样本数据得(xi，i)(i1，2，16)的相关系数为由于|r|6.635，所以有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异解决独立性检验问题的一般步骤1根据样本数据制成 22 列联表2根据公式 K2n（adbc）2（ab）（cd）（ac）（bd），计算 K2 的值3查表比较 K2 与临界值的大小关系，作统计判断提醒：应用独立性
11、检验方法解决问题，易出现不能准确计算 K2 值的错误变式训练(2019合肥二检)某校在高一年级学生中，对自然科学类、社会科学类校本选修课程的选课意向进行调查现从高一年级学生中随机抽取 180 名学生，其中男生 105 名；在这180 名学生中选择社会科学类的男生、女生均为 45 名(1)试问：从高一年级学生中随机抽取 1 人，抽到男生的概率约为多少？(2)根据抽取的 180 名学生的调查结果，完成下面的 22 列联表并判断能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为科类的选择与性别有关？性别选择自然科学类 选择社会科学类总计男生女生总计附：K2n（adbc）2（ab）（cd）（ac）（b
12、d），其中nabcd.P(K2k0)0.5000.4000.2500.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：(1)从高一年级学生中随机抽取 1 人，抽到男生的概率约为105180 712.(2)根据统计数据，可得 22 列联表如下：性别选择自然科学类选择社会科学类总计男生6045105女生304575总计9090180则 K2180（60453045）2105759090367 5.142 95.024.所以能在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为科类的选择与性别有关