《世纪金榜》2016人教版高中数学必修四课件：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（2） 探究导学课型 .ppt

1、3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)【自主预习】1.你能根据同角三角函数基本关系式tan=从两角和与差的正弦、余弦公式出发,推导出用任意角,的正切值表示tan(+),tan(-)的公式吗?试一试.提示:当cos(+)0时,tan(+)=当coscos0时,分子分母同除以coscos,得tan(+)=根据,的任意性,在上面式子中,以-代替得tan(-)=2.在两角和与差的正切公式中,的取值是任意的吗?提示:在公式T(+),T(-)中,都不能等于k+(kZ).结合以上探究过程,试着写出两角和与差的正切公式:tan(+)=.(T(+)tan(-)=.(T(-)【深度思考】结合教材P130

2、例4(3)你认为应如何应用两角和差的正切公式?第一步:_.第二步:_.将已知或所求式化成符合公式的形式正用或反用公式求值【预习小测】1.若tan =3,则tan的值为()2.=()【解析】选A.=tan(82-22)=tan60=.3.若tan=3,则tan =.【解析】因为tan=3,所以tan =-2.答案:-24.已知tan=2,tan=5,则tan(-)=.【解析】tan(-)=答案:【备选训练】已知cos=-,求tan .(仿照教材P129例3的解析过程)【解析】因为cos=【互动探究】1.tan(+)=等价于tan+tan=tan(+)(1-tantan)吗?提示:是的.当k+(k

3、Z),k+(kZ),+k+(kZ)时,有前一个式子两边同乘以1-tantan可得后一个式子,当tantan=1时,+=k+,kZ,tan(+)无意义,所以tantan1,所以后一个式子两边同除以1-tantan可得前一个式子成立,故两式等价.2.两角和与差的正切公式的常用变形有哪些?提示:(1)tan+tan=tan(+)(1-tantan).(2)tan-tan=tan(-)(1+tantan).(3)tan+tan+tantantan(+)=tan(+).(4)tantan=(5)tantan=-1.【探究总结】知识归纳:注意事项:(1)必须在定义域范围内使用上述公式.tan,tan,ta

4、n()只要有一个不存在就不能使用这个公式,只能用诱导公式.(2)注意公式的结构,尤其是符号.【题型探究】类型一:公式的应用和变形应用【典例1】(1)=.(2)(2016烟台高一检测)tan19+tan26+tan19tan26=.【解题指南】(1)根据tan60=,把用tan60代换,逆用两角和的正切公式.(2)tan19+tan26与tan19tan26同时出现在tan(19+26)的展开式中,可先用tan(19+26)与tan19tan26表示出tan19+tan26,再化简求值.【解析】(1)=tan(60+75)=tan135=-1.答案:-1(2)因为tan(19+26)=所以tan

5、19+tan26=tan(19+26)(1-tan19tan26),=1-tan19tan26,所以tan19+tan26+tan19tan26=1-tan19tan26+tan19tan26=1.答案:1【规律总结】利用公式T()化简求值的两点说明(1)分析式子结构,正确选用公式形式:T()是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一,因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发,确定是正用、逆用还是变形用,并注意整体代换.(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用:当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时,要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换,如“1=tan ”“=t

6、an ”,这样可以构造出利用公式的条件,从而可以进行化简和求值.【巩固训练】求下列各式的值.(2)(1+tan25)(1+tan 20).【解析】(1)原式=tan(45-75)=tan(-30)=-tan30=(2)原式=1+tan20+tan25+tan25tan20=tan(20+25)(1-tan20tan25)+1+tan25tan20=2.类型二:给值求值(角)【典例2】(1)(2016金华高一检测)已知tan(-)=,tan=-,(0,),则2-=.(2)已知A,B,C是三角形ABC的三个内角,且tanA,tanB是方程3x2+8x-1=0的两个实根,求tanC.【解题指南】(1

7、)由=(-)+,求出的正切,再由2-=+(-),求2-的正切,从而得出2-的值.(2)利用根与系数的关系求出tanAtanB和tanA+tanB,再求出tan(A+B),由A+B+C=得出tanC的值.【解析】(1)tan=tan(-)+又(0,),所以 ,tan(2-)=tan+(-)而tan=-,(0,),故 ,所以2-(-,0),所以2-=-.答案:-(2)因为tanA,tanB是方程3x2+8x-1=0的两个实根,所以tanA+tanB=-,tanAtanB=-,所以tan(A+B)=-2.又A+B+C=,所以tanC=tan-(A+B)=-tan(A+B)=2.【延伸探究】1.典例(

8、2)中条件“tanA,tanB是方程3x2+8x-1=0的两个实根”去掉,问法改为“求证tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC”.【证明】因为A,B,C是三角形的内角,由两角和的正切公式及tan(A+B)=-tanC得tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB)=-tanC(1-tanAtanB)=-tanC+tanAtanBtanC,所以tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.2.典例(2)中的方程“3x2+8x-1=0”改为“3x2+8x-m=0”,求tanC的取值范围.【解析】由题意得=82+12m0,所以m-.因为tanA,tanB是方程

9、3x2+8x-m=0的两个实根,所以tanA+tanB=-,tanAtanB=-,则A,B中有一个为钝角,从而-0.tan(A+B)=所以tanC=tan-(A+B)=由m0得0tanC【规律总结】1.从三个角度入手直接利用公式T()求值(1)复角化单角:公式tan(-)=及tan(+)=反映了复角化单角的思想,即要求的正切函数值,只需知道tan和tan的值,代入求解便可.(2)整体意识:公式T()中有两个小团体“tantan”及“tantan”,求解时可利用整体思想代入求解.(3)角的配凑:公式T()中,只代表了角的某一形式,其可能是单纯的,也可能是某些小团体.2.利用公式T()求角的步骤(

10、1)求值.计算待求角的正切函数值.(2)求范围.借助已知角的范围及题目隐含信息,求相关角的范围,注意角的范围越小越好.(3)求角.借助角的范围及角的三角函数值求角.【补偿训练】已知a=(cosx,2),b=(2sinx,3),且ab,则=()A.7B.-7C.D.-【解析】选A.因为a=(cosx,2),b=(2sinx,3),且ab,故3cosx=4sinx,即tanx=,类型三:和(差)角的正切公式的综合应用【典例3】已知ABC中,tanB+tanC+tanBtanC=,且tanA+tanB=tanAtanB-1,试判断ABC的形状.【解题指南】利用条件,逆用两角和的正切公式求C与A的值进而判断ABC的形状.【解析】因为tanA+tanB=tanAtanB-1,所以(tanA+tanB)=tanAtanB-1,所以所以tan(A+B)=-,又因为0A+B,所以A+B=,所以C=,因为tanB+tanC+tanBtanC=,tanC=,所以tanB+tanB=,tanB=,所以B=,所以A=,所以ABC为等腰钝角三角形.【规律总结】三角形中的问题,A+B+C=肯定要用,有时与诱导公式结合,有时利用它寻找角之间的关系减少角的个数.【巩固训练】在ABC中,求证:【证明】因为A+B+C=180,所以