1、北京市东城区高三2005年数学（理）综合练习（三）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页，第II卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。第I卷（选择题 共40分）注意事项： 1. 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。 3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。 参考公式： （1）如果事件A、B互斥，那么 （2）如果事件A、B相互独立，那么（3）如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次
2、独立重复试验中恰好发生k次的概率 （4）球的表面积公式（其中R表示球的半径） （5）球的体积公式（其中R表示球的半径）一. 选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 过点（-1，3）且垂直于直线的直线方程为（ ）A. B. C. D. 2. 若都是单位向量，则的取值范围是（ ） A. （1，2）B. （0，2） C. 1，2D. 0，2 3. 圆心在y轴上且通过点（3，1）的圆与x轴相切，则该圆的方程是（ ）A. B. C. D. 4. 不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 5. 数列共有七项，其中五项为1，两项为2，则满
3、足上述条件的数列共有（ ） A. 21个B. 25个C. 32个D. 42个 6. 如图所示，在正方体中，O为底面ABCD的中心，E为的中点，则异面直线与EO所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象过原点且它的导函数的图象是如图所示的一条直线，则图象的顶点在（ ） A. 第I象限B. 第II象限 C. 第III象限D. 第IV象限 8. 已知平面/平面，直线，点间的距离为a，则在内到点P的距离为c且到直线的距离为b（）的点的轨迹（ ） A. 是一个圆B. 是两条直线 C. 不存在D. 是四个点第II卷（非选择题 共110分）注意事项： 1. 第II卷共6页，用钢笔或圆珠
4、笔直接答在试题卷中。 2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。 9. 某单位有业务人员120人，管理人员24人，后勤服务人员16人，现用分层抽样的方法从本单位的所有职工中抽取一个容量为n的样本，已知从管理人员中抽取3人，则n=_。 10. 曲线的标准方程为_；准线方程为_。 11. 已知函数是R上的奇函数，则a=_；_。 12. 设x、y满足，则该不等式组表示的平面区域的面积为_；的最大值是_。 13. 的展开式中，前三项系数的绝对值依次组成一个等差数列，则n=_；展开式中第五项的二项式系数为_（用数字作答）。 14. 已
5、知函数，给出下列四个结论： （1）当且仅当时，取得最小值； （2）是周期函数； （3）的值域是 （4）当且仅当。 其中正确的结论序号是_（把你认为正确的结论序号都写上。）三. 解答题：本大题共6个小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （本小题满分13分） 已知。求 （I）的值； （II）的值。 16. （本小题满分13分）一台设备由三大部件构成，在设备运转中，一天之内各部件需要调整的概率分别为0.10、0.20、0.30。假设各部件的状态相互独立。 （I）求一天之内只有一个部件需要调整的概率； （II）求一天之内至少有两个部件需要调整的概率； （III）用表示一天之
6、内需要调整的部件数，求的概率分布和数学期望。 17. （本小题满分14分） 已知在四边形ABCD中，AD/BC，AD=AB=1，将ABD沿对角线BD折起到如图所示PBD的位置，使平面。 （I）求证：；（II）求二面角的大小（用反三角函数表示）；（III）求点D到平面PBC的距离。 18. （本小题满分13分） 已知等差数列的前9项和为153。 （I）数列中是否存在确定的项，若存在，请求出该项，若不存在，请说明理由； （II）若，求数列前n项的积；（III）若从数列中，依次取出第二项、第四项、第八项，第项，按原来的顺序组成一个新的数列，求数列的前n项和。 19. （本小题满分13分） 已知函数。
7、 （I）求函数的极值； （II）若对任意的都有，求实数a的取值范围。 20. （本小题满分14分） 已知直线过M（1，0）与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，点P在y轴的右侧且满足。 （I）求P点的轨迹C的方程； （II）若曲线C的切线斜率为，满足，点A到y轴的距离为a，求a的取值范围。试题答案一. 选择题 1. A2. D3. B4. C 5. A6. C7. A8. D二. 填空题 9. 20 10. 11. 1，2； 12. 36，15； 13. 8，70； 14. （2）、（4） 注：10、11、12、13小题第一个空3分，第二个空2分。三. 解答题 15. 解：（I）由 得：1分
8、（II） 13分 16. 解：用表示一天之内第i个部件需要调整的事件，则，1分 以表示一天之内需要调整的部件数，则 （I）（4分） （II）（7分） （III）8分 9分 10分 的分布列为 13分 17. 解法一：（I） （II）过P作 9分 （III）设D到平面PBC的距离为h，由可求出，BC=2，。 解法二： 如图所示建立空间直角坐标系 则3分 （I） （有个别学生按超出课本要求的方法求解，按此标准给分） （II）取平面BDC的法向量 设平面PBC的法向量为 （III）过D做 14分 18. 解：（I）数列中存在确定的项。1分 （II）设数列的公差为d，则 9分 （III）13分 19. 解：（I） 解得 当x变化时，的变化情况如下： 当x=-1时，取得极大值为； 当时，取得极小值为。6分 （II）设 8分 若9分 若 满足题意。12分 综上所述a的取值范围为13分 20. 解：（I）直线轴垂直时与抛物线交于一点，不满足题意。2分 设直线的方程为 把代入抛物线得： 设两交点为 6分 （II） 把（1）代入（2）得： 解得：12分 14分