1、函数的奇偶性与周期性1了解奇偶性及周期性的定义2掌握判定一些简单函数的奇偶性的方法3会解决涉及奇偶性、周期性、单调性的简单综合问题 知识梳理1函数的奇偶性函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，在函数的定义域的真子集内讨论函数的奇偶性是没有意义的(1)函数的奇偶性的定义如果对定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)成立，那么函数f(x)为奇函数如果对定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)成立，则函数f(x)为偶函数显然，函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件(2)奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称2周期函数(1)周期函数：对于函数f(x)的定义
2、域内的每一个x，都存在一个非零常数T，使得f(xT)f(x)恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期1函数奇偶性的常用结论(1)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(4)在公共定义域内有：奇奇奇；偶偶偶；奇奇偶；偶偶偶；奇偶奇2函数周期性的常用结论对f(x)定义域内的任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x
3、b)，则T|ab|.(2)若f(xa)f(x)，则T2a(a0)(3)若f(xa)，则T2a(a0)(4)若f(xa)，则T2a(a0) 热身练习1下列函数为奇函数的是(D)Ay By|sin x|Cycos x Dyexex y的定义域为x|x0，不具有对称性，故y为非奇非偶函数，y|sin x|和ycos x为偶函数对于D，f(x)exex的定义域为R，f(x)exexf(x)，故yexex为奇函数2已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是(B)A B.C. D 因为f(x)ax2bx为偶函数，所以b0，又偶函数的定义域关于原点对称，所以a12a0，所以a，故ab
4、.3下列命题中：若f(x)是奇函数，且在x0处有定义，则f(0)0；偶函数必不是单调函数；奇函数f(x)与偶函数g(x)的定义域的交集为非空集合，则函数f(x)g(x)一定是奇函数；若函数f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)一定是偶函数正确命题的个数有(D)A1个 B2个C3个 D4个 正确，由f(x)是奇函数，有f(0)f(0)，所以f(0)0；正确；正确；正确4(2017全国卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(，0)时，f(x)2x3x2，则f(2)12. (方法一)令x0，则x0)所以f(2)2232212.(方法二)f(2)f(2)2(2)3(2)212.5(2018红河
5、州二模改编)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x0，得1x1.定义域(1,1)关于原点对称，且f(x)f(x)lg 10，所以f(x)f(x)，故f(x)为奇函数 (1)利用定义判断奇偶性的步骤：(2)在运用定义判断奇偶性时，若表达式较复杂可适当进行化简后判断(不得改变定义域)；判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立(3)判断函数的奇偶性除定义法外，还要注意如下方法：图象法：f(x)的图象若关于原点对称，则f(x)为奇函数；若关于y轴对称，则f(x)为偶函数性质法：如“奇奇”是奇；“偶偶”是偶；“奇
6、奇”是偶，“偶偶”是偶，“奇偶”是奇等1(1)函数f(x)的奇偶性是(A)A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既是奇函数也是偶函数(2)(经典真题)若函数f(x)xln(x)为偶函数，则a1. (1)(方法一：利用奇偶性的定义判断)当x0，f(x)(x)2(x)(x2x)f(x)；当x0时，xf(2x1)成立的x的取值范围是()A(，1) B(，)(1，)C(，) D(，)(，) 本题主要是考查函数奇偶性、单调性的综合应用，求解的关键是发现函数的奇偶性和单调性 由f(x)ln(1|x|)可知f(x)为偶函数，且在0，)上是增函数，所以f(x)f(2x1) f(|x|)f(|2x1|)|x|2x
7、1|x1. A (1)本题的求解过程中，既要利用函数的奇偶性，又要利用函数的单调性求解此类问题要注意利用偶函数的性质f(x)f(x)f(|x|)(2)掌握如下结论，会给解题带来方便：f(x)为偶函数f(x)f(|x|)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反2(2017江苏卷)已知函数f(x)x32xex，其中e是自然对数的底数若f(a1)f(2a2)0，则实数a的取值范围是1，. 因为f(x)(x)32(x)exx32xexf(x)，所以f(x)x32xex是奇函数因为f(a1)f(2a2)0，所以f(2
8、a2)f(a1)，即f(2a2)f(1a)因为f(x)3x22exex3x2223x20，所以f(x)在R上单调递增，所以2a21a，即2a2a10，所以1a. 奇偶性与周期性的综合应用已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x2)，当2x3时，f(x)x，则f(105.5)_. 因为f(x2)，所以f(x4)f(x22)f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，所以f(105.5)f(4261.5)f(1.5)f(1.54)f(2.5)f(2.5)，因为22.53，由题意，得f(2.5)2.5.所以f(105.5)2.5. 2.5 (1)本题考查了奇偶性与周期性的综合应用，考查了化归与转
9、化的思想求解的关键是利用周期性和奇偶性将所求函数值转化为已知区间上的函数值(2)若对于函数f(x)的定义域内的任一自变量的值x都有f(xa)f(x)或f(xa)或f(xa)(a是常数且a0)，则f(x)是一个周期为2|a|的周期函数3(2018全国卷)已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x)若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)(C)A50 B0C2 D50 因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，所以f(1x)f(x1)由f(1x)f(1x)，所以f(x1)f(x1)，所以f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)f(x)，所以函数f(x)是周
10、期为4的周期函数由f(x)为奇函数及其定义域得f(0)0.又因为f(1x)f(1x)，所以f(x)的图象关于直线x1对称，所以f(2)f(0)0，所以f(2)0.又f(1)2，所以f(1)2，所以f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)f(1)f(0)20200，所以f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)012f(49)f(50)f(1)f(2)202.1函数的奇偶性是在整个定义域内讨论的整体性质，要正确理解奇函数与偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)具备奇偶性的必要不充分条件；(2)f(x)f(x)或f(x)f(x)是定义域上的恒等式2f(x)为奇函数f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数f(x)的图象关于y轴对称因此可以利用函数的图象的对称性去判断函数的奇偶性3判断函数的奇偶性的最基本的方法是利用定义法：首先判断定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，立即可以判定这个函数既不是奇函数也不是偶函数若定义域关于原点对称，再判断f(x)是否等于f(x)或f(x)为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数式进行化简，或应用定义的等价形式f(x)f(x)f(x)f(x)01 (f(x)0)4奇偶性常常和单调性、周期性结合进行考查，具体求解时，要紧扣奇偶性、周期性的概念，充分利用化归与转化的思想方法