1、2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系【知识提炼】1.空间直线的位置关系(1)异面直线:不同在_平面内的两条直线.(2)异面直线的画法(衬托平面法)如图(1)(2)所示,为了表示异面直线不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面来衬托.任何一个(3)空间两条直线的三种位置关系从是否有公共点的角度来分:平行异面相交从是否共面的角度来分:平行相交异面2.公理4及定理(1)公理4:平行于_直线的两条直线互相_.符号表示:ab,bc_.(2)等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角_.同一条平行ac相等或互补3.异面直线所成的角(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间_一点O作
2、直线aa,bb,则异面直线a与b所成的角就是直线a与b所成的_(或_).(2)范围:_.特别地,当=_时,a与b互相垂直,记作_.任意锐角直角00),设为异面直线EF和AC所成的角,为异面直线EF和BD所成的角,试求+的值.【解题探究】典例中怎样将AEEB=CFFD转化为三角形中两边上的比例关系?提示:可通过在BC边上找一点M,使CMMB=CFFD=m,从而实现转化,进而作出异面直线所成的角.【解析】过点F作MFBD,交BC于点M,连接ME,则CMMB=CFFD=m,又因为AEEB=CFFD=m,所以CMMB=AEEB,所以EMAC,所以=MEF,=MFE,AC与BD所成的角为EMF,因为AC
3、BD,所以EMF=90,所以+=90.【方法技巧】求异面直线所成的角的步骤(1)找出(或作出)适合题设的角用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线.(2)求转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.(3)结论设由(2)所求得的角的大小为.若090,则为所求;若90180,则180-为所求.【变式训练】正方体ABCD-ABCD中,E,F分别为平面ABCD与AADD的中心,则EF与CD所成角的度数是.【解析】连接BD,则E为BD的中点,连接AB,则EFAB,又CDAB,所以BAB为异面直
4、线EF与CD所成角,因为BAB=45,所以EF与CD所成的角的度数为45.答案:45【补偿训练】正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD相交于O,则OB1与A1C1所成的角的度数为.【解析】连结AB1,B1C.因为ACA1C1,所以B1OC(或其补角)是异面直线OB1与A1C1所成的角.又因为AB1=B1C=AC,O为AC的中点,所以B1OAC,故B1OC=90.所以OB1与A1C1所成的角的大小为90.答案:90规范解答求异面直线所成的角【典例】(12分)在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=,求AD与BC所成角的大小.【审题指导】(1)利用E,F
5、分别是AB,CD的中点,考虑找中位线,转化角.(2)结合异面直线所成角定义,由E,F是中点可考虑构造三角形中位线,作出异面直线所成的角,在三角形中求角.【规范解答】取BD的中点G,连接GE,GF,1分因为BE=EA,BG=GD,所以GEAD,GE=AD=1.3分因为DF=FC,DG=GB,所以GFBC,GF=BC=1,5分所以EGF(或其补角)是异面直线AD与BC所成的角.6分在GEF中,GE=1,GF=1,EF=(如图),取EF的中点O,连接GO,则GOEF,EO=EF=.8分所以sinEGO=,EGO=60,9分所以EGF=2EGO=120.10分所以异面直线AD与BC所成的角是180-120=60.12分【题后悟道】1.结合题目条件作辅助线一般来说,作平行线的方法有利用三角形中位线的性质和平行四边形的性质.另外要注意恰当利用题目条件.如本例中,取BD的中点G,连接GE,GF不仅可以作出直线AD和BC的平行线,而且可以求出GE,GF的长度.2.空间问题转化为平面问题的思路解答立体几何问题的关键是正确地将空间问题转化为平面问题,如本例中,经过作辅助线将原问题转化为在GEF中,求角的问题.3.重视异面直线所成角的取值范围异面直线所成角的取值范围是090,而根据等角定理所作的角有可能是所求角的补角.如本例中所作的角为钝角,应是所求角的补角.
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