1、题型三函数的综合题纵观近几年全国各地的中考数学试卷，函数的命题放在各个位置都有，突出考查同学们的数形结合思想、学科内综合、学科间综合、实际应用题所考题型无所不包，同时不断与其他数学知识相互渗透，题量不一定是最多的，但综合程度一定是最高的函数的本质特征是变化与对应，它是表示、处理数量关系以及变化规律的有效工具作为刻画变量变化规律的工具，函数的各种形式体现了“函数知识”与“函数思想”的统一“函数”除了包括函数的概念、正比例函数、一次函数、反比例函数及二次函数等具体知识外，其自身还蕴含着方程与不等式的知识函数是初中数学的核心内容、重要的基础知识它与数学其他知识有着更为广泛的联系，不仅有着极为广泛的应
2、用，而且也是发展同学们符号感的有效载体宜宾市近几年的中考题中，函数一直是“重头戏”，分值偏高从基础题到压轴题，都出现过跟函数知识有关的题目【例1】如果两个变量x，y之间的函数关系如图所示，则函数值y的取值范围是()A3y3 B0y2C1y3 D0y3【解析】 根据图象，找到y的最高点是(2，3)及最低点是(1，0)，确定函数值y的取值范围【答案】D【点评】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是会观察图象，找到y的最高点及最低点【例2】给出一种运算：对于函数yxn，规定ynxn1.例如：若函数yx4，则有y4x3.已知函数yx3，则方程y12的解是()Ax14，x24 Bx12，x22 Cx1x
3、20 Dx12，x22【解析】首先根据新定义(高中导函数的定义)求出函数yx3中的n，再与方程y12组成方程组得出：3x212，用直接开平方法解方程即可【答案】B【点评】本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程，同时还以新定义的形式考查了学生的阅读理解能力，此新定义是高中导函数的定义；注意：二次项系数要化为1，根据平方根的意义开平方时，是两个解，且是互为相反数，不要丢解【例3】在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”(1)求函数yx2的图象上所有“中国结”的坐标；(2)若函数y(k0，k为常数)的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标；
4、(3)若二次函数y(k23k2)x2(2k24k1)xk2k(k为常数)的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中(含边界)，一共包含有多少个“中国结”？【解析】(1)因为x是整数，x0时，x是一个无理数，所以x0时，x2不是整数，所以x0，y2，据此求出函数yx2的图象上所有“中国结”的坐标即可；(2)首先判断出当k1时，函数y(k0，k为常数)的图象上有且只有两个“中国结”：(1，1)，(1，1)；然后判断出当k1时，函数y(k0，k为常数)的图象上最少有4个“中国结”，据此求出常数k的值与相应“中国结”的坐标即可；(3)首先令(k23k2)x2(2
5、k24k1)xk2k0，则(k1)xk(k2)x(k1)0，求出x1，x2的值是多少；然后根据x1，x2的值是整数，求出k的值是多少；最后根据横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”，判断出该函数的图象与x轴所围成的平面图形中(含边界)，一共包含有多少个“中国结”即可【答案】解：(1)x是整数，x0时，x是一个无理数，x0时，x2不是整数，x0，y2，即函数yx2的图象上“中国结”的坐标是(0，2)；(2)当k1时，函数y(k0，k为常数)的图象上有且只有两个“中国结”：(1，1)，(1，1)；当k1时，函数y(k0，k为常数)的图象上有且只有两个“中国结”：(1，1)(1，1)；当k1时，
6、函数y(k0，k为常数)的图象上最少有4个“中国结”：(1，k)，(1，k)，(k，1)，(k，1)，这与函数y(k0，k为常数)的图象上有且只有两个“中国结”矛盾综上所述，k1时，函数y(k0，k为常数)的图象上有且只有两个“中国结”：(1，1)，(1，1)；k1时，函数y(k0，k为常数)的图象上只有两个“中国结”：(1，1)，(1，1)；(3)令(k23k2)x2(2k24k1)xk2k0，则(k1)xk(k2)x(k1)0，k，整理，可得x1x22x210，x2(x12)1，x1，x2都是整数，或或当时，1，k；当时，1，kk1，无解；综上，可得k，x13，x21，y(k23k2)x2
7、(2k24k1)xk2kx2xx2x，当x2时，yx2x(2)2(2)；当x1时，yx2x(1)2(1)1；当x0时，y，另外，该函数的图象与x轴所围成的平面图形中x轴上的“中国结”有3个：(2，0)，(1，0)，(0，0)综上，可得若二次函数y(k23k2)x2(2k24k1)xk2k(k为常数)的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，该函数的图象与x轴所围成的平面图形中(含边界)，一共包含有6个“中国结”：(3，0)，(1，1)，(1，0)，(2，0)，(1，0)，(0，0)【点评】(1)此题主要考查了反比例函数问题，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握反比例函数的图象和性质；(2)此题
8、还考查了对新定义“中国结”的理解和掌握，解答此题的关键是要明确：横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”【针对练习】1对于实数a，b，我们定义符号maxa，b的意义为：当ab时，maxa，ba；当ab时，maxa，bb；如：max4，24，max3，33，若关于x的函数为ymaxx3，x1，则该函数的最小值是(B)A0 B2 C3 D42(2012宜宾中考)给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线有下列命题：直线y0是抛物线yx2的切线；直线x2与抛物线yx2相切于点(2，1)；若直线yxb与抛物线yx
9、2相切，则相切于点(2，1)；若直线ykx2与抛物线yx2相切，则实数k.其中正确的命题是(B)A B C D3平面直角坐标系中有两点M(a，b)，N(c，d)，规定(a，b)(c，d)(ac，bd)，则称点Q(ac，bd)为M，N的“和点”若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”，现有点A(2，5)，B(1，3)，若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标是_(1，8)或(3，2)或(3，2)_4(2017通辽中考)如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则将直
10、线l向右平移3个单位后所得直线l的函数关系式为_yx_5(2017聊城中考)如图，分别位于反比例函数y，y在第一象限图象上的两点A，B，与原点O在同一直线上，且.(1)求反比例函数y的表达式；(2)过点A作x轴的平行线交y的图象于点C，连结BC，求ABC的面积解：(1)作AE，BF分别垂直于x轴，垂足为点E，F.AOEBOF.又，.由点A在函数y的图象上，设A(m，)，.OF3m，FB.即B(3m，)又点B在y的图象上，解得k9.反比例函数y的表达式为y；(2)由(1)知，A(m，)，B(3m，)，又已知过点A作x轴的平行线交y的图象于点C，点C的纵坐标为.又由点C在y的图象上，解得x9m.C
11、(9m，)ACxCxA9mm8m.点B到AC的距离为yByA.SABC8m8.6若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1：y12x24x2与C2：y2x2mxn为“友好抛物线”(1)求抛物线C2的表达式；(2)点A是抛物线C2上在第一象限的动点，过A作AQx轴，Q为垂足，求AQOQ的最大值；(3)设抛物线C2的顶点为C，点B的坐标为(1，4)，问在C2的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90得到线段MB，且点B恰好落在抛物线C2上？若存在求出点M的坐标，若不存在，请说明理由解：(1)y12x24x22(x1)24，抛物线C1的顶点坐标为(1，4)抛物线C1与C
12、2顶点相同， y2(x1)24x22x3，抛物线C2的表达式为y2x22x3；(2)如答图， 设点A的坐标为(a，a22a3)AQa22a3，OQa，AQOQa22a3aa23a32，当a时，AQOQ有最大值，最大值为；(3)如答图，连结BC，过点B作BDCM，垂足为D.B(1，4)，C(1，4)，抛物线的对称轴为直线x1，BCCM，BC2.BMB90，BMCBMD90.BDMC，MBDBMD90，MBDBMC.BMBM，BCMMDB，BCMD，CMBD.设点M的坐标为(1，a)则BDCM4a，MDCB2.点B的坐标为(a3，a2)(a3)22(a3)3a2.解得a12，a25.当a2时，M的
13、坐标为(1，2)，当a5时，M的坐标为(1，5)综上所述当点M的坐标为(1，2)或(1，5)时，B恰好落在抛物线C2上7(2015宜宾创新)已知抛物线yx2bxc与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为P.(1)如图，连结AP，分别求出抛物线与直线AP的表达式；(2)如图，点D(2，3)在抛物线上，在第一象限内，直线AP上是否存在点E，使DEEO？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由(3)如图，连结BC与抛物线的对称轴交于点F，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G，使GPF与GBF的面积相等？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)由题意，得解
14、得抛物线的表达式为yx22x3.yx22x3(x1)24，P(1，4)设直线AP的表达式为ykxb，点A，P两点坐标代入得解得直线AP的表达式为y2x2；(2)如答图，假设AP上有一点E，使得DEEO，作EMOB于M，DNEM于N，则EMODNE，.设E(x，y)，D(2，3)，则OMx，EMy，ENy3，DN2x，.又y2x2，解得x，y2，E或；(3)设过点P与BC平行的直线与抛物线的交点为G，如答图，P点的坐标为(1，4)，直线BC的表达式为yx3，过点P与BC平行的直线为yx5，由解得或点G的坐标为(2，3)PF的表达式为x1，直线BC的表达式为yx3，点F的坐标为(1，2)设PF与x轴交于点E.PFEF2，过点E与BC平行的直线为yx1，由解得或(不合题意，舍去)，点G的坐标为，使得GPF与GBF的面积相等的点G的坐标为(2，3)或.教后反思：_
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