1、课时作业27平面向量的数量积及应用举例1(2019合肥质检)设向量a，b满足|ab|4，ab1，则|ab|(B)A2 B2C3 D2解析：由|ab|4，ab1，得a2b216214，|ab|2a22abb2142112，|ab|2.2(2019洛阳一模)已知平面向量a，b满足|a|2，|b|1，a与b的夹角为，且(ab)(2ab)，则实数的值为(D)A7 B3C2 D3解析：依题意得ab21cos1，(ab)(2ab)0，即2a2b2(21)ab0，则390，3.3如图，一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态已知F1，F2成60角，且F1，F2的大小分别为2
2、和4，则F3的大小为(A)A2 B2C2 D6解析：如题图所示，由已知得F1F2F30，则F3(F1F2)，即FFF2F1F2FF2|F1|F2|cos6028.故|F3|2.4(2019安徽江南十校联考)已知ABC中，AB6，AC3，N是边BC上的点，且2，O为ABC的外心，则的值为(D)A8 B10C18 D9解析：由于2，则，取AB的中点为E，连接OE，由于O为ABC的外心，则，26218，同理可得232，所以18639，故选D.5已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足，(0，)，则(D)A动点P的轨迹一定通过ABC的重心B动点P的轨迹一定通过ABC的内
3、心C动点P的轨迹一定通过ABC的外心D动点P的轨迹一定通过ABC的垂心解析：由条件，得，从而0，所以，则动点P的轨迹一定通过ABC的垂心6设O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，点P是线段AB上的一个动点，若，则实数的取值范围是(B)A.1 B11C.1 D11解析：因为，(1，)，(，)，所以(1，)(1,1)(，)(1,1)，所以22410，解得11，因为点P是线段AB上的一个动点，所以01，即满足条件的实数的取值范围是11.7(2019河南郑州模拟)已知平面向量a，b，c满足|a|b|c|1，若ab，则(ab)(2bc)的最小值为(B)A2 B3C1 D0解析：由|a|b|1，ab，
4、可得a，b.令a，b，以的方向为x轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a(1,0)，b，设c(cos，sin)(02)，则(ab)(2bc)2abac2b2bc33sin，则(ab)(2bc)的最小值为3，故选B.8(2019河南天一联考测试)如图，在ABC中，AB3，AC5，BAC60，D，E分别是AB，AC的中点，连接CD，BE交于点F，连接AF，取CF的中点G，连接BG，则.解析：依题意，F是ABC的重心，()()，().故().9(2019河南安阳模拟)已知在OAB中，OAOB2，AB2，动点P位于线段AB上，则当取最小值时，向量与的夹角的余弦值为.解析：法一：易知AOB120，
5、记a，b，则ab2，设ab(01)，则(1)ab，则(ab)(1)ab1226，当时，取最小值，此时，|，ab(3ab)，|3ab|，所以向量与的夹角的余弦值为.法二：取线段AB的中点C，连接OC，以线段AB的中点C为原点，以的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向建立直角坐标系，则O(0,1)，A(，0)，B(，0)，设P(x,0)(x)则(x,0)(x,1)x2x，当x时，取最小值.此时，所以向量与的夹角的余弦值为.10(2019河北衡水二中模拟)已知在直角梯形ABCD中，ABAD2CD2，ABCD，ADC90，若点M在线段AC上，则|的取值范围为.解析：建立如图所示的平面直角坐标系则A(0
6、,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)，设(01)，则M(，2)，故(，22)，(2，2)，则(22，24)，| ，当0时，|取得最大值2，当时，|取得最小值为，|.11(2019德州一模)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(cos(AB)，sin(AB)，n(cosB，sinB)，且mn.(1)求sinA的值；(2)若a4，b5，求角B的大小及向量在方向上的投影解：(1)由mn，得cos(AB)cosBsin(AB)sinB，所以cosA.因为0A，所以sinA .(2)由正弦定理，得，则sinB，因为ab，所以AB，且B是ABC一内角，则B.由余弦定理得(4)
7、252c225c，解得c1，c7舍去，故向量在方向上的投影为|cosBccosB1.12已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x8，P为该平面上一动点，作PQl，垂足为Q，且0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2(y1)21的任意一条直径，求的最值解：(1)设P(x，y)，则Q(8，y)由0，得|2|20，即(2x)2(y)2(8x)20，化简得1.所以动点P在椭圆上，其轨迹方程为1.(2)易知，且0，由题意知N(0,1)，所以22(x)2(1y)2116(y1)21y22y16(y3)219.因为2y2，所以当y3时，取得最大值19，当y2时，取得最小值124.综上，的最大值
8、为19，最小值为124.13(2019四川凉山州模拟)若直线axy0(a0)与函数f(x)的图象交于不同的两点A，B，且点C(6,0)，若点D(m，n)满足，则mn等于(B)A1 B2C3 D4解析：因为f(x)f(x)，且直线axy0过坐标原点，所以直线与函数f(x)的图象的两个交点A，B关于原点对称，即xAxB0，yAyB0，又(xAm，yAn)，(xBm，yBn)，(m6，n)，由，得xAmxBmm6，yAnyBnn，解得m2，n0，所以mn2，故选B.14设a，b为非零向量，|b|2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成若x1y1x2y
9、2x3y3x4y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为(B)A. B.C. D0解析：aa|a|2，bb|b|24|a|2，设a与b的夹角为，则ab|a|b|cos2|a|2cos.若xiyi(i1,2,3,4)中2个a均与a相乘，则x1y1x2y2x3y3x4y4a2a2b2b210|a|2；若xiyi(i1,2,3,4)中仅有一个a与a相乘，则x1y1x2y2x3y3x4y4a2b22ab5|a|24|a|2cos；若xiyi(i1,2,3,4)中的a均不与a相乘，则x1y1x2y2x3y3x4y44ab8|a|2cos.因为5|a|24|a|2cos8|a|2cos5|a
10、|24|a|2cos|a|2(54cos)0，所以5|a|24|a|2cos得5|a|24|a|2cos8|a|2cos，即x1y1x2y2x3y3x4y4的所有可能取值中的最小值为8|a|2cos，依题意得8|a|2cos4|a|2，从而cos，又0，故.15(2019济南模拟)已知平面上的两个向量和满足|a，|b，且a2b21，0，若向量(，R)，且(21)2a2(21)2b24，则|的最大值为.解析：设AB的中点为M，0且a2b21，|，又()，()().|22a22b2，又(21)2a2(21)2b24，整理得2a22b21，代入式得|21，即|1，即点C的轨迹是以点M为圆心，1为半径的圆，又|，当与同向时，|的值最大，此时|，故填.16已知向量a，b(cosx，1)(1)当ab时，求cos2xsin2x的值；(2)设函数f(x)2(ab)b，已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，b2，sinB，求f(x)4cos的取值范围解：(1)因为ab，所以cosxsinx0，所以tanx.cos2xsin2x.(2)f(x)2(ab)b2(cosx，1)sin2xcos2xsin.由正弦定理，得sinA，所以A或A.因为ba，所以A.所以f(x)4cossin，因为x，所以2x，所以1f(x)4cos .所以f(x)4cos的取值范围是.