1、4.3指数函数与对数函数的关系课时7指数函数与对数函数的关系知识点一 反函数的概念1.函数ye2x(xR)的反函数为()Ay2ln x(x0) Byln (2x)(x0)Cyln x(x0) Dyln (2x)(x0)答案C解析ye2x0,2xln y，xln y，ye2x的反函数为yln x，x0.2已知函数ylog3(3x)(0x3)，则它的反函数是()Ay33x(x0) By33x(x1)Cy33x(x0) Dy33x(x1)答案D解析0x0，且a1)，且f(4)1，则a_.答案2解析由yf(x)与yg(x)互为反函数，且f(4)1得g(1)4，所以a24，a2.5若函数yf(x)的图像
2、过点(0,1)，则函数g(x)f(4x)的反函数的图像过点_答案(1,4)解析yf(x)的图像过点(0,1)，f(4x)的图像过点(4,1)，g(x)f(4x)的反函数的图像过点(1,4)知识点三 指数函数与对数函数的综合应用答案A解析7已知函数f(x)log2(12x)(1)求函数f(x)的定义域和值域；(2)求证函数yf(x)的图像关于直线yx对称解(1)要使函数f(x)log2(12x)有意义，则12x0，即2x1.故x0，此时012x1，f(x)log2(12x)0)Bylog2(x1)(x1)Cy1log2x(x0)Dylog2(x1)(x1)答案C解析由y2x1x1log2yx1l
3、og2y，又因原函数的值域y|y0，故其反函数是y1log2x(x0)2当0a0，且a1)的反函数的图像过点(，a)，则a的值为()A2 B.C2或 D3答案B解析解法一：函数yax(a0，且a1)的反函数即ylogax，故ylogax的图像过点(，a)，则aloga.解法二：由题意得，函数yax(a0，且a1)的反函数的图像过点(，a)，则函数yax(a0，且a1)的图像过点(a，)，即aa，故a.4已知a0，且a1，则函数yax与yloga(x)的图像只能是()答案B解析解法一：首先，曲线yax只可能在上半平面，yloga(x)只可能在左半平面，从而排除A，C.其次，从单调性来看，yax与
4、yloga(x)的增减性正好相反，又可排除D.应选B.解法二：若0a1，则曲线yax上升且过点(0,1)，而曲线yloga(x)下降且过点(1,0)，只有B满足条件5已知函数yf(x)的定义域是1,1，其图像如图所示，则不等式1f1(x)的解集是()A.B.C2,0)D1,0答案C解析由题意，可得1f1(x)的解集即为f(x)在上的值域当1x0时，由题图可知f(x)2,0)，当0x时，由题图可知f(x).故不等式1f1(x)的解集为2,0).二、填空题6函数y1log3x与函数y23x，当x从1增加到m时，函数的增量分别是y1与y2，则y1_y2.(填“”“”或“”)答案解析函数y1log3x
5、与函数y23x在区间(0，)上都是增函数，但y23x增长得快，所以y1y2.7已知函数f(x)axk的图像过点(1,3)，其反函数yf1(x)的图像过点(2,0)，则f(x)的表达式为_答案f(x)2x1解析yf1(x)的图像过点(2,0)，yf(x)的图像过点(0,2)，2a0k，k1，f(x)ax1.又yf(x)的图像过点(1,3)，3a11，a2，f(x)2x1.答案(，1解析由题意得f(x)x，f(x22x)x22x，f(x)在R上是减函数，由同增异减的原则可知，所求函数的单调增区间即为tx22x的单调减区间，即(，1三、解答题9若不等式4xlogax0，当x时恒成立，求实数a的取值范
6、围解要使不等式4xlogax在x时恒成立，即函数ylogax的图像在内恒在函数y4x图像的上方，而y4x的图像过点.由图可知，loga2，显然这里0a1，函数ylogax递减又loga2logaa2，a2，又0a1，a.所求的a的取值范围为.10已知f(x)(aR)，f(0)0.(1)求a的值，并判断f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的反函数；(3)对任意的k(0，)，解不等式f1(x)log2.解(1)由f(0)0，得a1，所以f(x).因为f(x)f(x)0，所以f(x)f(x)，即f(x)为奇函数(2)因为f(x)y1，所以2x(1y1)，所以f1(x)log2(1x1)(3)因为f1(x)log2，即log2log2，所以所以当0k2时，原不等式的解集为x|1kx1；当k2时，原不等式的解集为x|1x1