1、四川省阆中中学2020届高三数学适应性考试试题（二）理（含解析）一选择题（每题5分，共60分）1. 已知集合,则中所含元素的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】列举法得出集合，共含个元素故答案选2. 设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C【详解】则故选C【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养采取公式法或几何法，利用方程思想解题3. 已知向量，且，则m=( )A. 8
2、B. 6C. 6D. 8【答案】D【解析】【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案【详解】，又，34+（2）（m2）0，解得m8故选D【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题4. 已知双曲线C：，其焦点F到C的一条渐近线的距离为2，该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】求出双曲线的焦点坐标以及双曲线的渐近线方程，然后利用已知条件求解即可【详解】双曲线C：，其焦点到C的一条渐近线的距离为2，可得，可得，所以，所以双曲线的离心率为：故选A【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程以及离心率求法，考查计算
3、能力双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中的关系式，求值问题就是建立关于的等式，求取值范围问题就是建立关于的不等式5. 我国古代数学著作（算法统宗中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地“那么，此人第4天和第5天共走路程是（）A. 24里B. 36里C. 48里D. 60里【答案】B【解析】【分析】记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由，利用等比数列求和公式解得，利用等比数列的通项公式可得【详解】记每天走的路程里数为，
4、可知是公比的等比数列，由，得，解得：，所以此人第4天和第5天共走了里，故选B【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考属于中档题等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种【答案】D【解析】4项工作分成3组,可得：=6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：种故选D.7. 已知满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析
5、】根据两角和差的余弦公式得到原式可化为，代入余弦值求解即可【详解】根据两角和差的余弦公式得到，因为，得到sin=或代入得到结果为故答案为：【点睛】本题考查利用两角和差的余弦公式，属基础题.8. 已知，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用等中间值区分各个数值的大小【详解】，故，所以故选A【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较9. 函数在的图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：因为，故排除A；因为，所以函数为奇函数，故排除B；因为，分别作出与的图象，可知极值点在上，故选C考点：1、函数的图象；2、函数的
6、奇偶性；3、利用导数研究函数的单调性10. 如图所示，直三棱柱高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设球心为，三棱柱的上底面的内切圆的圆心为，该圆与边切于点，根据球的几何性质可得为直角三角形，然后根据题中数据求出圆半径，进而求得球的半径，最后可求出球的体积【详解】如图，设三棱柱为，且，高所以底面为斜边是的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆，圆与边切于点，则圆的半径为设球心为，则由球的几何知识得为直角三角形，且，所以，即球的半径为，所以球的体积为故选：A【点睛】本题考查与球有关的组
7、合体的问题，解答本题的关键有两个：（1）构造以球半径、球心到小圆圆心的距离和小圆半径为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径，这是解决与球有关的问题时常用的方法11. 设抛物线的焦点为 ，点在 上，若以 为直径的圆过点（0,2），则的方程为（ ）A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C【解析】【详解】抛物线 方程为,焦点，设,由抛物线性质,可得，因为圆心是的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为，由已知圆半径也为,据此可知该圆与y轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，即,代入抛物线方程得，所以p=2或p=8.所以抛物线C的方程为或.故答案C.【点睛】本
8、题主要考查了抛物线的定义与简单几何性质，圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题，本题给出抛物线一条长度为的焦半径,以为直径的圆交抛物线于点，故将圆心的坐标表示出来，半径求出来之后再代入到抛物线中即可求出的值，从而求出抛物线的方程，因此正确运用圆的性质和抛物线的简单几何性质是解题的关键.12. 若对于任意的，有恒成立，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由原不等式恒成立可转化为恒成立，构造函数，根据函数在上单调递减求参数a的取值范围即可求解.【详解】由题意，不妨设，则可变为，即整理得：所以函数在上为减函数，令，得设，则因为，所以在上为减函数，即所以，即的最小值为
9、.故选：C【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，利用导数解决不等式恒成立问题，考查了转化思想，属于难题.二填空题（每题5分，共20分）13. 若x，y满足，则的最小值为_【答案】2 【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，将变形为，移动直线并结合图形得到最优解，进而得到所求的最小值【详解】画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示由可得平移直线，由图形得，当直线经过可行域内点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最小值由 解得，所以点A的坐标为所以故答案为2【点睛】利用线性规划求最值体现了数形结合思想的运用，解题的关键有两个：一是准确地画出不等式组表示的可行域；二是弄清楚目
10、标函数中的几何意义，根据题意判断是截距型、斜率型、还是距离型，然后再结合图形求出最优解后可得所求14. 的展开式中，x3的系数是_.（用数字填写答案）【答案】10【解析】试题分析：的展开式的通项为(，1，2，5)，令得，所以的系数是.考点:二项式定理【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项,再确定r的值,从而确定指定项系数.15. 已知函数，则_【答案】【解析】【分析】根据已知条件求得，结合是偶函数，即可求得结果.【详解】因为，又因为，故可得；又因为是奇函数，故为偶函数.又也是偶函数，故可得.故.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数奇偶性求函数值，以及导数的计算，属综合基础题.1
11、6. 在中，若，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】根据已知条件，将转化为，再利用基本不等式即可求得结果.【详解】由，结合，可得：，当且仅当时，取得最小值为.故答案为：【点睛】本题考查余弦定理、利用均值不等式求和的最小值，属综合中档题.三、解答题（共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 等差数列的前项和为，数列是等比数列，.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.根据，.再由，求的通项公式.由和，求的通项公式 （2）由（1）得，转化为，利用裂项相消法求和.【详解】（1）设等差数列
12、的公差为，等比数列的公比为.，即，.，.，.（2）.【点睛】本题主要考查等差、等比数列通项公式和裂项相消法求和，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.18. 在某单位的食堂中，食堂每天以10元/斤的价格购进米粉，然后以4.4元/碗的价格出售，每碗内含米粉0.2斤，如果当天卖不完，剩下的米粉以2元/斤的价格卖给养猪场.根据以往统计资料，得到食堂某天米粉需求量的频率分布直方图如图所示，若食堂购进了80斤米粉，以（斤）（其中）表示米粉的需求量，（元）表示利润.（1）估计该天食堂利润不少于760元的概率；（2）在直方图的需求量分组中，以区间中间值作为该区间的需求量，以需求量落入该区间的频
13、率作为需求量在该区间的概率，求的分布列和数学期望.【答案】(1)065；(2)答案见解析.【解析】试题分析：(1)由题意可得利润函数结合题意求解不等式有即.则食堂利润不少于760元的概率是.(2)由题意可知可能的取值为460，660，860，960.分别求得相应的概率有，.据此得出分布列，然后计算数学期望有.试题解析：（1）一斤米粉的售价是元.当时，.当时，.故设利润不少于760元为事件，利润不少于760元时，即.解得，即.由直方图可知，当时，.（2）当时，；当时，；当时，；当时，.所以可能的取值为460，660，860，960.，.故的分布列为 .19. 如图所示，直三棱柱的各棱长均相等，点
14、为的中点.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）通过证明平面即可证得；（2）建立空间直角坐标系，利用向量求解.【详解】（1）设与交点为，连接，.由题可知四边形为正方形，所以，且为中点.又因，所以，所以.又因为，所以平面.因为平面，所以.（2）取的中点，连接，在平面过点内作的垂线，如图所示，建立空间直角坐标系.设，则，.所以，.设平面的一个法向量为，则，令，则.由（1）可知平面的一个法向量为，则.由图可知二面角为锐角，所以其余弦值为.【点睛】此题考查通过线面垂直证明线线垂直，通过空间向量求解二面角的大小，关键在于根据定理准确推导，计算求解.2
15、0. 己知圆，圆（1）证明：圆与圆有公共点，并求公共点的轨迹的方程；（2）已知点，过点且斜率为的直线与（1）中轨迹相交于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，是否存在实数使得为定值？若存在，求出的值，若不存在，说明理由【答案】（1）详见解析；（2）存在实数使得【解析】【分析】（1）根据圆与圆的位置关系以及椭圆的定义，即可得出公共点的轨迹的方程；（2）设过点且斜率为的直线方程为，将其代入椭圆方程，利用韦达定理得出的值，再结合两点的斜率公式求解即可.【详解】（1）证明：因为，所以因为圆的半径为，圆的半径为又因为，所以，即所以圆与圆有公共点设公共点为，因此，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，所以即轨迹的方
16、程为（2）过点且斜率为的直线方程为，设由消去得到则因为所以将式代入整理得 因为所以当时，即时，即存在实数使得【点睛】本题主要考查了求椭圆的轨迹方程以及椭圆中的定值问题，涉及了圆与圆位置关系的应用，属于中档题.21. 已知函数f（x）=2sinxxcosxx，f（x）为f（x）的导数（1）证明：f（x）在区间（0，）存在唯一零点；（2）若x0，时，f（x）ax，求a的取值范围【答案】（1）见解析；（2）.【解析】分析】（1）求导得到导函数后，设为进行再次求导，可判断出当时，当时，从而得到单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证得结论；（2）构造函数，通过二次求导可判断出，；分别在，和
17、的情况下根据导函数的符号判断单调性，从而确定恒成立时的取值范围.【详解】（1）令，则当时，令，解得：当时，；当时，在上单调递增；在上单调递减又，即当时，此时无零点，即无零点 ，使得又在上单调递减 为，即在上的唯一零点综上所述：在区间存在唯一零点（2）若时，即恒成立令则，由（1）可知，在上单调递增；在上单调递减且，当时，即在上恒成立在上单调递增，即，此时恒成立当时，使得在上单调递增，在上单调递减又，在上恒成立，即恒成立当时，使得在上单调递减，在上单调递增时，可知不恒成立当时，在上单调递减 可知不恒成立综上所述：【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此
18、类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.请考生在第22，23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题得分作答时请写清题号22. 在平面直角坐标系中，的参数方程为（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）求的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到距离的最大值及该点坐标.【答案】（1）的普通方程为；曲线C的直角坐标方程为（2）曲线C上的点到直线距离的最大值为，该点坐标为【解析】【分析】（1）先将直线的参数方
19、程利用部分分式法进行转化，再消参数，即可得解，要注意去除杂点；将曲线C的方程先去分母，再将，代入，化简即可求解；（2）先将曲线C的方程化为参数形式，再利用点到直线的距离公式，结合三角函数求最值，即可得解.【详解】解：（1）由（t为参数），得.消去参数t，得的普通方程为；将去分母得，将代入，得，所以曲线C的直角坐标方程为.（2）由（1）可设曲线C的参数方程为（为参数），则曲线C上的点到的距离，当，即时，此时，所以曲线C上的点到直线距离的最大值为，该点坐标为.【点睛】本题考查参数方程与普通方程、直角坐标和极坐标之间的转化，利用圆锥曲线的参数方程解决点到直线距离的问题，考查考生的运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题.23. 设函数.（）求不等式的解集；（）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（）或；（）或.【解析】【分析】（）将绝对值函数分段表示，分别求解即可；（）利用绝对值不等式的性质，转化为，求解即可.【详解】（），当时，解得，所以；当时，解得；当时，解得，所以，综上所述，不等式的解集为或.（）（当且仅当即时取等）或.【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解和恒成立问题，考查了学生转化化归，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.