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2021年全国统一高考数学试卷(理科)(乙卷) WORD版含解析.doc

上传人:高**** 文档编号:460525 上传时间:2024-05-28 格式:DOC 页数:23 大小:436.50KB
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1、2021年全国统一高考数学试卷(理科)(乙卷)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1(5分)设2(z+)+3(z)4+6i,则z()A12iB1+2iC1+iD1i2(5分)已知集合Ss|s2n+1,nZ,Tt|t4n+1,nZ,则ST()ABSCTDZ3(5分)已知命题p:xR,sinx1;命题q:xR,e|x|1,则下列命题中为真命题的是()ApqBpqCpqD(pq)4(5分)设函数f(x),则下列函数中为奇函数的是()Af(x1)1Bf(x1)+1Cf(x+1)1Df(x+1)+15(5分)在正方体ABCDA1B1C1D

2、1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为()ABCD6(5分)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有()A60种B120种C240种D480种7(5分)把函数yf(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数ysin(x)的图像,则f(x)()Asin()Bsin(+)Csin(2x)Dsin(2x+)8(5分)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数,则两数之和大于的概率为()ABCD9(5分)魏晋时期刘徽撰写的海

3、岛算经是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB()A+表高B表高C+表距D表距10(5分)设a0,若xa为函数f(x)a(xa)2(xb)的极大值点,则()AabBabCaba2Daba211(5分)设B是椭圆C:+1(ab0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|2b,则C的离心率的取值范围是()A,1)B,1)C(0,D(0,12(5分)设a2ln1.01,bln1.02,c1,则()Aa

4、bcBbcaCbacDcab二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13(5分)已知双曲线C:y21(m0)的一条渐近线为x+my0,则C的焦距为 14(5分)已知向量(1,3),(3,4),若(),则 15(5分)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B60,a2+c23ac,则b 16(5分)以图为正视图,在图中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为 (写出符合要求的一组答案即可)三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根

5、据要求作答。(一)必考题:共60分。17(12分)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和,样本方差分别记为s12和s22(1)求,s12,s22;(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果2,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高

6、,否则不认为有显著提高)18(12分)如图,四棱锥PABCD的底面是矩形,PD底面ABCD,PDDC1,M为BC中点,且PBAM(1)求BC;(2)求二面角APMB的正弦值19(12分)记Sn为数列an的前n项和,bn为数列Sn的前n项积,已知+2(1)证明:数列bn是等差数列;(2)求an的通项公式20(12分)已知函数f(x)ln(ax),已知x0是函数yxf (x)的极值点(1)求a;(2)设函数g(x)证明:g(x)121(12分)已知抛物线C:x22py(p0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)21上点的距离的最小值为4(1)求p;(2)若点P在M上,PA,PB为C的两条切线,

7、A,B是切点,求PAB面积的最大值(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。选修4-4:坐标系与参数方程(10分)22(10分)在直角坐标系xOy中,C的圆心为C(2,1),半径为1(1)写出C的一个参数方程;(2)过点F(4,1)作C的两条切线以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程选修4-5:不等式选讲(10分)23已知函数f(x)|xa|+|x+3|(1)当a1时,求不等式f(x)6的解集;(2)若f(x)a,求a的取值范围2021年全国统一高考数学试卷(理科)(乙卷)参考答案与试题解析一、选择题:本题共

8、12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1(5分)设2(z+)+3(z)4+6i,则z()A12iB1+2iC1+iD1i【分析】利用待定系数法设出za+bi,a,b是实数,根据条件建立方程进行求解即可【解答】解:设za+bi,a,b是实数,则abi,则由2(z+)+3(z)4+6i,得22a+32bi4+6i,得4a+6bi4+6i,得,得a1,b1,即z1+i,故选:C2(5分)已知集合Ss|s2n+1,nZ,Tt|t4n+1,nZ,则ST()ABSCTDZ【分析】分别讨论当n是偶数、奇数时的集合元素情况,结合集合的基本运算进行判断即可【解答】解

9、:当n是偶数时,设n2k,则s2n+14k+1,当n是奇数时,设n2k+1,则s2n+14k+3,kZ,则TS,则STT,故选:C3(5分)已知命题p:xR,sinx1;命题q:xR,e|x|1,则下列命题中为真命题的是()ApqBpqCpqD(pq)【分析】先分别判断命题p和命题q的真假,然后由简单的复合命题的真假判断法则进行判断,即可得到答案【解答】解:对于命题p:xR,sinx1,当x0时,sinx01,故命题p为真命题,p为假命题;对于命题q:xR,e|x|1,因为|x|0,又函数yex为单调递增函数,故e|x|e01,故命题q为真命题,q为假命题,所以pq为真命题,pq为假命题,pq

10、为假命题,(pq)为假命题,故选:A4(5分)设函数f(x),则下列函数中为奇函数的是()Af(x1)1Bf(x1)+1Cf(x+1)1Df(x+1)+1【分析】先根据函数f(x)的解析式,得到f(x)的对称中心,然后通过图象变换,使得变换后的函数图象的对称中心为(0,0),从而得到答案【解答】解:因为f(x),所以函数f(x)的对称中心为(1,1),所以将函数f(x)向右平移一个单位,向上平移一个单位,得到函数yf(x1)+1,该函数的对称中心为(0,0),故函数yf(x1)+1为奇函数故选:B5(5分)在正方体ABCDA1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为()

11、ABCD【分析】法一:由AD1BC1,得PBC1是直线PB与AD1所成的角(或所成角的补角),由此利用余弦定理,求出直线PB与AD1所成的角法二:AD1BC1,从而直线PB与AD1所成角为PBC1,在正A1BC1中,BP是A1BC1的平分线,由此能求出直线PB与AD1所成的角【解答】解法一:AD1BC1,PBC1是直线PB与AD1所成的角(或所成角的补角),设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,则PB1PC1,BC12,BP,cosPBC1,PBC1,直线PB与AD1所成的角为解法二:AD1BC1,直线PB与AD1所成角为PBC1,在正A1BC1中,BP是A1BC1的平分线,PBC1直线

12、PB与AD1所成的角为故选:D6(5分)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有()A60种B120种C240种D480种【分析】5名志愿者先选2人一组,然后4组全排列即可【解答】解:5名志愿者选2个1组,有种方法,然后4组进行全排列,有种,共有240种,故选:C7(5分)把函数yf(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数ysin(x)的图像,则f(x)()Asin()Bsin(+)Csin(2x)Dsin(2x+)【分析】由题意

13、利用函数yAsin(x+)的图像变换规律,得出结论【解答】解:把函数yf(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数ysin(x)的图像,把函数ysin(x)的图像,向左平移个单位长度,得到ysin(x+)sin(x+)的图像;再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,可得f(x)sin(x+)的图像故选:B8(5分)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数,则两数之和大于的概率为()ABCD【分析】由题意可得可行域:,可得三角形的面积,结合几何概型即可得出结论【解答】解:由题意可得可行域:,可得三角形的面积,1故选:B9(5分)

14、魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB()A+表高B表高C+表距D表距【分析】根据相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系即可得出【解答】解:,故,即,解得AE,AHAE+EH,故AB+DE+表高另解:如图所示,连接FD并延长交AB于点M,ABABABBM,ABBM+MA+表高故选:A10(5分)设a0,若xa为函数f(x)a(xa)2(xb)的极大值点,则(

15、)AabBabCaba2Daba2【分析】分a0及a0,结合三次函数的性质及题意,通过图象发现a,b的大小关系,进而得出答案【解答】解:令f(x)0,解得xa或xb,即xa及xb是f(x)的两个零点,当a0时,由三次函数的性质可知,要使xa是f(x)的极大值点,则函数f(x)的大致图象如下图所示,则0ab;当a0时,由三次函数的性质可知,要使xa是f(x)的极大值点,则函数f(x)的大致图象如下图所示,则ba0;综上,aba2故选:D11(5分)设B是椭圆C:+1(ab0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|2b,则C的离心率的取值范围是()A,1)B,1)C(0,D(0,【分析】设P(

16、x0,y0),可得|PB|2y022by0+a2+b2,y0b,b,结合二次函数的性质即可求出离心率的取值范围【解答】解:点B的坐标为(0,b),设P(x0,y0),则+1,x02a2(1),故|PB|2x02+(y0b)2a2(1)+(y0b)2y022by0+a2+b2,y0b,b,又对称轴y00,当b时,即bc时,则当y0b时,|PB|2最大,此时|PB|2b,故只需要满足b,即b2c2,则a2c2c2,所以e,又0e1,故e的范围为(0,当b时,即bc时,则当y0时,|PB|2最大,此时|PB|2+a2+b24b2,则a44a2c2+4c40,解得ac,所以bc,又bc,故不满足题意,

17、综上所述的e的范围为(0,方法二:根据题意,有B(0,b),设P(x0,y0),则|PB|2bx02+(y0b)24b2,也即a2(1)+(y0b)24b2,不妨设b1,则y01,1,(a21)y02+2y0a2+30,也即y01,1,(y0+1)(a21)y0a2+30,也即y01,1,(a21)y0a2+30,从而可得(a21)(1)a2+30a(1,从而离心率的取值范围为(0,故选:C12(5分)设a2ln1.01,bln1.02,c1,则()AabcBbcaCbacDcab【分析】构造函数f(x)2ln(1+x)(1),0x1,h(x)ln(1+2x)(1),利用导数和函数的单调性即可

18、判断【解答】解:a2ln1.01ln1.0201,bln1.02,ab,令f(x)2ln(1+x)(1),0x1,令t,则1tx,g(t)2ln()t+12ln(t2+3)t+12ln4,g(t)10,g(t)在(1,)上单调递增,g(t)g(1)2ln41+12ln40,f(x)0,ac,同理令h(x)ln(1+2x)(1),再令t,则1tx,(t)ln()t+1ln(t2+1)t+1ln2,(t)10,(t)在(1,)上单调递减,(t)(1)ln21+1ln20,h(x)0,cb,acb故选:B二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13(5分)已知双曲线C:y21(m0)的一条渐

19、近线为x+my0,则C的焦距为4【分析】根据题意,由双曲线的性质可得,解可得m的值,即可得双曲线的标准方程,据此计算c的值,即可得答案【解答】解:根据题意,双曲线C:y21(m0)的一条渐近线为x+my0,则有,解可得m3,则双曲线的方程为y21,则c2,其焦距2c4;故答案为:414(5分)已知向量(1,3),(3,4),若(),则【分析】利用向量的坐标运算求得(13,34),再由(),可得()0,即可求解的值【解答】解:因为向量(1,3),(3,4),则(13,34),又(),所以()3(13)+4(34)15250,解得故答案为:15(5分)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c

20、,面积为,B60,a2+c23ac,则b2【分析】由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于b的方程,解方程可得【解答】解:ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B60,a2+c23ac,acsinBacac4a2+c212,又cosBb2,(负值舍)故答案为:216(5分)以图为正视图,在图中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为 或(写出符合要求的一组答案即可)【分析】通过观察已知条件正视图,确定该正视图的长和高,结合长、高、以及侧视图视图中的实线、虚线来确定俯视图图形【解答】解:观察正视图,推出正视图的长为2和高1,图形的高

21、也为1,即可能为该三棱锥的侧视图,图形的长为2,即可能为该三棱锥的俯视图,当为侧视图时,结合侧视图中的直线,可以确定该三棱锥的俯视图为,当为侧视图时,结合侧视图虚线,虚线所在的位置有立体图形的轮廓线,可以确定该三棱锥的俯视图为故答案为:或三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17(12分)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:旧设备9.810.310.

22、010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和,样本方差分别记为s12和s22(1)求,s12,s22;(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果2,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高)【分析】(1)利用平均数和方差的计算公式进行计算即可;(2)比较与2的大小,即可判断得到答案【解答】解:(1)由题中的数据可得,(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.

23、1+10.2+9.7)10,(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)10.3,s12(9.810)2+(10.310)2+(1010)2+(10.210)2+(9.910)2+(9.810)2+(1010)2+(10.110)2+(10.210)2+(9.710)20.036;s22(10.110.3)2+(10.410.3)2+(10.110.3)2+(10.010.3)2+(10.110.3)2+(10.310.3)2+(10.610.3)2+(10.510.3)2+(10.410.3)2+(10.510.3)20.04;(2)

24、,因为,所以2,故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高18(12分)如图,四棱锥PABCD的底面是矩形,PD底面ABCD,PDDC1,M为BC中点,且PBAM(1)求BC;(2)求二面角APMB的正弦值【分析】(1)连结BD,利用线面垂直的性质定理证明AMPD,从而可以证明AM平面PBD,得到AMBD,证明RtDABRtABM,即可得到BC的长度;(2)建立合适的空间直角坐标系,求出所需点的坐标和向量的坐标,然后利用待定系数法求出平面的法向量,由向量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可【解答】解:(1)连结BD,因为PD底面ABCD,且AM平面ABCD,则AMPD,又AMPB,P

25、BPDP,PB,PD平面PBD,所以AM平面PBD,又BD平面PBD,则AMBD,所以ABD+MAB90,又ABD+ADB90,则有ADBMAB,所以RtDABRtABM,则,所以,解得BC;(2)因为DA,DC,DP两两垂直,故以点D位坐标原点建立空间直角坐标系如图所示,则,P(0,0,1),所以,设平面AMP的法向量为,则有,即,令,则y1,z2,故,设平面BMP的法向量为,则有,即,令q1,则r1,故,所以,设二面角APMB的平面角为,则sin,所以二面角APMB的正弦值为19(12分)记Sn为数列an的前n项和,bn为数列Sn的前n项积,已知+2(1)证明:数列bn是等差数列;(2)求

26、an的通项公式【分析】(1)由题意当n1时,b1S1,代入已知等式可得b1的值,当n2时,将Sn,代入+2,可得bnbn1,进一步得到数列bn是等差数列;(2)由a1S1b1,可得bn,代入已知等式可得Sn,当n2时,anSnSn1,进一步得到数列an的通项公式【解答】解:(1)证明:当n1时,b1S1,由+2,解得b1,当n2时,Sn,代入+2,消去Sn,可得+2,所以bnbn1,所以bn是以为首项,为公差的等差数列(2)由题意,得a1S1b1,由(1),可得bn+(n1),由+2,可得Sn,当n2时,anSnSn1,显然a1不满足该式,所以an20(12分)已知函数f(x)ln(ax),已

27、知x0是函数yxf (x)的极值点(1)求a;(2)设函数g(x)证明:g(x)1【分析】(1)确定函数f(x)的定义域,令t(x)xf(x),由极值的定义得到t(x)0,求出a的值,然后进行证明,即可得到a的值;(2)将问题转化为证明,进一步转化为证明x+ln(1x)xln(1x),令h(x)x+(1x)ln(1x),利用导数研究h(x)的单调性,证明h(x)h(0),即可证明【解答】(1)解:由题意,f(x)的定义域为(,a),令t(x)xf(x),则t(x)xln(ax),x(,a),则t(x)ln(ax)+x,因为x0是函数yxf(x)的极值点,则有t(0)0,即lna0,所以a1,当

28、a1时,t(x),且t(0)0,因为t(x),则t(x)在(,1)上单调递减,所以当x(,0)时,t(x)0,当x(0,1)时,t(x)0,所以a1时,x0是函数yxf(x)的一个极大值点综上所述,a1;(2)证明:由(1)可知,xf(x)xln(1x),要证,即需证明,因为当x(,0)时,xln(1x)0,当x(0,1)时,xln(1x)0,所以需证明x+ln(1x)xln(1x),即x+(1x)ln(1x)0,令h(x)x+(1x)ln(1x),则h(x)(1x)ln(1x),所以h(0)0,当x(,0)时,h(x)0,当x(0,1)时,h(x)0,所以x0为h(x)的极小值点,所以h(x

29、)h(0)0,即x+ln(1x)xln(1x),故,所以21(12分)已知抛物线C:x22py(p0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)21上点的距离的最小值为4(1)求p;(2)若点P在M上,PA,PB为C的两条切线,A,B是切点,求PAB面积的最大值【分析】(1)由点F到圆M上的点最小值为4建立关于p的方程,解出即可;(2)对求导,由导数的几何意义可得出直线PA及PB的方程,进而得到点P的坐标,再将AB的方程与抛物线方程联立,可得P(2k,b),|AB|以及点P到直线AB的距离,进而表示出PAB的面积,再求出其最小值即可【解答】解:(1)点到圆M上的点的距离的最小值为,解得p2;(2

30、)由(1)知,抛物线的方程为x24y,即,则,设切点A(x1,y1),B(x2,y2),则易得,从而得到,设lAB:ykx+b,联立抛物线方程,消去y并整理可得x24kx4b0,16k2+16b0,即k2+b0,且x1+x24k,x1x24b,P(2k,b),又点P(2k,b)在圆M:x2+(y+4)21上,故,代入得,而ypb5,3,当b5时,(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。选修4-4:坐标系与参数方程(10分)22(10分)在直角坐标系xOy中,C的圆心为C(2,1),半径为1(1)写出C的一个参数方程;(2)过点F(4,1)作

31、C的两条切线以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程【分析】(1)求出C的标准方程,即可求得C的参数方程;(2)求出直角坐标系中的切线方程,再由xcos,ysin即可求解这两条切线的极坐标方程【解答】解:(1)C的圆心为C(2,1),半径为1,则C的标准方程为(x2)2+(y1)21,C的一个参数方程为(为参数)(2)由题意可知两条切线方程斜率存在,设切线方程为y1k(x4),即kxy4k+10,圆心C(2,1)到切线的距离d1,解得k,所以切线方程为y(x4)+1,因为xcos,ysin,所以这两条切线的极坐标方程为sin(cos4)+1选修4-5:不等式选讲

32、(10分)23已知函数f(x)|xa|+|x+3|(1)当a1时,求不等式f(x)6的解集;(2)若f(x)a,求a的取值范围【分析】(1)将a1代入f(x)中,根据f(x)6,利用零点分段法解不等式即可;(2)利用绝对值三角不等式可得f(x)|a+3|,然后根据f(x)a,得到|a+3|a,求出a的取值范围【解答】解:(1)当a1时,f(x)|x1|+|x+3|,f(x)6,或或,x4或x2,不等式的解集为(,42,+)(2)f(x)|xa|+|x+3|xax3|a+3|,若f(x)a,则|a+3|a,当a0时,不等式恒成立;当a0时,a0,不等式|a+3|a两边平方可得a2+6a+9a2,解得a0,综上可得,a的取值范围是(,+)声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2022/3/8 16:33:00;用户:一中;邮箱:52405;学号:41470688第23页(共23页)

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