1、2021年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）设2（z+）+3（z）4+6i，则z（）A12iB1+2iC1+iD1i2（5分）已知集合Ss|s2n+1，nZ，Tt|t4n+1，nZ，则ST（）ABSCTDZ3（5分）已知命题p：xR，sinx1；命题q：xR，e|x|1，则下列命题中为真命题的是（）ApqBpqCpqD（pq）4（5分）设函数f（x），则下列函数中为奇函数的是（）Af（x1）1Bf（x1）+1Cf（x+1）1Df（x+1）+15（5分）在正方体ABCDA1B1C1D
2、1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（）ABCD6（5分）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A60种B120种C240种D480种7（5分）把函数yf（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数ysin（x）的图像，则f（x）（）Asin（）Bsin（+）Csin（2x）Dsin（2x+）8（5分）在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（）ABCD9（5分）魏晋时期刘徽撰写的海
3、岛算经是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB（）A+表高B表高C+表距D表距10（5分）设a0，若xa为函数f（x）a（xa）2（xb）的极大值点，则（）AabBabCaba2Daba211（5分）设B是椭圆C：+1（ab0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|2b，则C的离心率的取值范围是（）A，1）B，1）C（0，D（0，12（5分）设a2ln1.01，bln1.02，c1，则（）Aa
4、bcBbcaCbacDcab二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）已知双曲线C：y21（m0）的一条渐近线为x+my0，则C的焦距为 14（5分）已知向量（1，3），（3，4），若（），则 15（5分）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B60，a2+c23ac，则b 16（5分）以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根
5、据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为s12和s22（1）求，s12，s22；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高
6、，否则不认为有显著提高）18（12分）如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，PDDC1，M为BC中点，且PBAM（1）求BC；（2）求二面角APMB的正弦值19（12分）记Sn为数列an的前n项和，bn为数列Sn的前n项积，已知+2（1）证明：数列bn是等差数列；（2）求an的通项公式20（12分）已知函数f（x）ln（ax），已知x0是函数yxf （x）的极值点（1）求a；（2）设函数g（x）证明：g（x）121（12分）已知抛物线C：x22py（p0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）21上点的距离的最小值为4（1）求p；（2）若点P在M上，PA，PB为C的两条切线，
7、A，B是切点，求PAB面积的最大值（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在直角坐标系xOy中，C的圆心为C（2，1），半径为1（1）写出C的一个参数方程；（2）过点F（4，1）作C的两条切线以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数f（x）|xa|+|x+3|（1）当a1时，求不等式f（x）6的解集；（2）若f（x）a，求a的取值范围2021年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共
8、12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）设2（z+）+3（z）4+6i，则z（）A12iB1+2iC1+iD1i【分析】利用待定系数法设出za+bi，a，b是实数，根据条件建立方程进行求解即可【解答】解：设za+bi，a，b是实数，则abi，则由2（z+）+3（z）4+6i，得22a+32bi4+6i，得4a+6bi4+6i，得，得a1，b1，即z1+i，故选：C2（5分）已知集合Ss|s2n+1，nZ，Tt|t4n+1，nZ，则ST（）ABSCTDZ【分析】分别讨论当n是偶数、奇数时的集合元素情况，结合集合的基本运算进行判断即可【解答】解
9、：当n是偶数时，设n2k，则s2n+14k+1，当n是奇数时，设n2k+1，则s2n+14k+3，kZ，则TS，则STT，故选：C3（5分）已知命题p：xR，sinx1；命题q：xR，e|x|1，则下列命题中为真命题的是（）ApqBpqCpqD（pq）【分析】先分别判断命题p和命题q的真假，然后由简单的复合命题的真假判断法则进行判断，即可得到答案【解答】解：对于命题p：xR，sinx1，当x0时，sinx01，故命题p为真命题，p为假命题；对于命题q：xR，e|x|1，因为|x|0，又函数yex为单调递增函数，故e|x|e01，故命题q为真命题，q为假命题，所以pq为真命题，pq为假命题，pq
10、为假命题，（pq）为假命题，故选：A4（5分）设函数f（x），则下列函数中为奇函数的是（）Af（x1）1Bf（x1）+1Cf（x+1）1Df（x+1）+1【分析】先根据函数f（x）的解析式，得到f（x）的对称中心，然后通过图象变换，使得变换后的函数图象的对称中心为（0，0），从而得到答案【解答】解：因为f（x），所以函数f（x）的对称中心为（1，1），所以将函数f（x）向右平移一个单位，向上平移一个单位，得到函数yf（x1）+1，该函数的对称中心为（0，0），故函数yf（x1）+1为奇函数故选：B5（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（）
11、ABCD【分析】法一：由AD1BC1，得PBC1是直线PB与AD1所成的角（或所成角的补角），由此利用余弦定理，求出直线PB与AD1所成的角法二：AD1BC1，从而直线PB与AD1所成角为PBC1，在正A1BC1中，BP是A1BC1的平分线，由此能求出直线PB与AD1所成的角【解答】解法一：AD1BC1，PBC1是直线PB与AD1所成的角（或所成角的补角），设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则PB1PC1，BC12，BP，cosPBC1，PBC1，直线PB与AD1所成的角为解法二：AD1BC1，直线PB与AD1所成角为PBC1，在正A1BC1中，BP是A1BC1的平分线，PBC1直线
12、PB与AD1所成的角为故选：D6（5分）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A60种B120种C240种D480种【分析】5名志愿者先选2人一组，然后4组全排列即可【解答】解：5名志愿者选2个1组，有种方法，然后4组进行全排列，有种，共有240种，故选：C7（5分）把函数yf（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数ysin（x）的图像，则f（x）（）Asin（）Bsin（+）Csin（2x）Dsin（2x+）【分析】由题意
13、利用函数yAsin（x+）的图像变换规律，得出结论【解答】解：把函数yf（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数ysin（x）的图像，把函数ysin（x）的图像，向左平移个单位长度，得到ysin（x+）sin（x+）的图像；再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得f（x）sin（x+）的图像故选：B8（5分）在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（）ABCD【分析】由题意可得可行域：，可得三角形的面积，结合几何概型即可得出结论【解答】解：由题意可得可行域：，可得三角形的面积，1故选：B9（5分）
14、魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB（）A+表高B表高C+表距D表距【分析】根据相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系即可得出【解答】解：，故，即，解得AE，AHAE+EH，故AB+DE+表高另解：如图所示，连接FD并延长交AB于点M，ABABABBM，ABBM+MA+表高故选：A10（5分）设a0，若xa为函数f（x）a（xa）2（xb）的极大值点，则（
15、）AabBabCaba2Daba2【分析】分a0及a0，结合三次函数的性质及题意，通过图象发现a，b的大小关系，进而得出答案【解答】解：令f（x）0，解得xa或xb，即xa及xb是f（x）的两个零点，当a0时，由三次函数的性质可知，要使xa是f（x）的极大值点，则函数f（x）的大致图象如下图所示，则0ab；当a0时，由三次函数的性质可知，要使xa是f（x）的极大值点，则函数f（x）的大致图象如下图所示，则ba0；综上，aba2故选：D11（5分）设B是椭圆C：+1（ab0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|2b，则C的离心率的取值范围是（）A，1）B，1）C（0，D（0，【分析】设P（
16、x0，y0），可得|PB|2y022by0+a2+b2，y0b，b，结合二次函数的性质即可求出离心率的取值范围【解答】解：点B的坐标为（0，b），设P（x0，y0），则+1，x02a2（1），故|PB|2x02+（y0b）2a2（1）+（y0b）2y022by0+a2+b2，y0b，b，又对称轴y00，当b时，即bc时，则当y0b时，|PB|2最大，此时|PB|2b，故只需要满足b，即b2c2，则a2c2c2，所以e，又0e1，故e的范围为（0，当b时，即bc时，则当y0时，|PB|2最大，此时|PB|2+a2+b24b2，则a44a2c2+4c40，解得ac，所以bc，又bc，故不满足题意，
17、综上所述的e的范围为（0，方法二：根据题意，有B（0，b），设P（x0，y0），则|PB|2bx02+（y0b）24b2，也即a2（1）+（y0b）24b2，不妨设b1，则y01，1，（a21）y02+2y0a2+30，也即y01，1，（y0+1）（a21）y0a2+30，也即y01，1，（a21）y0a2+30，从而可得（a21）（1）a2+30a（1，从而离心率的取值范围为（0，故选：C12（5分）设a2ln1.01，bln1.02，c1，则（）AabcBbcaCbacDcab【分析】构造函数f（x）2ln（1+x）（1），0x1，h（x）ln（1+2x）（1），利用导数和函数的单调性即可
18、判断【解答】解：a2ln1.01ln1.0201，bln1.02，ab，令f（x）2ln（1+x）（1），0x1，令t，则1tx，g（t）2ln（）t+12ln（t2+3）t+12ln4，g（t）10，g（t）在（1，）上单调递增，g（t）g（1）2ln41+12ln40，f（x）0，ac，同理令h（x）ln（1+2x）（1），再令t，则1tx，（t）ln（）t+1ln（t2+1）t+1ln2，（t）10，（t）在（1，）上单调递减，（t）（1）ln21+1ln20，h（x）0，cb，acb故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）已知双曲线C：y21（m0）的一条渐
19、近线为x+my0，则C的焦距为4【分析】根据题意，由双曲线的性质可得，解可得m的值，即可得双曲线的标准方程，据此计算c的值，即可得答案【解答】解：根据题意，双曲线C：y21（m0）的一条渐近线为x+my0，则有，解可得m3，则双曲线的方程为y21，则c2，其焦距2c4；故答案为：414（5分）已知向量（1，3），（3，4），若（），则【分析】利用向量的坐标运算求得（13，34），再由（），可得（）0，即可求解的值【解答】解：因为向量（1，3），（3，4），则（13，34），又（），所以（）3（13）+4（34）15250，解得故答案为：15（5分）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c
20、，面积为，B60，a2+c23ac，则b2【分析】由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于b的方程，解方程可得【解答】解：ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B60，a2+c23ac，acsinBacac4a2+c212，又cosBb2，（负值舍）故答案为：216（5分）以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 或（写出符合要求的一组答案即可）【分析】通过观察已知条件正视图，确定该正视图的长和高，结合长、高、以及侧视图视图中的实线、虚线来确定俯视图图形【解答】解：观察正视图，推出正视图的长为2和高1，图形的高
21、也为1，即可能为该三棱锥的侧视图，图形的长为2，即可能为该三棱锥的俯视图，当为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为，当为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱锥的俯视图为故答案为：或三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.
22、010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为s12和s22（1）求，s12，s22；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）【分析】（1）利用平均数和方差的计算公式进行计算即可；（2）比较与2的大小，即可判断得到答案【解答】解：（1）由题中的数据可得，（9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.
23、1+10.2+9.7）10，（10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5）10.3，s12（9.810）2+（10.310）2+（1010）2+（10.210）2+（9.910）2+（9.810）2+（1010）2+（10.110）2+（10.210）2+（9.710）20.036；s22（10.110.3）2+（10.410.3）2+（10.110.3）2+（10.010.3）2+（10.110.3）2+（10.310.3）2+（10.610.3）2+（10.510.3）2+（10.410.3）2+（10.510.3）20.04；（2）
24、，因为，所以2，故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高18（12分）如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，PDDC1，M为BC中点，且PBAM（1）求BC；（2）求二面角APMB的正弦值【分析】（1）连结BD，利用线面垂直的性质定理证明AMPD，从而可以证明AM平面PBD，得到AMBD，证明RtDABRtABM，即可得到BC的长度；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可【解答】解：（1）连结BD，因为PD底面ABCD，且AM平面ABCD，则AMPD，又AMPB，P
25、BPDP，PB，PD平面PBD，所以AM平面PBD，又BD平面PBD，则AMBD，所以ABD+MAB90，又ABD+ADB90，则有ADBMAB，所以RtDABRtABM，则，所以，解得BC；（2）因为DA，DC，DP两两垂直，故以点D位坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则，P（0，0，1），所以，设平面AMP的法向量为，则有，即，令，则y1，z2，故，设平面BMP的法向量为，则有，即，令q1，则r1，故，所以，设二面角APMB的平面角为，则sin，所以二面角APMB的正弦值为19（12分）记Sn为数列an的前n项和，bn为数列Sn的前n项积，已知+2（1）证明：数列bn是等差数列；（2）求
26、an的通项公式【分析】（1）由题意当n1时，b1S1，代入已知等式可得b1的值，当n2时，将Sn，代入+2，可得bnbn1，进一步得到数列bn是等差数列；（2）由a1S1b1，可得bn，代入已知等式可得Sn，当n2时，anSnSn1，进一步得到数列an的通项公式【解答】解：（1）证明：当n1时，b1S1，由+2，解得b1，当n2时，Sn，代入+2，消去Sn，可得+2，所以bnbn1，所以bn是以为首项，为公差的等差数列（2）由题意，得a1S1b1，由（1），可得bn+（n1），由+2，可得Sn，当n2时，anSnSn1，显然a1不满足该式，所以an20（12分）已知函数f（x）ln（ax），已
27、知x0是函数yxf （x）的极值点（1）求a；（2）设函数g（x）证明：g（x）1【分析】（1）确定函数f（x）的定义域，令t（x）xf（x），由极值的定义得到t（x）0，求出a的值，然后进行证明，即可得到a的值；（2）将问题转化为证明，进一步转化为证明x+ln（1x）xln（1x），令h（x）x+（1x）ln（1x），利用导数研究h（x）的单调性，证明h（x）h（0），即可证明【解答】（1）解：由题意，f（x）的定义域为（，a），令t（x）xf（x），则t（x）xln（ax），x（，a），则t（x）ln（ax）+x，因为x0是函数yxf（x）的极值点，则有t（0）0，即lna0，所以a1，当
28、a1时，t（x），且t（0）0，因为t（x），则t（x）在（，1）上单调递减，所以当x（，0）时，t（x）0，当x（0，1）时，t（x）0，所以a1时，x0是函数yxf（x）的一个极大值点综上所述，a1；（2）证明：由（1）可知，xf（x）xln（1x），要证，即需证明，因为当x（，0）时，xln（1x）0，当x（0，1）时，xln（1x）0，所以需证明x+ln（1x）xln（1x），即x+（1x）ln（1x）0，令h（x）x+（1x）ln（1x），则h（x）（1x）ln（1x），所以h（0）0，当x（，0）时，h（x）0，当x（0，1）时，h（x）0，所以x0为h（x）的极小值点，所以h（x
29、）h（0）0，即x+ln（1x）xln（1x），故，所以21（12分）已知抛物线C：x22py（p0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）21上点的距离的最小值为4（1）求p；（2）若点P在M上，PA，PB为C的两条切线，A，B是切点，求PAB面积的最大值【分析】（1）由点F到圆M上的点最小值为4建立关于p的方程，解出即可；（2）对求导，由导数的几何意义可得出直线PA及PB的方程，进而得到点P的坐标，再将AB的方程与抛物线方程联立，可得P（2k，b），|AB|以及点P到直线AB的距离，进而表示出PAB的面积，再求出其最小值即可【解答】解：（1）点到圆M上的点的距离的最小值为，解得p2；（2
30、）由（1）知，抛物线的方程为x24y，即，则，设切点A（x1，y1），B（x2，y2），则易得，从而得到，设lAB：ykx+b，联立抛物线方程，消去y并整理可得x24kx4b0，16k2+16b0，即k2+b0，且x1+x24k，x1x24b，P（2k，b），又点P（2k，b）在圆M：x2+（y+4）21上，故，代入得，而ypb5，3，当b5时，（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在直角坐标系xOy中，C的圆心为C（2，1），半径为1（1）写出C的一个参数方程；（2）过点F（4，1）作
31、C的两条切线以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程【分析】（1）求出C的标准方程，即可求得C的参数方程；（2）求出直角坐标系中的切线方程，再由xcos，ysin即可求解这两条切线的极坐标方程【解答】解：（1）C的圆心为C（2，1），半径为1，则C的标准方程为（x2）2+（y1）21，C的一个参数方程为（为参数）（2）由题意可知两条切线方程斜率存在，设切线方程为y1k（x4），即kxy4k+10，圆心C（2，1）到切线的距离d1，解得k，所以切线方程为y（x4）+1，因为xcos，ysin，所以这两条切线的极坐标方程为sin（cos4）+1选修4-5：不等式选讲
32、（10分）23已知函数f（x）|xa|+|x+3|（1）当a1时，求不等式f（x）6的解集；（2）若f（x）a，求a的取值范围【分析】（1）将a1代入f（x）中，根据f（x）6，利用零点分段法解不等式即可；（2）利用绝对值三角不等式可得f（x）|a+3|，然后根据f（x）a，得到|a+3|a，求出a的取值范围【解答】解：（1）当a1时，f（x）|x1|+|x+3|，f（x）6，或或，x4或x2，不等式的解集为（，42，+）（2）f（x）|xa|+|x+3|xax3|a+3|，若f（x）a，则|a+3|a，当a0时，不等式恒成立；当a0时，a0，不等式|a+3|a两边平方可得a2+6a+9a2，解得a0，综上可得，a的取值范围是（，+）声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/3/8 16:33:00；用户：一中；邮箱：52405；学号：41470688第23页（共23页）
