1、61.5向量的线性运算课时29向量的线性运算知识点一 向量的加法与数乘向量的混合运算1.化简：(1)2_；(2)2(ab)3(ab)_；(3)(ab)(ab)_.答案(1)a6b(2)5a5b(3)(ab)解析(1)原式2a23ba6b.(2)原式2a2b3a3b5a5b.(3)原式(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)知识点二 向量的线性运算2.化简下列各式：(1)(2a3bc)(3a2bc)2(c3b)_；(2)_.答案(1)ab(2)ab解析(1)原式2a3bc3a2bc2c6b(23)a(326)b(112)cab.(2)原式ab.3(1)已知3(xa)3(x
2、2a)4(xab)0(其中a，b为已知向量)，求x；(2)已知其中a，b为已知向量，求x，y.解(1)原方程化为3x3a3x6a4x4a4b0.得2xa4b0，即2x4ba.x2ba.(2)由得yxb，代入，得3x4a，3xxba，xab.ybabbab.综上可得知识点三 向量的线性运算的应用4.如图所示，D是ABC的边AB上的中点，则向量()A B C D 答案B解析解法一：D是AB的中点，B.解法二：( )().5已知a5b，2a8b，3(ab)，则()AA，B，C三点共线 BA，B，D三点共线CA，C，D三点共线 DB，C，D三点共线答案B解析2a8b3(ab)a5b，与平行，又AB与B
3、D有公共点B，则A，B，D三点共线6D，E，F分别为ABC的边BC，CA，AB的中点，且a， b，给出下列命题：ab； ab；ab； 0.其中正确命题的序号为_答案解析如图，b ba.ab. ()b(ba)ba.baabba0.7设x，y是未知向量(1)解方程5(xa)3(xb)0；(2)解方程组解(1)原方程可变为5x5a3x3b0，即8x5a3b，xab.(2)2，得y2ab，yab.代入，得xab.8在ABC中，已知点D，E分别在边AC，AB上，且，设a，b.求证：(ba)证明，b，()(ba)ba.bbaba(ba).易错点 用已知向量表示未知向量时，考虑问题不全面致误9.在三角形AB
4、C中，点D为BC的三等分点，设向量a，b，用向量a，b表示 _.易错分析本题出错的原因是忽视了三等分点是两种情况，应有或.解题时条件转化要全面准确答案ab或ab正解因为D为BC的三等分点，当BDBC时，如图1，所以()ab.当BDBC时，如图2，所以()ab.一、选择题1化简：3(2ab)2(4a2b)()A7a4b B14a4bC7a14b D14a7b答案D解析原式6a3b8a4b14a7b.故选D.2已知向量a，b不共线，实数x，y满足(3x4y)a(2x3y)b6a3b，则xy的值为()A3 B3C0 D2答案A解析(3x4y)a(2x3y)b6a3b，解得xy3.3平面上有一个ABC
5、和一点O，设a， b， c.又OA，BC的中点分别为D，E，则向量等于()A.(abc) B.(abc)C.(abc) D.(abc)答案B解析()(abc)4设D为ABC所在平面内一点，则等于()A. B.C. D.答案B解析，(), .故选B.5以下选项中，a与b不一定共线的是()Aa5e1e2，b2e210e1Ba4e1e2，be1e2Cae12e2，be22e1Da3e13e2，b2e12e2.答案C解析找出一个非零实数使得ab即可判断ab.A项中ab；B项中a4b；D项中ab，故A，B，D三项中ab，而C项中ae12e2，b2e1e2，所以C项a与b不一定共线，故选C.二、填空题6已
6、知向量a，b不共线，实数x，y满足向量等式5xa(8y)b4xb3(y9)a，则x_，y_.答案34解析因为a与b不共线，则解得7已知点P，Q是ABC所在平面上的两个定点，且满足PP0,2QQQB，若|P|B|，则正实数_.答案解析PP0，点P是线段AC的中点，2，2Q2，点Q是线段AB的中点，| |，.8设O是ABC内部一点，且3，则AOB与AOC的面积之比为_答案13解析如图，由平行四边形法则，知，其中E为AC的中点所以23.所以，|.设点A到BD的距离为h，则SAOB|h，SAOC2SAOE|h.所以.三、解答题9计算：(1)6(3a2b)9(2ab)；(2)；(3)6(abc)4(a2
7、bc)2(2ac)解(1)原式18a12b18a9b3b.(2)原式abab0.(3)原式6a6b6c4a8b4c4a2c(6a4a4a)(8b6b)(6c4c2c)6a2b.10. 如图，在梯形ABCD中，ABCD，且AB2CD，M，N分别是AD，BC的中点，设a， b，试用a，b表示， ， .解由已知得b.如图，取AB的中点E，连接DE，则四边形DEBC为平行四边形所以ab.MN(ABDC)，MNAB，M()b.11已知两个非零向量e1，e2不共线，若2e13e2，6e123e2，4e18e2，求证：A，B，D三点共线证明2e13e26e123e24e18e212e118e26(2e13e2)6.又AD和AB有公共点A，A，B，D三点共线12如图所示，在平行四边形ABCD 中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BNBD.求证：M，N，C三点共线证明设a，b，a()a(ba)ab，ab，又MN与MC有公共点M，故M，N，C三点共线