1、第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.下列语句是真命题的是()A.这是一棵大树B.x+y+z=3C.函数f(x)=x2是增函数D.素数不一定是奇数解析:选项A和B不是命题;选项C是假命题;2是素数,但不是奇数,故D项正确.答案:D2.命题“若x0,则ln(x+1)0”的否命题是()A.若x0,则ln(x+1)0B.若x0,则ab”,则在命题p的逆命题、否命题、逆否命题中,错误命题的个数为()A.0B.1C.2D.3解析:原命题p为真,故其逆否命题为真;p的逆命题为假,故其否命题也为假,因此错误命题的个数为2.答案:C4.命题“任意的
2、x0,xx-10”的否定是()A.存在x0,xx-10C.任意的x0,xx-10D.任意的x0解析:因为命题“任意的x0,xx-10”,所以否定是:存在x0,xx-10.答案:B5.(2017北京高考)设m,n为非零向量,则“存在负数,使得m=n”是“mn0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:m,n为非零向量,若存在0,使m=n,即两向量反向,夹角是180,则mn=|m|n|cos 180=-|m|n|0.反过来,若mn0,则两向量的夹角为(90,180,并不一定反向,即不一定存在负数,使得m=n,所以“存在负数,使得m=n”是“mn0
3、,a+b=1时,1a+1b=(a+b)1a+1b=2+ba+ab4,故不存在a,b(0,+),使得1a+1b=3,即命题q为假命题.答案:D7.已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=12x-m,若对任意x10,3,存在x21,2,使得f(x1)g(x2),则实数m的取值范围是()A.14,+B.-,14C.12,+D.-,-12解析:当x0,3时,f(x)min=f(0)=0.当x1,2时,g(x)min=g(2)=14-m,由f(x)ming(x)min,得014-m,所以m14.故选A.答案:A8.已知命题p:存在x(1,2),使得ex-a0,若p是真命题,则实数a
4、的取值范围为()A.(-,e)B.(-,eC.(e2,+)D.e2,+)解析:因为p是真命题,所以p是假命题,所以任意x(1,2),有ex-a0,即aex,又y=ex在(1,2)上的最大值为e2,所以ae2.答案:D9.已知p:存在xR,mx2+10,q:任意xR,x2+mx+10,若pq为假命题,则实数m的取值范围为()A.m2B.m-2C.m-2或m2D.-2m2解析:由p:存在xR,mx2+10,可得m0,可得=m2-40,解得-2m2.因为pq为假命题,所以p与q都是假命题.若p是假命题,则有m0;若q是假命题,则有m-2或m2.故符合条件的实数m的取值范围为m2.
5、答案:A10.已知命题p:实数x满足x2-4ax+3a20;命题q:实数x满足x2-5x+60.若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是()A.1,2B.(1,2)C.(2,+)D.(0,1)解析:设A=x|x2-4ax+3a20,B=x|x2-5x+60,则A=x|ax3a,B=x|2x3,因为p是q的必要不充分条件,所以BA,所以0a3,所以1a0,-22a=-2,解得a=12,因此命题q为真命题.故(p)q为真.答案:C12.若“x1”是“不等式2xa-x成立”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是()A.a3B.a4D.aa-x,即2x+xa,设f(x)=2x
6、+x,该函数为增函数,由题意知2x+xa成立,即f(x)a成立能得到x1;反之不成立,因为当x1时,f(x)3,所以a3.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知命题p:lg(x2-2x-2)0,命题q:1-x21,若p的否定为真命题,q为真命题,则实数x的取值范围是.解析:因为p的否定为真命题,所以lg(x2-2x-2)0,则x2-2x-21,即x-1或x3.因为q为真命题,所以由1-x21,得0x4.由x-1或x3,0x4,得3x4.答案:3x0,-2x+a,x0,有且只有一个零点的充要条件是.解析:当x0时,x=1是函数的一个零点,要使函数有且只有一个零点,应
7、使函数f(x)在(-,0上没有零点,即-2x+a=0无解,而当x0时,01.答案:a0或a116.下列命题正确的是.(写序号)命题“存在xR,使得x2+13x”的否定是:“任意xR,都有x2+13x”;“函数f(x)=cos2ax-sin2ax的最小正周期为”是“a=1”的必要不充分条件;x2+2xax在x1,2上恒成立等价于(x2+2x)min(ax)max在x1,2上恒成立;“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“ab0”.解析:对于,特称命题的否定是全称命题,并把结论否定,正确;对于,函数f(x)=cos2ax-sin2ax=cos 2ax,周期为,则2|2a|=,即a=1,故正确;
8、对于,x2+2xax在1,2上恒成立,等价条件为x2+2xxmina在x1,2上恒成立,故错误;对于,“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“ab0,x+1x2.(3)存在xx|xZ,log2x2.解(1)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是特称命题,真命题.(2)命题中含有全称量词“任意”,是全称命题,真命题.(3)命题中含有存在量词“存在”,是特称命题,真命题.19.导学号01844008(本小题满分12分)已知命题:“存在实数xx|-1x1,使等式x2-x-m=0成立”是真命题.(1)求实数m的取值集合M;(2)设不等式(x-a)(x+a-2)0的解集为N,若xN是xM的必要条件
9、,求a的取值范围.解(1)由题意知,方程x2-x-m=0在(-1,1)上有解,即m的取值范围就为函数y=x2-x在(-1,1)上的值域,易得M=m-14m1时,a2-a,此时集合N=x|2-axa,则2-a94.当a1时,a2-a,此时集合N=x|ax2-a,则a-14,2-a2,解得a0),求曲线C在x轴上所截的线段的长度为1的充要条件.解必要性:令y=0,则x2+Gx+F=0.设x1,x2为此方程的根,若|x1-x2|=G2-4F=1,则G2-4F=1.充分性:令y=0,则x2+Gx+F=0.设方程的两根为x1,x2,则x1+x2=-G,x1x2=F.因为G2-4F=1,所以|x1-x2|
10、=(x1+x2)2-4x1x2=G2-4F=1.故所求的充要条件是G2-4F=1.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lg(a2-1)x2+(a+1)x+1,设命题p:“f(x)的定义域为R”;命题q:“f(x)的值域为R”.(1)分别求命题p,q为真时,实数a的取值范围;(2)p是q的什么条件?请说明理由.解(1)命题p为真,即f(x)的定义域是R,等价于(a2-1)x2+(a+1)x+10恒成立,等价于a=-1或a2-10,=(a+1)2-4(a2-1)53.故实数a的取值范围为(-,-153,+.命题q为真,即f(x)的值域是R,等价于u=(a2-1)x2+(
11、a+1)x+1的值域为(0,+),等价于a=1或a2-10,=(a+1)2-4(a2-1)0,解得1a53,故实数a的取值范围为1,53.(2)由(1)知p:a-1,53,q:a1,53.而1,53-1,53,故p是q的必要不充分条件.22.导学号01844009(本小题满分12分)已知命题p:函数f(x)=|2x+3c|在-1,+)上是增加的;命题q:函数g(x)=cxx2+1+2有零点.(1)若命题p和q均为真命题,求实数c的取值范围;(2)是否存在实数c,使得p(q)是真命题?若存在,求出c的取值范围;若不存在,说明理由.解因为
12、f(x)=|2x+3c|=2x+3c,x-3c2,-2x-3c,x-3c2,所以f(x)的递增区间是-3c2,+.又因为f(x)在-1,+)上是增加的,所以-3c2-1,解得c23.因为函数g(x)=cxx2+1+2有零点,所以方程cxx2+1+2=0有实数根,即2x2+cx+2=0有实数根,因此c2-160,解得c4或c-4.(1)当命题p和q均为真命题时,应有c23,c4或c-4,解得c4.所以c的取值范围为4,+).(2)要使p(q)是真命题,应使p真q假,因此有c23,-4c4,解得23c4.故存在实数c,使得p(q)是真命题,此时c的取值范围为23,4.
