1、第十二章 概 率 专题探究课(六)概率与统计中的高考热点问题最新考纲考情索引核心素养统计与统计案例2018全国卷，T181.数据分析2.数学运算古典概型与几何概型2017全国卷，T182018北京卷，T171.数学建模2.数学运算概率与统计的综合问题2018全国卷，T192017全国卷，T192016全国卷，T181.数据分析2.数学运算热点 1 统计与统计案例(高考 VS 教材)以实际生活中的事例为背景，通过对相关数据的统计分析、抽象概括，作出估计、判断常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查，考查信息提取与数据处理能力【例 1】(2018全国卷)下图是某地区 2000 年至
2、2016 年环境基础设施投资额 y(单位：亿元)的折线图为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型根据 2000 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为 1，2，17)建立模型：y30.413.5t；根据 2010 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为 1，2，7)建立模型：y9917.5t.(1)分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由解：(1)利用模型，可得该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为y30.413.519
3、226.1(亿元)利用模型，可得该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为y9917.59256.5(亿元)(2)利用模型得到的预测值更可靠理由如下：()从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y30.413.5t 上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010 年相对2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据建立的
4、线性模型y9917.5t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠()从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型得到的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更可靠真题溯源 本题第(1)问源于教材必修 3P90 例、P95B 组 T1，第(2)问源于必修 3P94T2、选修 12 P13T1，试题将教材习题有机整合，以统计图为背景，考查线性回归方程的判断和对线性回归模型的理解，考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识，体现了直观想象、数学运算、数
5、据分析等核心素养变式训练(2019长沙模拟)某学校的特长班有 50 名学生，其中有体育生 20 名，艺术生 30 名，在学校组织的一次体检中，该班所有学生进行了心率测试，心率全部介于 50 次/分到75 次/分之间，现将数据分成五组，第一组50，55)，第二组55，60)，第五组70，75，按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前三组的频率之比为 a410.(1)求 a 的值，并求这 50 名学生心率的平均值；(2)因为学习专业的原因，体育生常年进行系统的身体锻炼，艺术生则很少进行系统的身体锻炼，若从第一组和第二组的学生中随机抽取 1 名，该学生是体育生的概率为 0.8
6、，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有 99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关？说明你的理由分类心率小于60次/分心率不小于60次/分总计体育生20艺术生30总计50参考数据：P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.879 10.828参考公式：K2n（adbc）2（ab）（cd）（ac）（bd），其中 nabcd.解：(1)因为第二组数据的频率为 0.03250.16，故第二组的频数为 0.16508，所以第一组的频数为 2a，第三组的频数为 20，第四组的频数为 1
7、6，第五组的频数为 4.所以 2a502016842，故 a1.所以这 50 名学生的心率平均值为 52.5 25057.585062.5205067.5165072.5 45063.7.(2)由(1)知，第一组和第二组的学生(即心率小于 60次/分的学生)共 10 名，其中体育生有 100.88(名)，故列联表补充如下：分类心率小于60次/分 心率不小于60次/分 总计体育生81220艺术生22830总计104050所以 K250（828212）2104020308.3337.879，故有 99.5%的把握认为心率小于 60 次/分与常年进行系统的身体锻炼有关热点 2 古典概型与几何概型的概
8、率计算几何概型与古典概型的本质区别在于试验结果的无限性，几何概型经常涉及的几何度量有长度、面积、体积等，解决几何概型的关键是找准几何测度；古典概型是命题的重点，对于较复杂的基本事件空间，列举时要按照一定的规律进行，做到不重不漏【例2】(2019太原模拟)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖抽奖规则如下：1抽奖方案有以下两种，方案 a：从装有 1 个红球，2个白球(仅颜色不同)的甲袋中随机摸出 1 个球，若是红球，则获得奖金 15 元；否则，没有奖金，兑奖后将抽出的球放回甲袋中；方案 b：从装有 2 个红球、1 个白球(仅颜色不同)的乙袋中随机摸出 1 个球，若是红球，则获得
9、奖金 10 元；否则，没有奖金，兑奖后将抽出的球放回乙袋中2抽奖条件是：顾客购买商品的金额满 100 元，可根据方案 a 抽奖一次；满 150 元，可根据方案 b 抽奖一次(例如某顾客购买商品的金额为 310 元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案 a 抽奖三次或方案 b 抽奖两次或方案 a，b 各抽奖一次)已知顾客 A 在该商场购买商品的金额为 250 元(1)若顾客 A 只选择方案 a 进行抽奖，求其所获奖金为 15 元的概率；(2)若顾客 A 采用每种抽奖方式的可能性都相等，求其最有可能获得的奖金数(除 0 元外)解：(1)记甲袋中红球是 r，白球分别是 w1，w2，由题意得
10、顾客 A 可从甲袋中先后摸出两个球，其所有等可能出现的结果为(r，r)，(r，w1)，(r，w2)，(w1，r)，(w1，w1)，(w1，w2)，(w2，r)，(w2，w1)，(w2，w2)，共有 9 种其中(r，w1)，(r，w2)，(w1，r)，(w2，r)共 4 种结果可获奖 15 元，所以顾客 A 所获奖金为 15 元的概率为49.(2)由题意得顾客 A 可以根据方案 a 抽奖两次或根据方案 a，b 各抽奖一次，故(1)知顾客 A 根据方案 a 抽奖两次所获奖金及其概率如下表 1.表 1所获奖金(单位：元)01530概 率494919记乙袋中红球分别是 R1，R2，白球是 W，则顾客
11、A 根据方案 a，b 各抽奖一次的所有等可能出现的结果为(r，R1)，(r，R2)，(r，W)，(w1，R1)，(w1，R2)，(w1，W)，(w2，R1)，(w2，R2)，(w2，W)，共有 9 种，其中结果(r，R1)，(r，R2)可获奖 25 元，结果(r，W)可获奖 15 元，(w1，R1)，(w1，R2)，(w2，R1)，(w2，R2)可获奖 10 元，其余可获奖金 0 元，且它们出现的概率均为19，所以顾客 A 根据方案 a，b 各抽奖一次所获奖金及其概率如下表 2.表 2所获奖金(单位：元)0101525概 率29491929由表 1，表 2 可知顾客 A 最有可能获得的奖金数为
12、15 元利用列举法求解基本事件数最容易出现的错误是“重”和漏，要避免此类错误的发生，应做好以下两点，一是理解题意，二是借助图形有序列举变式训练(2019石家庄模拟)某港口有一个泊位，现统计了某月100 艘轮船在该泊位停靠的时间(单位：小时)，如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足 1 小时按1 小时计时，依此类推，统计结果如下表：停靠时间2.533.544.555.56轮船数量12121720151383(1)设该月 100 艘轮船在该泊位的平均停靠时间为 a小时，求 a 的值；(2)假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠 a小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至
13、少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率解：(1)a 1100(2.5123123.5174204.5155135.5863)4.(2)设甲船到达的时间为 x，乙船到达的时间为 y，则0 x24，0y24，若这两艘轮船在停靠该泊位时至少有一艘船需要等待，则|yx|4.画出不等式组及不等式表示的可行域，如图所示，所以必须等待的概率为 P12022421136.即这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率为1136.热点 3 概率与统计的综合问题(满分示范)统计和概率知识相结合命制概率统计解答题已经是一个新的命题趋向，概率统计交汇解答题的主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的
14、关键，在此基础上掌握好样本数字特征及各类概率的计算【例 3】(满分 12 分)(2015安徽卷)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问 50 名职工，根据这 50 名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为40，50)，50，60)，80，90)，90，100(1)求频率分布直方图中 a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率；(3)从评分在40，60)的受访职工中，随机抽取 2 人，求此 2 人的评分都在40，50)的概率规范解答(1)因为(0.004a0.0180.02220.028)101，所以 a0.006.3 1
15、(2)由所给频率分布直方图知，50 名受访职工评分不低于 80 的频率为(0.0220.018)100.4.所以该企业职工对该部门评分不低于 80 的概率的估计值为 0.4.5 2(3)受访职工中评分在50，60)的有 500.006103(人)，记为 A1，A2，A3；受访职工中评分在40，50)的有 500.004102(人)，记为 B1，B2，8 3从这 5 名受访职工中随机抽取 2 人，所有可能的结果共有 10 种，它们是(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，11
16、4又因为所抽取 2 人的评分都在40，50)的结果有 1 种，即(B1，B2)，故所求的概率为 P 110.12 5高考状元满分心得 1.得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分，如第(1)问中求 a 值 1，第(3)问中求评分落在50，60)，40，50)间的人数 3 和结论 5.2得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分，如第(3)问中列出 10 个基本事件 4.3得计算转化分，如第(1)问中求 a 值，第(3)问中求得各区间的人数，转化为古典概型的概率构建模板第一步：由各矩形的面积之和等于 1，求 a 的值第二步：由样本频率分布估计概率第三步：设出字母，列出基本事件
17、总数及所求事件所包含的基本事件第四步：利用古典概型概率公式计算第五步：反思回顾，查看关键点，易错点和答题规范变式训练(2018全国卷)某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头 50 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表日用水量0，0.1)0.1，0.2)0.2，0.3)0.3，0.4)0.4，0.5)0.5，0.6)0.6，0.7)频数13249265使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表日用水量0，0.1)0.1，0.2)0.2，0.3)0.3，0.4)0.4，0.5)0.5，0.6)频数151310
18、165(1)在下图中作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图；(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35 m3 的概率；(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按 365 天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)解：(1)如图所示(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后 50 天日用水量小于 0.35 m3 的频率为 0.20.110.12.60.120.050.48，因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35 m3的概率的估计值为 0.48.(3)该家庭未使用节水龙头 50 天日用水量的平均数为x1 150(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.48.该家庭使用了节水龙头后 50 天日用水量的平均数为x2 150(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.35.估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.480.35)36547.45(m3)