1、闸北区2013学年度第二学期高三数学（理科）期中练习卷本试卷共有17道试题，满分150分考试时间120分钟一、填空题（54分）本大题共有9题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分1设为虚数单位，集合，集合，则 2函数的反函数为 3展开式中的系数为 4一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球共10个已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是从袋中任意摸出2个球，记得到白球的个数为，则随机变量的数学期望5半径为的球的内接圆柱的最大侧面积为 6设为空间直角坐标系内一点，点在平面上的射影的极坐标为（极坐标系以为极点，
2、以轴为极轴），则我们称三元数组为点的柱面坐标已知点的柱面坐标为，则直线与平面所成的角为 7设为上的奇函数，为上的偶函数，且，则 （只需写出一个满足条件的函数解析式即可）8某商场在节日期间举行促销活动，规定：（1）若所购商品标价不超过200元，则不给予优惠；（2）若所购商品标价超过200元但不超过500元，则超过200元的部分给予9折优惠；（3）若所购商品标价超过500元，其500元内（含500元）的部分按第（2）条给予优惠，超过500元的部分给予8折优惠某人来该商场购买一件家用电器共节省330元，则该件家电在商场标价为 9设，且，则函数的最大值为 二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出
3、四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分10命题“对任意的，”的否定是 【 】A对任意的， B对任意的，C存在， D存在， 11设函数，若取正值的充要条件是，则，满足 【 】A B C D12在平面上有一系列的点， 对于所有正整数，点位于函数的图像上，以点为圆心的与轴相切，且与又彼此外切，若，且则 【 】A0 B0.2 C0.5 D1三、解答题（本题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤13本题满分14分已知和，且，求与的值14本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满
4、分7分某粮仓是如图所示的多面体，多面体的棱称为粮仓的“梁”现测得底面是矩形，米，米，腰梁、分别与相交的底梁所成角均为（1）请指出所有互为异面的且相互垂直的“梁”，并说明理由；（2）若不计粮仓表面的厚度，该粮仓可储存多少立方米粮食？15本题满分16分，第1小题满分8分，第2小题满分8分和平面解析几何的观点相同，在空间中，空间曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹在空间直角坐标系中，空间曲面的方程是一个三元方程设、为空间中的两个定点，我们将曲面定义为满足的动点的轨迹（1）试建立一个适当的空间直角坐标系，求曲面的方程；（2）指出和证明曲面的对称性，并画出曲面的直观图16本题满分16分，第1小题满分8
5、分，第2小题满分8分设数列与满足：对任意，都有，其中为数列的前项和（1）当时，求数列与的通项公式；（2）当时，求数列的前项和17本题满分18分，第1小题满分8分，第2小题满分10分在平面直角坐标系中，已知曲线为到定点的距离与到定直线的距离相等的动点的轨迹，曲线是由曲线绕坐标原点按顺时针方向旋转形成的（1）求曲线与坐标轴的交点坐标，以及曲线的方程；（2）过定点的直线交曲线于、两点，已知曲线上存在不同的两点、关于直线对称问：弦长是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，请说明理由高三数学（理科）练习卷答案一、1 2等 341 5 6等7等 8 9第2题的答案也可写为；第6题的答案也可写为；第9
6、题的答案也可写为0二、10 D； 11B； 12C三、13解： （4分）由，得 （1分） （1分）或 （2分）， （2分）又， （2分）， （2分）另解： （4分）由，得， （2分） （2分）由、得 （2分）又， （4分）14解：（1）与，与，与，与， （2分）由已知，有，同理，有 （2分）过点E作交点，则为异面直线与所成的角，即，同理 （3分）（2）过点分别作于点，于点，连接，则平面，平面平面，过点作于点，则平面由题意知，为中点，即四棱锥的高， （2分）同理，再过点作于点，于点，连接，原多面体被分割为两个全等的四棱锥和一个直棱柱，且（2分）（2分）答：该粮仓可储存立方米的粮食 （1分）15解
7、：（1）如图，以两个定点，的中点为坐标原点，以，所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，以与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系， （1分）设， （2分）两边平方，得， （2分）两边平方，整理得令，得 （3分）若点、在轴上，则方程为：（2）对称性：由于点关于坐标原点的对称点也满足方程，说明曲面关于坐标原点对称； （1分）由于点关于轴的对称点也满足方程，说明曲面关于轴对称；同理，曲面关于轴对称；关于轴对称 （1分）由于点关于平面的对称点也满足方程，说明曲面关于平面对称；同理，曲面关于平面对称；关于平面对称 （2分）图略 （4分）16解：由题意知，且两式相减得即 （2分）（1）当时，由知于是 又
8、，所以是首项为1，公比为2的等比数列故知， （4分）再由，得 （2分）另解： （2分）是首项为，公差为的等差数列， （4分） （2分）（2）当时，由得 （2分）若， （1分）若， （1分）若，数列是以为首项，以为公比的等比数列，故， （2分）时，符合上式所以，当时， （2分）当时， （1分）另解： 当时， （1分）当时， （2分）若， （1分）若，两边同除以得令，即由得是以为首项，为公比的等比数列，所以，当时， （4分）17解：（1）设，由题意，可知曲线为抛物线，并且有，化简，得抛物线的方程为：令，得或，令，得或，所以，曲线与坐标轴的交点坐标为和， （3分）由题意可知，曲线为抛物线，过焦点与准线垂直的直线过原点， 点到的距离为 （2分）所以是以为焦点，以为准线的抛物线，其方程为： （3分）（2）设，由题意知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，则直线的方程为， （1分）则得，所以 （2分），设弦的中点为，则 因为在直线上，所以，即 将代入，得， （4分）设，则 （1分）构造函数，由已知，当，即时，无最大值，所以弦长不存在最大值 （1分）当时，有最大值，即弦长有最大值 （1分）
