1、高考调研 第1页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习第二章 函数与基本初等函数高考调研 第2页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习第4课时 函数的奇偶性和周期性高考调研 第3页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习1了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性2掌握奇函数与偶函数的图像对称关系，并能熟练地利用对称性解决函数的综合问题高考调研 第4页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习请注意函数的奇偶性在高考中占有重要的地位，在命题时主要是与函数的概念、图像、性质综合在一起考查而近几年的高考中
2、加大了对非三角函数的周期性和抽象函数的奇偶性、周期性的考查力度高考调研 第5页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习课前自助餐 授人以渔 自助餐 题组层级快练 高考调研 第6页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习课前自助餐 高考调研 第7页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习1奇函数、偶函数、奇偶性对于函数f(x)，其定义域关于原点对称：(1)如 果 对 于 函 数 定 义 域 内 任 意 一 个 x，都 有，那么函数f(x)就是奇函数；(2)如果对于函数定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就是偶函数；(3)如果一个函数是奇函数(
3、或偶函数)，那么称这个函数在其定义域内具有奇偶性f(x)f(x)f(x)f(x)高考调研 第8页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习2证明函数奇偶性的方法步骤(1)确定函数定义域关于对称；(2)判定f(x)f(x)(或f(x)f(x)，从而证得函数是奇(偶)函数原点高考调研 第9页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习3奇偶函数的性质(1)奇函数图像关于对称，偶函数图像关于对称；(2)若奇函数f(x)在x0处有意义，则f(0)；(3)若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性；若偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性(4)若函数f
4、(x)为偶函数，则f(x)f(|x|)，反之也成立y轴0一致相反原点高考调研 第10页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习4一些重要类型的奇偶函数(1)函数f(x)axax为函数，函数f(x)axax为函数；偶奇(2)函数 f(x)axaxaxaxa2x1a2x1(a0 且 a1)为函数；奇(3)函数 f(x)loga1x1x为函数；奇(4)函数 f(x)loga(x x21)为函数奇高考调研 第11页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习5周期函数若f(x)对于定义域中任意x均有(T为不等于0的常数)，则f(x)为周期函数6函数的对称性若f(x)对于定义
5、域中任意x，均有f(x)f(2ax)，或f(ax)f(ax)，则函数f(x)关于对称f(xT)f(x)xa高考调研 第12页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习1判断下列说法是否正确(打“”或“”)(1)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点(2)函数f(x)0，x(0，)即是奇函数又是偶函数(3)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称(4)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称高考调研 第13页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习(6)若函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)
6、是周期为2a(a0)的周期函数答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)(5)若函数 f(x)x1xax为奇函数，则 a1.高考调研 第14页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习答案 D2下列函数为偶函数的是()Aysinx Byx3CyexDyln x21高考调研 第15页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习解析 选项中的四个函数的定义域都是 R.选项 A，ysinx 为奇函数选项 B，幂函数 yx3 也为奇函数选项 C，指数函数 yex 为非奇非偶函数选项 D，根据函数奇偶性的定义可以判断为偶函数令 f(x)ln x21，得到 f(x)ln x21ln
7、 x21f(x)，所以选 D.高考调研 第16页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习3(2014新课标全国)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数答案 C解析 利用函数奇偶性的定义求解A项，令h(x)f(x)g(x)，则h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)，h(x)是奇函数，A错高考调研 第17页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习B 项，令 h(x)|f(x)|g
8、(x)，则 h(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)h(x)，h(x)是偶函数，B错 C项，令h(x)f(x)|g(x)|，则h(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|h(x)，h(x)是奇函数，C正确D项，令h(x)|f(x)g(x)|，则h(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|h(x)，h(x)是偶函数，D错高考调研 第18页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习4若函数yf(x)(xR)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数yf(x)图像上的是()A(a，f(a)B(a，f(a)C(a，f(a)D(a，f(a)答
9、案 B解析 函数yf(x)为奇函数，f(a)f(a)即点(a，f(a)一定在函数yf(x)的图像上高考调研 第19页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习答案 35(2015山西四校联考)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足f(x)f(x32)，且 f(2)3，则 f(2 015)_.解析 f(x)f(x32)，f(x3)f(x32)32f(x32)f(x)f(x)是以 3 为周期的周期函数则 f(2 015)f(67132)f(2)3.高考调研 第20页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习授人以渔 高考调研 第21页第二章 函数与基本初等函数新课标版
10、数学（理）高三总复习例1 判断下列函数的奇偶性，并证明(1)f(x)x3x；(2)f(x)x3x1；(3)f(x)x2|x|1，x1,4；(4)f(x)|x1|x1|；题型一判断函数的奇偶性(5)f(x)1x2|x2|2；(6)f(x)(x1)1x1x，x(1,1)高考调研 第22页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习【解析】(3)由于f(x)x2|x|1，x1,4的定义域不是关于原点对称的区间，因此，f(x)是非奇非偶函数(4)函数的定义域x(，)，关于原点对称 f(x)|x1|x1|x1|x1|(|x1|x1|)f(x)，f(x)|x1|x1|是奇函数高考调研 第23页
11、第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习(5)去掉绝对值符号，根据定义判断由1x20，|x2|20，得1x1，x0且x4.故 f(x)的定义域为1,0)(0,1，关于原点对称，且有 x20.从而有 f(x)1x2x221x2x，这时有 f(x)1x2x 1x2xf(x)，故 f(x)为奇函数高考调研 第24页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习(6)已知 f(x)的定义域为(1,1)，其定义域关于原点对称f(x)(x1)1x1x 1x1x，f(x)1x1xf(x)即 f(x)f(x)，f(x)是偶函数请学生思考，本题中若将条件 x(1,1)去掉还是偶函数吗？
12、(答：不是)高考调研 第25页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习【答案】(1)奇函数(2)非奇非偶函数(3)非奇非偶(4)奇函数(5)奇函数(6)偶函数高考调研 第26页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习探究1 判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f(x)是否等于f(x)(2)图像法：奇(偶)函数的充要条件是它的图像关于原点(或y轴)对称(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差
13、仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)高考调研 第27页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习判断下列函数的奇偶性思考题1(1)f(x)ln2x2x；(2)f(x)1ax112(a0，且 a1)；(3)f(x)x22x x0，x22x x0.高考调研 第28页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习【解析】(1)f(x)的定义域为(2,2)，f(x)ln2x2xln2x2xf(x)，函数 f(x)为奇函数(2)f(x)的定义域为x|xR，且 x0，其定义域
14、关于原点对称，并且有f(x)1ax11211ax112 ax1ax121ax11ax12高考调研 第29页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习111ax12(1ax112)f(x)即 f(x)f(x)，f(x)为奇函数高考调研 第30页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习(3)方法一：f(x)的定义域为R，当x0时，x0，f(x)(x)22(x)x22xf(x)当x0时，f(0)0f(0)当x0时，x0，f(x)(x)22(x)x22xf(x)对于xR总有f(x)f(x)f(x)为偶函数高考调研 第31页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三
15、总复习方法二：当x0时，f(x)x22xx22|x|.当x0时，f(x)x22xx22|x|.f(x)x22|x|.f(x)(x)22|x|x22|x|f(x)f(x)为偶函数【答案】(1)奇函数(2)奇函数(3)偶函数高考调研 第32页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习例2(1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，x0时，f(x)x1，f(x)的解析式为_(3)若函数f(x1)为偶函数，则函数f(x)的图像的对称轴方程为_题型二奇偶性的应用(2)已知偶函数 f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)0，0，x0，x1，x0.高考调研 第34页第二章 函数与基本
16、初等函数新课标版 数学（理）高三总复习(2)偶函数 f(x)f(|x|)，f(2x1)f(13)，即 f(|2x1|)f(13)又 f(x)在0，)上单调递增，|2x1|13，解得13x0，0，x0，x1，x0(2)(13，23)(3)x1高考调研 第36页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习探究2 奇偶函数的性质主要体现在：(1)若f(x)为奇函数，则f(x)f(x)；若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)(2)奇偶函数的对称性(3)奇偶函数在关于原点对称的区间上的单调性高考调研 第37页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习(1)若函数f(x)是R上的
17、偶函数，且在0，)上是减函数，则满足f()f(a)的实数a的取值范围是_【解析】若a0，f(x)在0，)上是减函数，且f()f(a)，得a，0a.若a0，f()f()，则由f(x)在0，)上是减函数，得知f(x)在(，0上是增函数由于f().即a0.由上述两种情况知a(，)【答案】(，)思考题2高考调研 第38页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习(2)若函数yf(x2)为奇函数，则函数yf(x)的图像的对称中心为_【解析】f(x2)为奇函数，f(x2)的图像的对称中心为(0,0)又f(x)的图像可由函数f(x2)的图像向左平移两个单位而得，f(x)的图像的对称中心为(2,
18、0)【答案】(2,0)高考调研 第39页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习例3 设函数f(x)在(，)上满足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，且在闭区间0,7上，只有f(1)f(3)0.(1)证明：函数f(x)为周期函数；(2)试求方程f(x)0在闭区间2 005,2 005上的根的个数，并证明你的结论【思路】用周期函数的定义证明题型三函数的周期性高考调研 第40页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习【解析】(1)由f2xf2x，f7xf7xfxf4x，fxf14xf(4x)f(14x)f(x)f(x10)f(x)为周期函数，T10.高考调研
19、 第41页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习(2)f(3)f(1)0,f(11)f(13)f(7)f(9)0，故f(x)在0,10和10,0上均有两个解从而可知函数yf(x)在0,2 005上有402个解，在2 005,0上有400个解，所以函数yf(x)在2 005,2 005上有802个解【答案】(1)略(2)802个高考调研 第42页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习探究3(1)证明函数是周期函数应紧扣周期函数的定义(2)若函数f(x)对任意x满足f(xa)f(xb)，则f(x)为周期函数若函数f(x)对任意x满足f(xa)f(bx)，则函数图
20、像为轴对称图形高考调研 第43页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习思考题3(1)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，并且 f(x2)1fx，当 2x3 时，f(x)x，则 f(105.5)_.【解析】由已知，可得f(x4)f(x2)21fx21 1fxf(x)故函数 f(x)的周期为 4.高考调研 第44页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习 f(105.5)f(4272.5)f(2.5)f(2.5)22.53，由题意，得f(2.5)2.5.f(105.5)2.5.【答案】2.5高考调研 第45页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总
21、复习(2)定义在R上的偶函数f(x)满足对任意xR，都有f(x8)f(x)f(4)，且x0,4时，f(x)4x，则f(2 015)的值为_【解析】f(4)0，f(x8)f(x)，T8.f(2 015)f(7)f(1)f(1)3.【答案】3高考调研 第46页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习例4 已知f(x)为偶函数，且f(1x)f(1x)，当x0,1时，f(x)x1，求x5,7时，f(x)的解析式【解析】方法一：f(1x)f(1x)，f(x)f(2x)，f(x)为周期函数，T2.f(x)为偶函数，x1,0时，x0,1f(x)f(x)x1.x5,6时，x61,0高考调研 第
22、47页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习f(x)f(x6)(x6)1x5.x6,7时，x60,1f(x)f(x6)(x6)1x7.x5,7时，f(x)x5，x5，6，x7，x6，7.高考调研 第48页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习方法二：f(1x)f(1x)，T2.又f(x)是偶函数，f(x)在R上的图像如图：高考调研 第49页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习f(x)x5，x5，6，x7，x6，7.【答案】f(x)x5，x5，6，x7，x6，7高考调研 第50页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习探究4
23、 高考中对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值，以及解决与周期有关的函数综合问题解决此类问题的关键是充分利用题目提供的信息，找到函数的周期，利用周期在有定义的范围上进行求解高考调研 第51页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0,2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2 015)【解析】(1)f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为4的周期函数思考题4高考调
24、研 第52页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习(2)当x2,0时，x0,2，由已知得f(x)2(x)(x)22xx2.又f(x)是奇函数，f(x)f(x)2xx2.f(x)x22x.又当x2,4时，x42,0，f(x4)(x4)22(x4)又f(x)是周期为4的周期函数，f(x)f(x4)(x4)22(x4)x26x8.从而求得x2,4时，f(x)x26x8.高考调研 第53页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习(3)f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1.又f(x)是周期为4的周期函数，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)
25、f(7)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(2 015)0.f(0)f(1)f(2)f(2 015)0.【答案】(1)略(2)f(x)x26x8，x2,4(3)0高考调研 第54页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习常用结论记心中，快速解题特轻松：1(1)若f(x)定义域不对称，则f(x)不具有奇偶性(2)若f(x)为奇函数，且在x0处有定义，则f(0)0.(3)若f(x)为偶函数，则f(|x|)f(x)2(1)任意一个定义域关于原点对称的函数 f(x)均可写成一个奇函数 g(x)与一个偶函数 h(x)和的形式，则 g(x)fxfx2，h(x)fxfx2.高
26、考调研 第55页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习(2)若函数yf(x)的定义域关于原点对称，则f(x)f(x)为偶函数，f(x)f(x)为奇函数，f(x)f(x)为偶函数3函数f(x)关于xa对称f(ax)f(ax)f(2ax)f(x)f(2ax)f(x)4(1)若函数f(x)满足f(xa)f(x)，则f(x)周期T2a.(2)若函数 f(x)满足 f(xa)1fx，则 f(x)周期 T2a.高考调研 第56页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习5(1)若f(x)关于xa，xb都对称，且ab，则f(x)是周期函数且T2(ba)(2)若f(x)关于(a
27、,0)，(b,0)都对称，且ab，则f(x)是周期函数，且T2(ba)(3)若f(x)关于(a,0)及xb都对称，且a0 Bf(x)f(x)0Cf(x)f(x)0Df(x)f(x)0答案 D解析 f(x)f(x)，f(x)f(x)f2(x)0.高考调研 第59页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习2下列函数中，不具有奇偶性的函数是()答案 DAyexexBylg1x1xCycos2xDysinxcosx高考调研 第60页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习3(2015衡水调研卷)函数f(x)在定义域R上不是常数函数，且f(x)满足：对任意xR，都有f(2
28、x)f(2x)，f(1x)f(x)，则f(x)是()A奇函数但非偶函数B偶函数但非奇函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数答案 B高考调研 第61页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习解析 依题意，得f(x2)f(x1)f(x)，即函数f(x)是以2为周期的函数，所以f(x2)f(x)又f(2x)f(2x)，因此有f(x)f(x)，即f(x)是偶函数；若f(x)是奇函数，则有f(x)f(x)f(x)，得f(x)0，这与“f(x)不是常数函数”相矛盾，因此f(x)是偶函数但不是奇函数，选B.高考调研 第62页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习答案 C4
29、f(x)是定义在 R 上的奇函数，满足 f(x2)f(x)，当 x(0,1)时，f(x)2x2，则 f(log126)的值等于()A43B72C.12D12高考调研 第63页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习解析 f(log126)f(log126)f(log26)f(log262)(2log2622)(642)12.高考调研 第64页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习答案 5下列判断中正确的是_f(x)(x)2 是偶函数；f(x)x3是奇函数；yx0 及 y(x1)0 都是偶函数；f(x)ln(1x2x)是非奇非偶函数；f(x)3x291|x|是偶函数高考调研 第65页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习6(2014新课标全国)已知偶函数f(x)在0，)上单调递减，f(2)0.若f(x1)0，则x的取值范围是_答案(1,3)解析 由题可知，当2x0.f(x1)的图像是由f(x)的图像向右平移1个单位长度得到的，若f(x1)0，则1x3.高考调研 第66页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习题组层级快练