1、(二)立体几何1(2015江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1.设AB1的中点为D，B1CBC1E.求证：(1)DE平面AA1C1C；(2)BC1AB1.证明(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DEAC.又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因为AC平面ABC，所以ACCC1.又因为ACBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1C，所以AC平面BCC1B1.又因为BC1平面BCC1B1，所以BC1AC.因为BCCC1，
2、所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1B1C.因为AC平面B1AC，B1C平面B1AC，ACB1CC，所以BC1平面B1AC.又因为AB1平面B1AC，所以BC1AB1.2如图，在几何体ABCDE中，ABAD2，ABAD，AE平面ABD，M为线段BD的中点，MCAE，且AEMC.(1)求证：平面BCD平面CDE；(2)若N为线段DE的中点，求证：平面AMN平面BEC.证明(1)ABAD2，ABAD，M为线段BD的中点，AMBD，AMBD.AE平面ABD，MCAE，MC平面ABD.AM平面ABD，BD平面ABD.MCAM，MCBD.又MCBDM，AM平面CBD.又AEMC，四边形AMCE为平行
3、四边形，ECAM，EC平面CBD，EC平面CDE，平面BCD平面CDE.(2)M为BD的中点，N为DE的中点，MNBE.由(1)知ECAM且AMMNM，BEECE，平面AMN平面BEC.3.如图所示，已知三棱锥ABPC中，APPC，ACBC，M为AB的中点，D为PB的中点，且PMB为正三角形(1)求证：MD平面APC；(2)求证：平面ABC平面APC；(3)若BC4，AB20，求三棱锥DBCM的体积(1)证明由已知，得MD是ABP的中位线，所以MDAP.又MD平面APC，AP平面APC，故MD平面APC.(2)证明因为PMB为正三角形，D为PB的中点，所以MDPB.所以APPB.又APPC，P
4、BPCP，所以AP平面PBC.因为BC平面PBC，所以APBC.又BCAC，ACAPA，所以BC平面APC.因为BC平面ABC，所以平面ABC平面APC.(3)解由题意，可知MD平面PBC，所以MD是三棱锥DBCM的一条高，在RtABC中，AB20，BC4，则CMAB10，又在正三角形PMB中，DM5，所以DC5，所以cosDBC，则SBCDBDBCsinDBC542，所以VDBCMVMDBCSBCDMD2510.4.如图，四边形ABCD为矩形，DA平面ABE，AEEBBC2，BF平面ACE于点F，且点F在CE上(1)求证：AEBE；(2)求三棱锥DAEC的体积；(3)设点M在线段AB上，且满
5、足AM2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN平面ADE.(1)证明由AD平面ABE及ADBC，知BC平面ABE，AEBC.BF平面ACE，BFAE.又BCBFB，AE平面BCE.又BE平面BCE，AEBE.(2)解在ABE中，过点E作EHAB于点H，则EH平面ACD.由已知及(1)得EHAB，SADC2.故VDAECVEADC2.(3)解在ABE中，过点M作MGAE交BE于点G.在BEC中，过点G作GNBC交EC于点N，连接MN，则，得CNCE.MGAE，MG平面ADE，AE平面ADE，MG平面ADE.由GNBC，BCAD，知GNAD.而AD平面ADE，GN平面ADE，GN平面ADE.又M
6、GGNG，平面MNG平面ADE.又MN平面MGN，则MN平面ADE.当点N为线段CE上靠近点C的一个三等分点时，MN平面ADE.5(2016北京)如图，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC.(1)求证：DC平面PAC；(2)求证：平面PAB平面PAC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA平面CEF？说明理由(1)证明PC平面ABCD，DC平面ABCD，PCDC.又ACDC，PCACC，PC平面PAC，AC平面PAC，DC平面PAC.(2)证明ABCD，CD平面PAC，AB平面PAC，又AB平面PAB，平面PAB平面PAC.(3)解棱PB上存在点F，使得PA平面CEF.证明如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF.又E为AB的中点，EF为PAB的中位线，EFPA.又PA平面CEF，EF平面CEF，PA平面CEF.