1、北京市2017届高三综合练习数学（理）（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分第I卷（选择题 共40分）注意事项：1答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）复数等于 （A） （B） （C） （D）甲乙（2）右图是2010年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两 名选手
2、打出的分数的茎叶图（其中m为数字09中的 一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选 手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有 （A）a1a2 （B）a2a1 （C）a1=a2 （D）a1，a2的大小与m的值有关（3）下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是 （A） （B）（C） （D）3侧视图正视图222（4）一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为长方形；正方形；圆；椭圆. 其中正确的是 （A） （B） （C） （D） （5）在区间，内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数 有零点的概率为 （A） （B） （C） （D）（6）已知点是双曲线渐近线上的一点，
3、是左、右两个焦点，若，则双曲线方程为 （A） （B）（C） （D）（7）设表示，两者中的较小的一个，若函数，则满足的的集合为 （A） （B） （C） （D）（8）一个空间四边形的四条边及对角线的长均为，二面角的余弦值为，则下列论断正确的是 （A）空间四边形的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为（B）空间四边形的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为（C）空间四边形的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为（D）不存在这样的球使得空间四边形的四个顶点在此球面上高考资源网第II卷（非选择题 共110分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）已知圆的极坐标方程为，则圆心的直角坐标是 ；半
4、径长为 （10）圆被直线截得的劣弧所对的圆心角的大小为 . （11）已知向量，则的最大值为 .（12）如图，圆是的外接圆，过点C的切线交的延长线于点，.则的长为 ；的长为 （13）右边程序框图的程序执行后输出的结果是 . （14）一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数生成两个数，一个是 ，另一个是设第次生成的数的个数为，则数列的前项和 ；若，前次生成的所有数中不同的数的个数为，则 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本小题满分13分）在中，角，所对的边分别为，且，.（）求的值；（）若，求的面
5、积.(16) （本小题满分13分）在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮. 现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是，.两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮. 假设每人每次投篮命中与否均互不影响.（）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；（）若投篮命中一次得1分，否则得0分. 用表示甲的总得分，求的分布列和数学期望(17) （本小题满分14分）DBCEB1C1AA1如图，在三棱柱中，每个侧面均为正方形，为底边的中点，为侧棱的中点.（）求证：平面；（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.
6、(18)（本小题满分13分）已知函数，（）求函数的导函数；（）当时，若函数是上的增函数，求的最小值；（）当，时，函数在上存在单调递增区间，求的取值范围(19)（本小题满分13分）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点，过点的直线与椭圆在第一象限相切于点（）求椭圆的方程；（）求直线的方程以及点的坐标；（）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，满足？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由(20)（本小题满分14分）若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列，则称这个数列为调和数列已知数列是调和数列，对于各项都是正数的数列，满足（）证明数列是等比数列；（）把数列中所有项按如
7、图所示的规律排成一个三角形数表，当时，求第行各数的和；（）对于（）中的数列，证明：（考生务必将第卷所有题目的答案写在答题卡上，在试卷上作答无效）高考资源网高考资源网一、选择题: 题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案DBDBBCCA二、填空题:题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案124625三、解答题:(15) 解：（）因为，所以.由已知得.所以. 5分（）由（）知，所以 且.由正弦定理得.又因为，所以 ，.所以. 13分(16) （）解：记 “3次投篮的人依次是甲、甲、乙” 为事件A.由题意， 得答：3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是 5分（）解：由题意
8、，的可能取值为0，1，2，3，则，所以，的分布列为：0123P的数学期望. 13分OBCEB1C1AA1D(17) 解法一：证明：（）设的交点为O,连接，连接.因为为的中点，为的中点,所以 且.又是中点，所以 且,所以 且.所以，四边形为平行四边形.所以.又平面,平面,则平面. 5分() 因为三棱柱各侧面都是正方形，所以，.所以平面.因为平面，所以.由已知得，所以,所以平面.由（）可知，所以平面.所以.因为侧面是正方形，所以.又，平面，平面,所以平面. 10分（）解: 取中点，连接. FBCEB1C1AA1在三棱柱中，因为平面， 所以侧面底面.因为底面是正三角形，且是中点，所以，所以侧面.所以
9、是在平面上的射影.所以是与平面所成角. 14分DOOxyzBCEB1C1AA1解法二：如图所示，建立空间直角坐标系.设边长为2，可求得，,，.（）易得，. 所以， 所以.又平面,平面,则平面. 5分（）易得，所以.所以又因为，所以平面. 10分（）设侧面的法向量为,因为, ,，所以，.由 得解得不妨令，设直线与平面所成角为所以.所以直线与平面所成角的正弦值为 14分(18)（）解： 3分（）因为函数是上的增函数，所以在上恒成立.则有，即设（为参数，），则.当，且时，取得最小值（可用圆面的几何意义解得的最小值） 8分（）当时，是开口向上的抛物线，显然在上存在子区间使得，所以的取值范围是当时，显然
10、成立当时，是开口向下的抛物线，要使在上存在子区间使，应满足 或解得，或，所以的取值范围是则的取值范围是 13分 (19)解：（）设椭圆的方程为，由题意得解得，故椭圆的方程为 4分（）因为过点的直线与椭圆在第一象限相切，所以的斜率存在，故可设直线的方程为由得 因为直线与椭圆相切，所以.整理，得.解得所以直线方程为将代入式，可以解得点横坐标为1，故切点坐标为9分（）若存在直线满足条件，设直线的方程为，代入椭圆的方程得因为直线与椭圆相交于不同的两点，设两点的坐标分别为， 所以所以又，因为，即，所以即 ，所以，解得因为为不同的两点，所以.于是存在直线满足条件，其方程为 13分(20)解：（）证明：因为，且数列中各项都是正数，所以 设， 因为数列是调和数列，故，所以， 由得，代入式得，所以，即.故，所以数列是等比数列 5分（）设的公比为，则，即由于，故于是注意到第行共有个数，所以三角形数表中第1行至第行共含有个数.因此第行第1个数是数列中的第项.故第行第1个数是， 所以第行各数的和为 9分（）因为，所以.所以又 ，所以 .所以 14分