1、理科数学一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，则A. B. C. 或D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，属于基础题由已知及正弦定理可求，利用大边对大角可求B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可得解B的值【解答】解：，由正弦定理可得：，为锐角，故选A2. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且若，则的形状是A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题由已知，利用余弦定理可得
2、，可得，由，利用正弦定理可得，代入，可得由此可以确定三角形形状【解答】解：因为，所以，利用余弦定理可得，因为，故，因为，利用正弦定理可得，代入可得，故，所以为等边三角形故选C3. 已知等比数列为递增数列，是其前n项和若，则 A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式，求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属基础题利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出结果【解答】解：设递增的等比数列的公比为q，解得，解得或舍，故选D4. 已知等差数列的前n项和为，若，则 A. B. 1C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查等差数列的前n项和公式，以及等差数列的
3、性质的灵活应用，考查化简、变形能力，属于基础题根据题意利用等差数列的性质即可得【解答】解：等差数列中，故选B5. 若等比数列的前n项和为，则 A. 3B. 7C. 10D. 15【答案】D【解析】【分析】本题主要考查等比数列前n项和，利用等比数列的性质，属于中档题根据等比数列的性质可知：可设其公比为q，根据条件求出，再代入所求式子计算即可【解答】解：若，可得，故，若，则，不符合题意，故，化简得，可得，解得，故选D6. 在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且，则 A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】本题主要考查余弦定理和面积公式的应用，属于
4、基础题先求得角B，再由余弦定理求得边c，然后由面积公式求得面积【解答】解：、B、C依次成等差数列，由余弦定理得：，得：由面积公式得：故选：C7. 不等式的解集是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题主要考查分式不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题对分母进行讨论，列不等式关系式，即可求解【解答】解：原不等式等价于：或，解得或，故原不等式的解集为：故选A8. 已知锐角三角形三边分别为3、4、a，则a的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查余弦定理、分类讨论思想的知识点，考查了三角形形状的判断，三角形的边角关系，以及一元二次不等式的解法，
5、利用了分类讨论的数学思想，属于基础题a为最大边，三角形为锐角三角形，故a所对的角为锐角，a不为最大边，4就为最大边，三角形为锐角三角形，故4所对的角为锐角，然后利用余弦定理列出不等式来解决问题【解答】解：分两种情况来考虑：当a为最大边时，则，设a所对的角为，由锐角，根据余弦定理可得：，可知只要即可，可解得：，当a不是最大边时，则，则4为最大边，同理只要保证4所对的角为锐角就可以了，则有，可解得：，所以综上可知a的取值范围为，故选C9. 已知中，则数列的通项公式是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查数列递推关系式的应用，通项公式的求法，考查计算能力，属于基础题利用数列的递推
6、关系式，通过累乘法，求解数列的通项公式【解答】解：由，可得：，又，故选C10. 等差数列的前n项之和为，已知，则，中最大的是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题由已知可得：，即可得出【解答】解：，则，中最大的是故选C11. 若不等式恒成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】解：不等式恒成立，即恒成立，即恒成立，即恒成立，即，解得；实数a的取值范围是故选：B不等式恒成立化为恒成立，即，从而求出a的取值范围本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了转化思想，是中档题12.
7、若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值对于不等式的有解问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解属于中档题将不等式有解，转化为求，利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于m的一元二次不等式的解集即可得到答案【解答】解：不等式有解，且，当且仅当，即，时取“”，故，即，解得或，实数m的取值范围是故选：B二
8、、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知，则函数的最小值为_【答案】【解析】【分析】本题考查的是利用基本不等式求函数的最值，是基础题首先将原函数化简，再利用基本不等式求出最值【解答】解：因为，当且仅当时，函数取得最小值，所以最小值为故答案为14. 若数列满足，则_ 【答案】【解析】【分析】本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题将，与当时，作差，进而可知，代入计算即得结论【解答】解：因为，所以当时，两式相减得：，即，所以，由可知，所以故答案为15. 若数列的首项，且，令，则_【答案】5050【解析】【分析】本题考查数列的递推公司，考查等比数列，等差数列的
9、性质，属于中档题推导出是首项为3，公比为3的等比数列，从而得，由此能求出【解答】解：数列的首项，且，是首项为3，公比为3的等比数列，故答案为505016. 已知，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】本题考查不等式的性质，难度一般【解答】解：依题意设，则，解得，所以，则故答案为三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知求角C的大小；若，的面积为，求的周长【答案】解：已知等式利用正弦定理化简得：，整理得：，又，；由余弦定理得，的周长为【解析】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键已
10、知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出的值，即可求的周长18. 已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且满足求角A的大小；若，求的面积【答案】解：，可得：，由余弦定理可得：，又，；由及正弦定理可得，由余弦定理可得，解得：，【解析】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形面积公式，属于中档题由已知等式可得，由余弦定理可得，结合范围，即可求得A的值；由及正弦定理可得，又，由余弦定理可解得b，c的值，利用三角形面积公式即可得解19. 在
11、数列中，求证：数列是等差数列；求数列的前n项和【答案】证明：由已知的两边同时除以，得，且当时，所以数列是首项为4，公差为2的等差数列；解：由，得，所以，故所以，【解析】本题主要考查了数列递推关系，等差数列的定义和证明、通项公式和裂项相消法求和，考查了计算能力，属于中档题由已知的两边同时除以，得到，即可证明结论；由，得，可得，利用裂项相消法即可得出数列的前n项和20. 中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，且 求的值； 若，求面积的最大值【答案】解：在中，可得：，由余弦定理可得，即有，当且仅当时，取得等号，则面积，即有时，的面积取得最大值【解析】本题考查三角函数的化简和求值，注意运用诱导公式和
12、二倍角公式，考查三角形的余弦定理和面积公式，以及基本不等式的运用，属于中档题利用诱导公式及二倍角的余弦公式对式子化简，代入即可得到所求值；运用余弦定理和面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值21. 关于x的不等式已知不等式的解集为，求a的值；解关于x的不等式【答案】解：关于x的不等式可变形为，且该不等式的解集为，；又不等式对应方程的两个实数根为和2；，解得；时，不等式可化为，它的解集为；时，不等式可化为，当时，原不等式化为，它对应的方程的两个实数根为和，且，不等式的解集为或；当时，不等式化为，不等式对应方程的两个实数根为和，在时，不等式的解集为；在时，不等式的解集为；在时，不等式的解集为综上
13、，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为或，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为【解析】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应用分类讨论的思想，是中档题目根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出a的值；讨论a的取值，求出对应不等式的解集即可22. 已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，求和的通项公式；求数列的前n项和【答案】解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q由已知，得，而，所以，又因为，解得，所以由，可得，由，可得，联立，解得，由此可得所以的通项公式为，的通项公式为；设数列的前n项和为，由，有，上述两式相减，得，得，所以数列的前n项和为【解析】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式、等比数列的通项公式、错位相减法求和，考查转化思想以及计算能力，属于中档题设等差数列的公差为d，等比数列的公比为通过，求出q，得到，然后求出公差d，推出；设数列的前n项和为，利用错位相减法，转化求解数列的前n项和即可