1、6.4.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理课后训练巩固提升一、A组1.在ABC中,已知a=23,b=9,C=150,则c=()A.73B.83C.39D.102解析:由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=12+81-2239-32=147.故c=147=73.答案:A2.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若2acos B=c,则ABC的形状一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析:由余弦定理及2acosB=c得2aa2+c2-b22ac=c,a2-b2=0,a=b.ABC为等腰三角形.答案:C3.在ABC中,已知a=2,则bcos C+
2、ccos B等于()A.1B.2C.2D.4解析:bcosC+ccosB=ba2+b2-c22ab+ca2+c2-b22ac=2a22a=a=2.答案:C4.在ABC中,B=4,BC边上的高等于13BC,则cos A=()A.31010B.1010C.-1010D.-31010解析:过点A作ADBC,垂足为D,由题意得BD=AD=13BC,故CD=23BC,AB=23BC,AC=53BC,由余弦定理得cosBAC=AB2+AC2-BC22ABAC=-1010.答案:C5.在ABC中,A=60,AC=2,BC=3,则AB等于.解析:在ABC中,A=60,AC=2,BC=3,设AB=x,由余弦定理
3、,得BC2=AB2+AC2-2ABACcosA,化简得x2-2x+1=0,x=1,即AB=1.答案:16.在ABC中,若a=b=1,c=3,则C=.解析:由余弦定理,得cosC=a2+b2-c22ab=1+1-3211=-12.C(0,180),C=120.答案:1207.在ABC中,若b=1,c=3,A=6,则a=,sin B=.解析:由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=12+(3)2-213cos6=1,所以a=1.所以a=b.所以A=B=6.所以sinB=12.答案:1128.在ABC中,已知cos2A2=b+c2c,判断ABC的形状.解:在ABC中,由已知cos2A2=b+
4、c2c,得1+cosA2=b+c2c,cosA=bc.根据余弦定理,得b2+c2-a22bc=bc.b2+c2-a2=2b2,即a2+b2=c2.ABC是直角三角形.9.已知在ABC中,abc=26(3+1),求ABC各角的度数.解:abc=26(3+1),令a=2k,b=6k,c=(3+1)k(k0).由余弦定理有cosA=b2+c2-a22bc=6k2+(3+1)2k2-4k226k(3+1)k=22.0A,A=45.cosB=a2+c2-b22ac=4k2+(3+1)2k2-6k222k(3+1)k=12.0BBC,3b=20acos A,则b等于()A.5B.6C.7D.8解析:由题意
5、可设a=b+1,c=b-1.3b=20acosA,3b=20(b+1)b2+(b-1)2-(b+1)22b(b-1),整理得7b2-27b-40=0,解得b=5.答案:A3.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=3ac,则角B的大小为()A.6B.3C.6或56D.3或23解析:(a2+c2-b2)tanB=3ac,a2+c2-b22actanB=32,即cosBtanB=32,sinB=32,B=3或B=23.答案:D4.在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若cos A=12,b+c=2a,则ABC的形状为.解析:由余弦定理及cosA=
6、12得b2+c2-a22bc=12,b2+c2-a2=bc.b+c=2a,a=b+c2,b2+c2-b+c22=bc,即(b-c)2=0,b=c,于是a=b=c.ABC为等边三角形.答案:等边三角形5.在ABC中,已知BC=7,AC=8,AB=9,则AC边上的中线长为.解析:由余弦定理和已知条件,得cosA=AB2+AC2-BC22ABAC=92+82-72298=23.设AC边上的中线长为x,由余弦定理,得x2=AC22+AB2-2AC2ABcosA=42+92-24923=49,故x=7.答案:76.在ABC中,a+b=10,cos C是方程2x2-3x-2=0的一个根,则ABC的周长的最
7、小值为.解析:cosC是方程2x2-3x-2=0的一个根,解方程得x=-12或x=2(不合题意,舍去).cosC=-12.C=120.又c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab=(a+b)2-ab=100-ab=100-a(10-a)=(a-5)2+75.当a=5时,c取最小值53,ABC的周长的最小值为10+53.答案:10+537.在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,4sin2B+C2-cos 2A=72.(1)求角A的度数;(2)若a=3,b+c=3,求b和c的值.解:(1)由4sin2B+C2-cos2A=72及A+B+C=180,得21-cos(B+C)-2co
8、s2A+1=72,整理得4(1+cosA)-4cos2A=5,即4cos2A-4cosA+1=0,故(2cosA-1)2=0,解得cosA=12.0A180,A=60.(2)由余弦定理,得cosA=b2+c2-a22bc.cosA=12,b2+c2-a22bc=12,化简并整理,得(b+c)2-a2=3bc,32-(3)2=3bc,即bc=2.则由b+c=3,bc=2,解得b=1,c=2或b=2,c=1.8.已知ABC的三内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,向量m=(sin B,1-cos B)与向量n=(2,0)的夹角的余弦值为12.(1)求角B的大小;(2)若b=3,求a+c的取值范围.解:(1)m=(sinB,1-cosB),n=(2,0),mn=2sinB.又|m|=sin2B+(1-cosB)2=2-2cosB=2sinB2.0B,0B20,|m|=2sinB2.而|n|=2,cos=mn|m|n|=2sinB4sinB2=cosB2=12,B2=3,B=23.(2)由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos23=a2+c2+ac=(a+c)2-ac(a+c)2-a+c22=34(a+c)2.当且仅当a=c时取等号,(a+c)24,a+c2.又a+cb=3,3a+c2,即a+c的取值范围是(3,2.4