1、 高三一轮（理） 4.2平面向量基本定理及坐标运算【教学目标】1.了解平面向量基本定理及其意义2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.【重点难点】 1.教学重点： 平面向量基本定理及向量的坐标运算和向量共线的条件； 2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图环节二：考纲再现: 考试内容 要求层次了解 理解 掌握 平面向量的基本定理 平面向量的正交分解及其坐标表示 用坐标表示平面向量的加法
2、、减法与数乘运算 用坐标表示的平面向量共线的条件 北 京 近 五 年 主 要 考 查考纲传真真题再现;1 (2015北京高考)在ABC中，点M，N满足.若，则x_；y_.【解析】2. 2014北京高考已知向量a(2,4)，b(-1,1)，则2ab()A. (5, 7) B. (5，9)C. (3, 7) D. (3, 9)解析：2ab(4+1，81)=（5,7），选A项3.【2014高考北京】已知向量、满足，且（），则 .【答案】知识梳理：知识点1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.向量e1，e2叫做
3、表示这一平面内的所有向量的一组基底知识点2平面向量的坐标运算1向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.2向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.知识点3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.abx1y2x2y10.名师点睛：1必会结论(1)若a与b不共线，ab0，则0.(2)平面向量的基底中一定不含零向量2必清误区若a(x1，y1)，b(x2，y2
4、)，则ab的充要条件不能表示成，而应该表示为x1y2x2y10.考点分项突破考点一：平面向量基本定理及其应用1. 如图，在梯形ABCD中，ADBC，且ADBC，E，F分别为线段AD与BC的中点。设a，b，试用a，b为基底表示向量.解析：babba，bba。bab。2在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点若，其中，R，则_.【解析】选择，作为平面向量的一组基底，则，又，于是得解得所以.【答案】跟踪训练1：1.如图，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_.解析：因为kk()k(1k)，且m，所以1km，解得k，m。2如图所示，在ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，
5、M为AH的中点，若，则_.【解析】由B，H，C三点共线知，k(k0,1)，则kk()(1k)k，所以(1k)，又，所以从而.【答案】归纳：应用平面向量基本定理的关键点1平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量2选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来3强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便考点二:平面向量的坐标运算(1)(2016北京模拟)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图422所示，若cab(，R)，则_.(2)已知A(2,3)
6、，B(5,4)，C(7,10)，求；若mn，求m，n；若(R)，试求为何值时，点P在一、三象限的角平分线上【解析】(1)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，1)，B(6,2)，C(5，1)，a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)cab，(1，3)(1,1)(6,2)，即解得2，4.【答案】4(2)(5,4)(2,3)(3,1)(7,10)(2,3)(5,7)，(7,10)(5,4)(2,6)，mnm(5,7)n(2,6)(5m2n,7m6n)mn(3,1)，设P(x，y)，则(x，y)(2,3)(x2，y3)(5,4)(2,3)(7,10
7、)(2,3)(35，17)，若点P在一、三象限的角平分线上，则5547，.跟踪训练2：1设向量a(1，3)，b(2,4)，若表示向量4a,3b2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c_(用坐标表示)【解析】设c(x，y)，a(1，3)，b(2,4)，4a(4，12)，3b2a(8,18)，又由表示向量4a,3b2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则有4a(3b2a)c0，即(4，12)(8,18)(x，y)(0,0)，x4，y6，c(4，6)【答案】(4，6)2已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m
8、，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标【解】由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)(5，5)，解得(3)设O为坐标原点，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)，M(0,20)又2b，2b(12,6) (3，4)(9,2)，N(9,2)，(9，18)归纳：平面向量坐标运算的技巧1向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标2解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解考
9、向3平面向量共线的坐标表示(1)已知a(1,2)，b(3,2)且kab与a3b共线，则k_.(2)设0，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，则tan _.【解析】(1) kabk(1,2)(3,2)(k3, 2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，由题意知(k3)(4)(2k2)100，解得k.(2)因为ab，所以sin 2cos2 ，2sin cos cos2 .因为0，所以cos 0，得2sin cos ，所以tan .【答案】(1)(2)跟踪训练3：1已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)，若为实数，(ab)c，则()A. B. C1 D2【
10、解析】ab(1,2)(1,0)(1，2)，c(3,4)，由(ab)c得4(1)6，.【答案】B2已知向量a(1sin ，1)，b，若ab，则锐角_.【解析】由ab，得(1sin )(1sin )，所以cos2，cos 或，又为锐角，45.【答案】453.平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)。回答下列问题：(1)若(akc)(2ba)，求实数k；(2)设d(x，y)满足(dc)(ab)且|dc|1，求d。解析：(1)akc(3,2)k(4,1)(34k,2k)，2ba(2,4)(3,2)(5,2)，。 68k105k.k。(2)dc(x，y)(4,1)(x4，y1)，ab(
11、2,4)，(dc)(ab)，即y12(x4)。又|dc|1，1。把代入，得5(x4)21，x4。或d(4，1)或d(4，1)。归纳：平面向量共线的坐标表示的两个注意点1两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10；(2)若ab(a0)，则ba，应视题目条件灵活选择2向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解学生通过对高考真题的解决，发现自己对知识的掌握情况。 学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知
12、结构。引导学生通过对基础知识的逐点扫描，来澄清概念，加强理解。从而为后面的练习奠定基础.在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时点拨从而提高学生的解题能力和兴趣。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。通过跟踪训练，来锻炼学生独立解决问题的能力，到底知识和能力的内化。通过跟踪训练，来锻炼学生独立解决问题的能力，到底知识和能力的内化。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。 通过对考纲的解读和分析。让学生明确考试要求，做到有的放矢由常见问题的解决和总结，使学生形成解题模块，提高模式识别能力和解题效率。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记忆，提高解题技能。环节三：课堂小结：1.了解平面向量基本定理及其意义2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.学生回顾，总结.引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中，进行有效调控打下良好的基础。环节四：课后作业：学生版练与测学生通过作业进行课外反思，通过思考发散巩固所学的知识。