1、第3讲换元法在解题中的应用方法精要一般而言，在数学问题中，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这种方法称为换元法某些数学问题通过这种换元，往往可以暴露已知与未知之间被表面形式覆盖着的实质，发现解题途径换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理换元法又称辅助元素法、变量代换法，其特点是通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，把条件与结论联系起来，把陌生的形式转变为熟悉的形式高中数学中主要换元法有整体换元、三角换元、对称换
2、元、均值换元等等换元法应用广泛，如解方程、解不等式、证明不等式、求函数的值域、求数列的通项与和等，在解析几何中也有广泛的应用题型一换元法求函数的解析式例1已知f(1cos x)sin2x，求f(x)破题切入点通过引入参数，令1cos xt，将原式转化为含有t的式子，从而得到函数f(x)的表达式，特别注意写出函数f(x)的定义域解令1cos xt，则t0,2，所以cos x1t，所以f(t)sin2x1cos2x1(1t)2t22t，所以f(x)x22x(0x2)题型二换元法在不等式中的应用例2已知a，b，c(0，)，且abc1，求证：3.破题切入点换元法在不等式中的应用主要体现在不等式的证明中
3、，把原不等式中的参数用某一个或几个量表示，然后利用取值范围进行比较证明设k，再设t1，t2，t3，其中t1t2t30，3a13b13c1(t1)2(t2)2(t3)2，即6k(t1t2t3)ttt(ttt)，6，解得k3，3.题型三换元法在三角函数中的应用例3已知函数y22sin xcos xsin xcos x，x0，求函数的最大值和最小值破题切入点题目中的未知量较多，解题时选择适当的三角函数式作为辅助未知量，可以利用正弦与余弦之间的关系，设sin xcos xt，则2sin xcos xt21，把题目中较多的未知量通过换元用一个未知量表示，并根据这个未知量的范围解决最值问题解令sin xc
4、os xt，因为x0，所以t1，由(sin xcos x)2t2得2sin xcos xt21，所以原函数变为yt2t1，t1，因为yt2t1的对称轴是t，所以函数yt2t1在t1，上单调递增所以t时函数有最大值ymax()213；t1时函数有最小值ymin3.总结提高换元法不仅是重要的解题方法，也是解高考题的热点方法之一，掌握它的关键在于通过观察、联想发现构造出变换式，常见的基本换元形式有等式代换、三角代换、均值代换、和差代换等1已知f()2x，则函数f(x)的解析式是_答案f(x)22x2(x0)解析令t，t0，则x1t2，所以f(t)22t2(t0)所以f(x)22x2(x0)2已知函数
5、f(x)ax3bsin x4(a，bR)，f(lg(log210)5，则f(lg(lg 2)_.答案3解析因为log210与lg 2互为倒数，所以lg(log210)与lg(lg 2)互为相反数不妨令lg(log210)x，则lg(lg 2)x，而f(x)f(x)ax3bsin x4a(x)3bsin(x)48，故f(x)8f(x)853.3若函数yf(x)的值域是，3，则函数F(x)f(x)的值域是_答案2，解析令tf(x)，则t，3，则F(x)f(x)可化为yt，t，3，易知，当t1时，y有最小值2，当t3时，y有最大值.故函数F(x)的值域为2，4函数f(cos x)cos2x3cos
6、x2的最小值为_答案0解析设tcos x，则f(t)t23t2，t1,1，所以有f(t)(t)2.结合二次函数的单调性，可知当t1时，函数f(t)有最小值即为0.5如果f()，则当x0且x1时，f(x)_.答案解析令t，得x，f(t)，f(x).6若x是三角形的最小内角，则函数ysin xcos xsin xcos x的最大值是_答案解析由0x，令tsin xcos xsin(x)，而x，得1t.又t212sin xcos x，得sin xcos x，得yt(t1)21，有10y.所以y的最大值为.7已知f(3x)4xlog23233，则f(2)f(4)f(8)f(28)的值为_答案2 008
7、解析令t3x，则xlog3t，f(t)4log3tlog232334log232334log2t233，所以f(2)f(4)f(8)f(28)4(1238)82331441 8642 008.8函数yx4的最小值是_答案1解析由9x20得3x3，故可令x3sin (，)，则y3sin 43sin 3cos 43sin()4.又，所以sin()，1，所以y1,349若cos2x2msin x0恒成立，试求实数m的取值范围解原式化为1sin2x2msin x0，即(sin xm)2m20恒成立令tsin x，f(t)(tm)2m2(1t1)若m0，即m，所以m1，则当t1时，f(t)有最小值f(1
8、)2m，所以2m0，即m，所以1m0.所以1m1.综上，m的取值范围是m.10在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆y21上的一个动点，求Sxy的最大值解根据分析，令cos ，ysin ，则xcos ，故可设动点P的坐标为(cos ，sin )，其中02.因此Sxycos sin 2(cos sin )2sin()所以当时，S取最大值2.11若函数f(x)4xa2xa1在(，)上存在零点，求实数a的取值范围解方法一设2xt，则函数f(x)4xa2xa1化为g(t)t2ata1(t(0，)函数f(x)4xa2xa1在(，)上存在零点，等价于方程t2ata10，有正实数根(1)当方程有两个正实根时，a应满足解得1a22；(2)方程有一正根一负根时，只需t1t2a10，即a1；(3)方程有一根为0时，a1，此时方程的另一根为1.综上可知a22.方法二令g(t)t2ata1(t(0，)(1)当函数g(t)在(0，)上存在两个零点时，实数a应满足解得1a22.(2)当函数g(t)在(0，)上存在一个零点，另一个零点在(，0)时，实数a应满足g(0)a10，解得a1.(3)当函数g(t)的一个零点是0时，g(0)a10，a1，此时可以求得函数g(t)的另一个零点是1.综合(1)(2)(3)知a22.