1、第六章 平面向量、数系的扩充与 复数的引入 第一节 平面向量的概念及其线性运算最新考纲考情索引核心素养1.了解向量的实际背景2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3.理解向量的几何表示4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.2018全国卷，T72017全国卷，T42017全国卷，T132017江苏卷，T121.直观想象2.数学运算3.逻辑推理1向量的有关概念(1)向量：既有_又有_的量叫做向量，向量的大小叫做向量的_(2)零向量：_的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于_的向
2、量(4)平行向量：方向_的非零向量平行向量又叫_规定：0与任一向量_大小方向长度(或模)长度为01个单位相同或相反共线向量平行(5)相等向量：长度_且方向_的向量(6)相反向量：长度_且方向_的向量2向量的线性运算相等相同相等相反向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：ab_；(2)结合律：(ab)c_baa(bc)减法求 a 与 b 的相反向量b 的和的运算叫做 a 与 b的差aba(b)数乘求实数 与向量 a的积的运算(1)|a|a|；(2)当 0 时，a的方向与a的方向_；当 0 时，a 的方向与 a 的方向_，当 0时，a0(a)_；()a_；(ab)_
3、相同相反aaaab3.共线向量定理向量 a(a0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得_ba1若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP12(OA OB)2.OA OB OC(，为实数)，若点 A，B，C 共线，则 1.3解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件，要特别注意零向量的特殊性4在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误1概念思辨判断下列说法的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)零向量与任意向量平行()(2)若 ab，bc，则 ac.()(3)向量AB
4、与向量CD 是共线向量，则 A，B，C，D四点在一条直线上()(4)当两个非零向量 a，b 共线时，一定有 ba，反之也成立()解析：(2)若 b0，则 a 与 c 不一定平行()(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则 A，B，C，D 四点不一定在一条直线上答案：(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(人 A 必修 4P78A 组 T6 改编)给出下列命题：零向量的长度为零，方向是任意的；若 a，b 都是单位向量，则 ab；向量AB 与BA 相等则所有正确命题的序号是()ABCD(2)(人 A 必修 4P92A 组 T12 改编)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为
5、平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD 等于()A.OMB2OMC3OMD4OM解析：(1)根据零向量的定义可知正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故错误；向量AB 与BA互为相反向量，故错误(2)OA OB OC OD(OA OC)(OB OD)2OM 2OM 4OM.故选 D.答案：(1)A(2)D3典题体验(1)(2019菏泽一中月考)如图，在正六边形 ABCDEF中，BA CD EF()A0 B.BEC.ADD.CF(2)(2017全国卷)设非零向量 a，b 满足|ab|ab|，则()AabB|a|b|
6、CabD|a|b|(3)(2019西安铁中调研)如图所示，向量OA a，OB b，OC c，A，B，C 在一条直线上，且AC 3CB，则()Ac32b12aBc32a12bCca2bDca2b解析：(1)由题图知BA CD EF BA AF CB CB BF CF.(2)因为|ab|ab|，所以|ab|2|ab|2.所以 a2b22aba2b22ab.所以 ab0.所以 ab.故选 A.(3)由AC 3CB，可得OC OA 3(OB OC)，则OC 32OB 12OA 32b12a.答案：(1)D(2)A(3)A 考点 1 平面向量的概念(自主演练)【例 1】给出下列四个命题：若|a|b|，则
7、 ab；若 A，B，C，D 是不共线的四点，则“AB DC”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件；若 ab，bc，则 ac；ab 的充要条件是|a|b|且 ab.其中正确命题的序号是()ABCD解析：不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确因为AB DC，所以|AB|DC|且AB DC，又 A，B，C，D 是不共线的四点，所以四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则|AB|DC|，AB DC 且AB，DC 方向相同，因此AB DC.正确因为 ab，所以 a，b 的长度相等且方向相同，又 bc，所以 b，c 的长度相等且方向相同，所以 a，
8、c 的长度相等且方向相同，故 ac.不正确当 ab 且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到 ab，故|a|b|且 ab 不是 ab 的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确命题的序号是.答案：A【例 2】设 a，b 都是非零向量，下列四个条件，使 a|a|b|b|成立的充要条件是()AabBa2bCab 且|a|b|Dab 且方向相同解析：a|a|表示 a 方向的单位向量，因此 a|a|b|b|的充要条件是 a 与 b 同向答案：D【例 3】给出下列说法：非零向量 a 与 b 同向是 ab 的必要不充分条件；若AB 与BC 共线，则 A，B，C 三点在同一条直线上；a 与 b 是非零向量
9、，若 a 与 b 同向，则 a 与b 反向；设，为实数，若 ab，则 a 与 b 共线其中错误说法的序号是_解析：根据向量的有关概念，正确，对于若 0 时，ab，但 a，b 可以是任意向量，不一定 a 与 b 共线错答案：1相等的向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量2向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负数，可以比较大小3单位向量的关键是长度都是一个单位长度4零向量的关键是长度是 0，规定零向量与任何向量平行5向量可以平移，与起点无关，平移后的向量与原向量相等解题时要与函数图象的平移区别开来考点 2 平面向量的线性运算(多
10、维探究)角度 向量的线性运算【例 1】(2018全国卷)在ABC 中，AD 为 BC边上的中线，E 为 AD 的中点，则EB()A.34AB 14ACB.14AB 34ACC.34AB 14ACD.14AB 34AC解析：作出示意图如图所示EB ED DB 12AD 12CB1212(AB AC)12(AB AC)34AB 14AC.故选 A.答案：A角度 利用向量线性运算求参数【例 2】(2019唐山二模)已知 O 是正方形 ABCD的中心若DO AB AC，其中，R，则()A2 B12C 2D.2解析：DO DA AO CB AO AB AC 12AC AB 12AC.所以 1，12，因此
11、2.答案：A【例 3】如图，在平行四边形 ABCD 中，AC，BD相交于点 O，E 为线段 AO 的中点若BE BA BD(，R)，则 _解析：因为 E 为线段 AO 的中点，所以BE 12BA 12BO 12BA 1212BD12BA 14BD BA BD，所以 121434.答案：341解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化2用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果变式训练1.如图所示，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C，D 是半圆弧的两个三等分点，AB
12、a，AC b，则AD()Aa12bB.12abCa12bD.12ab解析：连接 CD，由点 C，D 是半圆弧的三等分点，得 CDAB 且CD 12AB 12a，所以AD AC CD b12a.答案：D2在ABC 中，AB2，BC3，ABC60，AD为 BC 边上的高，O 为 AD 的中点，若AO AB BC，则 等于()A1 B.12C.13D.23解析：如图所示，在 RtADB 中，ABC60.所以 BDABcos 60113BC，则AD AB BD AB 13BC.所以 2AO AB 13BC，即AO 12AB 16BC.故 121623.答案：D考点 3 共线向量定理及其应用(讲练互动)
13、【例】设两个非零向量 a 与 b 不共线(1)若AB ab，BC 2a8b，CD 3(ab)，求证：A，B，D 三点共线；(2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线(1)证明：因为AB ab，BC 2a8b，CD 3(ab)所以BD BC CD 2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5AB.所以AB，BD 共线，又它们有公共点 B，所以 A，B，D 三点共线(2)解：假设 kab 与 akb 共线，所以存在实数，使 kab(akb)，即 kabakb，所以(k)a(k1)b.因为 a，b 是不共线的两个非零向量，所以 kk10.所以 k210.所以 k1.1证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线2向量 a，b 共线是指存在不全为零的实数 1，2，使 1a2b0 成立变式训练在ABC 中，D 是ABC 所在平面内一点，且AD 13AB 12AC，延长 AD 交 BC 于点 E，若AE AB AC，则 的值是_解析：设AE xAD，因为AD 13AB 12AC，所以AE x3AB x2AC.由于 E，B，C 三点共线，所以x3x21，解得 x65.又AE AB AC.所以 x325，x235，因此 15.答案：15
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