1、云南省云南师范大学附属中学2021届高三数学适应性月考卷（三）文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小題给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据补集定义计算【详解】因为全集，所以根据补集的定义得，故选：A.2. 设复数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数的四则运算求出，根据共轭复数的概念求出即可.【详解】故选：B.【点睛】本题主要考查复数的四则运算和共轭复数的概念，属于基础题.3. 设两组数据分别为和，且，则这两组数据相比，不变的数字特征是（ ）A
2、. 中位数B. 极差C. 方差D. 平均数【答案】A【解析】【分析】根据统计中的数字特征中位数，极差，方差，平均数进行判断，【详解】原始中位数为，去掉，后剩余，中位数仍为，A正确；原始平均数，后来平均数，平均数受极端值影响较大，与不一定相同，D不正确；，由易知，C不正确；原极差，后来极差，显然极差变小，B不正确，故选：A.4. 设函数，求（ ）A. 16B. 8C. 15D. 9【答案】D【解析】【分析】直接利用分段函数的关系式和对数的运算的应用求出结果【详解】；，故选：D.【点睛】本题考查分段函数，对数的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题5. 已知双曲线的左焦点为F
3、，离心率为.若F到双曲线的一条渐近线的距离为2，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用焦点到渐近线的距离可解得，再根据离心率可解得，则可得出双曲线的方程.【详解】由题意得，设双曲线的一条渐近线为，即，由点到线距离公式得：，又，解得：，所以双曲线的方程为：.故选：B.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，考查双曲线的渐近线、离心率等知识点的运用，较简单.6. 垂直于直线且与圆相切于第三象限的直线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由垂直设所求方程为，保证直线过第三象限，然后由圆心到切线的距离等于半径求出参数【详解】设所求方程为，圆心到直
4、线的距离为，故选：B7. 已知向量，向量在方向上的投影为-4，若，则实数的值为（ ）A. 3B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，根据向量模的方法求得，再根据在方向上的投影为-4，求得，最后根据平面向量垂直的性质，即可求出实数的值.【详解】解：由题可知，则，在方向上的投影为，则，又，即，即，则，解得：.故选：B.【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，以及向量的模的求法和向量垂直的性质基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.8. 在中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】运用正弦定理化边，再运用余弦定理求角即可得答案【详解】由已知得，故由正弦定理得，由余弦定理得，
5、因为，所以，.故选：A.【点睛】本题考查正余弦定理的应用，属于基础题.9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据三视图，还原几何体，再进行几何计算即可得答案.【详解】由三视图知，该几何体的直观图如图所示的四棱锥，四棱锥的高为1，四边形是边长为1的正方形，则，则四棱锥的侧面积为，故选：D.【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图，几何体的侧面积的计算，考查空间思维能力和运算能力，是中档题.10. 已知，为锐角，则（ ）A. B. C. D. -2【答案】C【解析】【分析】根据同角三角函数关系可求得和，变形，利用两角和差正切公式
6、可求得结果.【详解】因为，为锐角，所以.又因为，所以 ，因此.因为，所以 ，因此，故选：C.【点睛】本题考查同角三角函数值的求解、两角和差正切公式的应用；关键是能够利用已知角配凑出所求角的形式，从而利用两角和差正切公式来进行求解；易错点是忽略角所处的范围，造成同角三角函数值求解时出现符号错误.属于基础题.11. 已知抛物线的焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线，与C交于P，Q两点，与C交于M，N两点，设的面积为，的面积为（O为坐标原点），则的最小值为（ ）A. 10B. 16C. 14D. 12【答案】B【解析】【分析】设：与抛物线方程联立后，利用韦达定理可以表示出和，再利用基本不等式即可求最
7、小值.【详解】设，直线：，联立方程消y得，因为，所以，所以，又原点O到直线的距离为，所以 ，同理，所以，当且仅当“”时取等号，故的最小值为16，故选：B【点睛】圆锥曲线中的最值问题通常需要用韦达定理构建函数关系式，自变量可以使直线的斜率或点的坐标，利用基本不等式或导数求出最值，属于难题.12. 已知函数（），下述五个结论：若，且在有且仅有5个零点，则在有且仅有3个极大值点；若，且在有且仅有4个零点，则在有且仅有3个极小值点；若，且在有且仅有5个零点，则在上单调递增；若，且在有且仅有4个零点，则的范围是；若的图象关于对称，为它的一个零点，且在上单调，则的最大值为11.其中所有正确结论的编号是（
8、）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合正弦函数的性质进行判断作出的大致图象，由上的零点个数判断，其中需结合单调性判断，结合周期，先确定周期的表达式再由单调性得周期的范围，然后从最大的验证，判断【详解】若，在上有5个零点，可画出大致图象，由图可知，在有且仅有3个极大值点，故正确；若，且在有且仅有4个零点，同样由图可知在有且仅有2个极小值点，故错误；若，由在上有5个零点，得，即，当时，所以，所以在上单调递增，故正确；若，因为，因为在有且仅有4个零点，所以，所以，所以正确；若的图象关于对称，为它的零点，则(，T为周期)，得，又在上单调，所以，又当时，在上不单调；当时，在上单调，满足
9、题意，故的最大值为9，故不正确，故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的图象与性质，关键是掌握正弦函数与性质，掌握五点法作图，利用数形结合思想归纳出结论，解题时可由零点、对称性得周期，由单调性确定周期的范围，由点的坐标确定相位是常用方法二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知实数x，y满足条件，则的最小值是_.【答案】【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，由目标函数的几何意义，结合图形，即可求出最值.【详解】画出约束条件表示的平面区域如下，因为可化为，则表示直线在轴上的截距，由图像可得，当直线过点时，在轴上的截距最小，即最小；所以当目标函数经过点时，z取得最小值
10、.故答案为：.【点睛】本题主要考查求线性目标函数的最值，利用数形结合的方法求解即可，属于基础题型.14. 已知直线：，：，若，则实数a的值为_.【答案】或【解析】【分析】由，可建立等式关系，计算即可.【详解】因为直线：，：，且，所以，解得或1.故答案为：或.15. 已知函数有唯一零点，则_.【答案】【解析】【分析】函数式变形后引入，此函数是偶函数，也有唯一零点只能是，从而可求得【详解】因为，且为偶函数，也有唯一零点，所以，解得.故答案：【点睛】本题考查函数的零点问题，在函数式比较复杂又要确定零点时，可考虑函数的奇偶性，具有奇偶性的函数如果零点唯一，则零点只能是0那么如果函数本身不具有奇偶性，可
11、考虑能否通过图象变换把它变成具有奇偶性的函数从而也可确定唯一零点16. 在三棱锥中，平面，其外接球表面积为，则三棱锥的体积的最大值为_.【答案】【解析】分析】设的外心为点，外接球的球心为，过点作于点，令，由得，所以，利用导数求解体积的最大值.【详解】如图所示，令，则，外接球表面积为，所以半径，在中，即，即，得，所以体积，令，在上单调递增，在上单调递减，所以时，的最大值为.故答案为：【点睛】本题考查了三棱锥的体积的计算，考查了利用导数求解最值，考查了学生的直观想象与运算求解能力.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知数列的前n项和为，且，在公差不为0的等差数列
12、中，且，成等比数列.（1）求数列，的通项公式；（2）记，求的前n项和.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由证明是等比数列，得到通项公式，利用等比数列的性质求得等差数列的公差，得通项；（2）分组求和法计算【详解】（1），两式相减得，又因为，.设等差数列的公差为d，成等比数列，.（2）由（1）知，所以.【点睛】方法点睛：本题考查求等差数列和等比数列的通项公式，分组求得法求和数列求和的常用方法：公式法，错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法，倒序相加法注意对应的数列特征18. 某项科硏活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：特征量第1次第2次第3次第4次第5次x258911y121
13、0887（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系？并指出是正相关还是负相关；（2）求特征量y关于x的回归方程，并预测当特征量x为12时特征量y的值.附：参考公式：相关系数，.参考数据：.【答案】（1）可以用线性回归方程模型拟合y与x的关系，其关系为负相关；（2），预测.【解析】【分析】（1）根据表格中的数据，分别求得，结合公式，求得的值，即可得到结论；（2）由（1）知，根据公式求得，进而求得，得出回归直线的方程，代入，即可得到预测值.【详解】（1）由题意，可得，因而相关系数.由于很接近1，说明x，y线性相关性很强，因而可以用线性回归方程模型拟合y与
14、x的关系.由于，故其关系为负相关.（2）由（1）知，则，则所求的回归方程是，当时，可预测特征量.【点睛】求解回归直线方程的基本步骤：（1）依据一般数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；（2）计算的值；（3）计算回归系数；（4）写出回归直线方程.19. 如图所示，在三棱锥中，O为的中点.（1）证明：平面；（2）若点M为棱的中点，求点C到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由正三角形性质得，由勾股定理逆定理证，从而得线面垂直；（2）利用体积法可求得点C到平面的距离【详解】（1）证明：因为，O为AC的中点，所以，且.如图，连接OB，因为，所以ABC为等腰直角三
15、角形，且，由知，由，知平面ABC.（2）如图所示，因为点M为棱BC中点，所以在中，又平面ABC，在中，在中，由余弦定理得，则，所以，设点C到平面PAM的距离为d，由，得，所以，所以点C到平面PAM的距离为.【点睛】本题考查证明线面垂直，求点到平面的距离立体几何中求点到平面距离的方法：（1）作出点到平面的垂线，求出垂线段的长；（2）在三棱锥中用体积法计算；（3）建立空间直角坐标系，用向量法求解到平面的距离，设是平面的一个法向量，则到平面的距离等于（点可以是平面内的任意一点）20. 已知函数，其中.（1）当时，求函数图象在点处的切线方程；（2）若函数在区间上的最大值为，求a的值.【答案】（1）；（
16、2）.【解析】【分析】（1）求出导数计算出切线斜率后可得切线方程；（2）求出导函数，根据的两根的大小分类讨论确定正负，得的单调性，从而得最大值，由最大值等于可得结论【详解】（1）当时，切线方程为.（2），当，即时，若，恒成立，在上递增，合题意；当，即时，当，单调递减，当，单调递增，在处或处取到，又时，且；当，即时，当，单调递减，又时，.综上，【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的最值求切线方程比较方便：只要求得导数后代入点的横坐标求得切线斜率，由点斜式写出切线方程化简即可用导数求最值，需求出导数，利用导数的正负确定的单调性，得函数的极值、最值这里需要按的大小讨论21. 已知椭圆的离
17、心率为，且抛物线的焦点恰好是椭圆的一个焦点.（1）求椭圆的方程；（2）与圆相切的直线交椭圆于两点，若椭圆上存在点满足，为坐标原点，求四边形面积的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据离心率和焦点坐标可构造方程求得，进而得到椭圆方程；（2）根据直线与圆相切可求得的范围，将直线与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，利用，可将所求面积整理为关于的函数，通过求解函数的值域可求得所求面积的取值范围.【详解】（1）设椭圆的焦距为，离心率为，又点是抛物线和椭圆的焦点，椭圆的方程为.（2）直线与圆相切，原点到直线的距离为，即，.设，由消去得：，又在椭圆上，.设的中点为，则，四边形的面积，令，
18、四边形面积的取值范围为.【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆标准方程求解、直线与圆位置关系的应用、椭圆中的四边形面积问题的求解；求解面积取值范围的关键是能够将所求面积表示为关于某一变量的函数关系式的形式，利用函数值域的求解方法求得所求的范围，属于较难题.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选題目的題号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的題号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如釆多做，则按所攽的第一題计分.22. 在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数，），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为.（1）求l的普
19、通方程和C的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点的直角坐标为，求直线l的极坐标方程.【答案】（1）l的普通方程为或；C的直角坐标方程为；（2）【解析】【分析】（1）分和两种情况，即可得出直线的普通方程；根据曲线的极坐标方程，由极坐标与直角坐标的互化公式，即可得出C的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入，根据弦中点坐标，求出，即可得出直线的直角坐标方程，从而可得到其极坐标方程.【详解】（1）当时，l的普通方程为； 当时，l的普通方程为，即.由，得，即.（2）将代入中，整理得，依题意得，即，即，得，所以直线l的斜率为，直线l的一般方程为，则直线l的极坐标方程为.【点睛】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化，考查参数下的弦中点问题，属于常考题.23. 设函数的最小值为m，且.（1）求m及t的值；（2）若正实数a，b，c满足.证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）等价变形为分段函数，得函数在上单减，上单增，且是连续函数，求得在时取得最小值得解.（2）由柯西不等式得证.【详解】（1）解：由则函数在上单减，上单增，且是连续函数，所以在时取得最小值，.（2）证明：因为a，b，c均为正实数，由柯西不等式，即，当且仅当时，取等号.【点睛】本题考查绝对值函数的最值求参数及运用柯西不等式证明不等式成立，属于基础题.