1、第三章 基本初等函数 第六节 函数模型及其应用最新考纲考情索引核心素养1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等普遍使用的函数模型)在社会生活的广泛应用.2018浙江卷，T112018天津卷，T142017全国卷，T32016全国卷，T41.数学建模2.直观想象3.数学运算1指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质 yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调_单调_单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳递增递增图象的变化随 x 的增大逐渐表现为与
2、_平行随 x 的增大逐渐表现为与_平行随 n 值变化而各有不同值的比较存在一个 x0，当 xx0 时，有 logaxxnaxy轴x轴2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)与指数函数相关模型f(x)baxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)与对数函数相关模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)与幂函数相关模型f(x)axnb(a，b，n为常数，a0)3.解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型.(2)建模：将自然语
3、言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型(3)解模：求解数学模型，得出数学结论(4)还原：将数学问题还原为实际问题以上过程用框图表示如下：1“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢2充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键3易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性1概念思辨判断下列说法的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)某种商品进价为每件 100 元，按进价增加 10%出售，后因库
4、存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.()(2)函数 y2x 的函数值比 yx2 的函数值大()(3)不存在 x0，使 ax0 xn01)的增长速度会超过并远远大于 yxa(a0)的增长速度()解析：(1)9 折出售的售价为 100(110%)91099元，所以每件赔 1 元，(1)错(2)中，当 x2 时，2xx24，(2)错根据幂、指、对函数模型变化规律知(3)错，(4)正确答案：(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(人 A 必修 1P107A 组 T1 改编)在某个物理实验中，测量得变量 x 和变量 y 的几组数据，如下表：x0.500.992.013.98y0.990.010.
5、982.00则对 x，y 最适合的拟合函数是()Ay2xByx21Cy2x2 Dylog2x(2)(人 A 必修 1P59A 组 T6 改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司 2017 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)()A2020 年B2021 年C2022 年D2023 年解析：(1)根据 x0.50，y0.99，代入计算，可以排除 A；根据 x2.01，y0.98，代入计算，可以排除 B
6、，C；将各数据代入函数 ylog2x，可知满足题意(2)设经过 n 年资金开始超过 200 万元，130(112%)n200.两边取对数，得 nlg 1.12lg 2lg 1.3，所以 nlg 2lg 1.3lg 1.120.300.110.05195，所以 n4，所以从 2021 年开始，该公司投入的研发资金开始超过 200 万元答案：(1)D(2)B3典题体验(1)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)12x22x20(万元)一万件售价是 20 万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为 ()A36 万件B18 万件C
7、22 万件D9 万件(2)(2017江苏卷)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为4x 万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x的值是_解析：(1)利润 L(x)20 xC(x)12(x18)2142，当 x18 万件时，L(x)有最大值(2)设总费用为 y 万元，则 y600 x 64x4x900 x240.当且仅当 x900 x，即 x30 时，等号成立所以当 x30 时，一年的总运费与总存储费用之和最小答案：(1)B(2)30考点 1 利用函数图象刻画实际问题(自主演练)【例 1】(2019长春检测)“乌龟赛跑”是一则经典故
8、事：兔子与乌鱼在赛道上赛跑，跑了一段后，兔子领先太多就躺在道边睡着了，当它醒来后看到乌龟已经领先了，因此它用更快的速度去追，结果还是乌龟先到了终点，请根据故事选出符合的路程时间图象()解析：由故事内容知乌龟先到达终点，兔子醒来乌龟未到达终点，且兔子后来的速度更快，故选项 C 正确答案：C【例 2】物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案据预测，这四种方案均能在规定的时间 T 内完成预测的运输任务 Q0，各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()解析：由运输效率(单位时间的运
9、输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直是下凸的，故选 B.答案：B【例 3】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是()A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10升汽油D某城市机动车最高限速 80 千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析：根据图象知消耗 1 L 汽油，乙车最多行驶里程大于 5 km，故选项 A 错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，
10、因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项 B 错；甲车以 80 km/h 的速度行驶时燃油效率为 10 km/L，行驶 1 h，里程为 80 km，消耗 8 L汽油，故选项 C 错；最高限速 80 km/h，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，选项 D 正确答案：D1当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案2图形、表格直观地刻画出变量间的依存关系，考查学生的直观想象等数学核心素养考点 2 已知函数模型求解实际问题(讲练互动)【例】为了降
11、低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x)k3x5(0 x10，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元，设 f(x)为隔热层建造费用与20 年的能源消耗费用之和(1)求 k 的值及 f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小？并求最小值解：(1)当 x0 时，C8，所以 k40，所以 C(x)403x5(0 x10)，所以 f(x)6x20403x5 6x 8003x5(0 x10)(2)
12、由(1)得 f(x)2(3x5)8003x510.令 3x5t，t5，35，则 y2t800t 10，所以 y2800t2，当 5t20 时，y0，y2t800t 10 为减函数；当 20t35 时，y0，y2t800t 10 为增函数所以函数 y2t800t 10 在 t20 时取得最小值，此时 x5，因此 f(x)的最小值为 f(x)min6580035570.所以隔热层修建 5 cm 厚时，总费用 f(x)达到最小，最小值为 70 万元1求解已知函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数2利用该函数模型，借助
13、函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验变式训练某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y ax310(x6)2，其中 3x6，a 为常数已知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克(1)求 a 的值；(2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解：(1)当 x5 时，y11，所以a21011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为 y 2x310(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)(x3)2x310（x6）2 210(x3)
14、(x6)2，3x6.f(x)30(x4)(x6)，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3，4)4(4，6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x4 时，函数 f(x)取得极大值，也是最大值，所以当 x4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等于 42.故当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大考点 3 构造函数模型求实际问题(多维探究)角度 构建二次函数、分段函数模型【例 1】“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度 v(单位：千克/年)是养殖密
15、度 x(单位：尾/立方米)的函数当 x 不超过 4 尾/立方米时，v 的值为 2 千克/年；当 4x20 时，v 是 x 的一次函数，当 x 达到 20 尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为 0 千克/年(1)当 0 x20 时，求函数 v 关于 x 的函数解析式；(2)当养殖密度 x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值解：(1)由题意得，当 0 x4 时，v2，当 4x20 时，设 vaxb，显然 vaxb 在(4，20内是减函数，由已知得20ab0，4ab2，解得a18，b52，所以 v18x52.故函数 v2，0 x4，18x52，4x20.(2)设
16、年生长量为 f(x)千克/立方米，依题意由(1)得f(x)2x，0 x4，18x252x，4x20.当 0 x4 时，f(x)为增函数，故 f(x)maxf(4)428；当 4x20 时，f(x)18x252x18(x220 x)18(x10)2252，f(x)maxf(10)12.5.所以当 0 x20 时，f(x)的最大值为 12.5.故当养殖密度为 10 尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为 12.5 千克/立方米角度 构建指数、对数型函数模型【例 2】候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度 v(单位：m/s)与其耗氧量 Q 之
17、间的关系为 vablog3Q10(其中 a，b 是实数)据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为 30 个单位，而其耗氧量为 90 个单位时，其飞行速度为 1 m/s.(1)求出 a，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为 0 m/s，此时耗氧量为 30 个单位，故有 ablog330100，即 ab0；当耗氧量为 90 个单位时，速度为 1 m/s，故有 ablog390101，整理得 a2b1.解方程组ab0，a2b1，得a1，b1.(2)由(1)知，v1log3Q10.所以要使飞行速度不
18、低于 2 m/s，则有 v2，即1log3Q102，即 log3Q103，解得 Q270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，则其耗氧量至少要 270 个单位1解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作答2(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，应构建分段函数模型，但应关注两点：分段要合理，不重不漏；分段函数的最值是各段的最大(或最小)中的最大(或最小)值(2)指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确
19、定参数求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化变式训练1某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过 10 m3 的，按每立方米 m 元收费；用水超过 10 m3 的，超过部分加倍收费某职工某月缴水费 16m 元，则该职工这个月实际用水为()A13 m3 B14 m3 C18 m3 D26 m3解析：设该职工用水 x m3 时，缴纳的水费为 y 元，由题意得 ymx，010.则 10m(x10)2m16m，解得 x13.答案：A2将甲桶中的 a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线 yaent.假设过 5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过 m min 甲桶中的水只有a4 L，则 m 的值为()A5 B8 C9 D10解析：因为 5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，所以函数 yf(t)aent 满足 f(5)ae5n12a，可得 n15ln 12，所以 f(t)a12t5，因此，当 k min 后甲桶中的水只有a4 L 时，f(k)a12k514a，即12k514，所以 k10，所以 mk51055.答案：A