1、高考调研 第1页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习第七章不等式及推理与证明高考调研 第2页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习第6课时 直接证明与间接证明高考调研 第3页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习1了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点2了解间接证明的一种基本方法反证法，了解反证法的思考过程、特点高考调研 第4页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习请注意不等式的证明是高考的一个重要内容，也是一类难点一方面是证明的方法灵活多样，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适
2、当的证明方法，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点另一方面是知识的交汇与解题能力的综合，传统的纯不等式的证明问题很少在高考中出现，但是与三角函数、数列、导数等知识的综合命题却显得非常活跃，对考生综合运用知识和逻辑推理能力有较高的要求高考调研 第5页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习课前自助餐 授人以渔 自助餐 课外阅读 题组层级快练 高考调研 第6页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习课前自助餐 高考调研 第7页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习1综合法一般地，利用_，经过一系列的，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法
3、用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：已知条件和某些数学定义、公理、定理等推理论证高考调研 第8页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习2分析法一般地，从要出发，逐步寻求使它成立的_，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止这种证明的方法叫做分析法用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：证明的结论充分条件高考调研 第9页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习3反证法一般地，假设，经过正确的推理，最后得出，因此说明，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做
4、反证法原命题不成立矛盾假设错误高考调研 第10页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习1用分析法证明：欲使AB，只需C2；a2b22.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是_(填上序号)答案 解析 取a2，b1，则a2b22，从而推不出 能够推出，即若ab2，则a，b中至少有一个大于1.用反证法证明如下：假设a1，且b1，则ab2与ab2矛盾因此假设不成立，所以a，b中至少有一个大于1.高考调研 第14页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习授人以渔 高考调研 第15页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习题型一综合法例 1(20
5、14新课标全国文)设函数 f(x)alnx1a2 x2bx(a1)，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为 0.(1)求 b；(2)若存在 x01，使得 f(x0)0，f(x)在(1，)上单调递增所以，存在 x01，使得 f(x0)aa1的充要条件为f(1)aa1，即1a2 1 aa1，解得 21a 21.高考调研 第18页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习若12a1，故当 x(1，a1a)时，f(x)0，f(x)在(1，a1a)上单调递减，在(a1a，)上单调递增所以，存在 x01，使得 f(x0)aa1的充要条件为f(a1a)aa1，所以不合题意高考调研 第
6、19页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习若 a1，则 f(1)1a2 1a120，且 x1 时，f(x)lnxx1.高考调研 第22页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习【解析】(1)f(x)ax1x lnxx12bx2.由于直线 x2y30 的斜率为12，且过点(1,1)，故f11，f112，即b1，a2b12.解得 a1，b1.高考调研 第23页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习(2)由(1)知 f(x)lnxx11x，所以f(x)lnxx111x2(2lnxx21x)考虑函数 h(x)2lnxx21x(x0)，则h(x)2x
7、2x2x21x2x12x2.高考调研 第24页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习【答案】(1)a1，b1(2)略所以当 x1 时，h(x)0，可得11x2h(x)0；当 x(1，)时，h(x)0.从而当 x0，且 x1 时，f(x)lnxx10，即 f(x)lnxx1.高考调研 第25页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习题型二分析法例 2 已知 a0，求证：a2 1a2 2a1a2.【思路】当所给的条件简单，所证的结论复杂的，一般采用分析法高考调研 第26页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习【证明】要证a2 1a2 2a1a2，
8、只要证a2 1a22a1a 2.a0，故只要证(a2 1a22)2(a1a 2)2，即 a2 1a24a2 1a24a22 1a22 2(a1a)2.高考调研 第27页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习从而只要证 2a2 1a2 2(a1a)只要证 4(a2 1a2)2(a22 1a2)，即 a2 1a22，而该不等式显然成立故原不等式成立【答案】略高考调研 第28页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习探究2 分析法是数学中常用到的一种直接证明方法，就证明程序来讲，它是一种从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理方法具体地说，即先假设所要证明的结论是正确
9、的，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题或是要证命题的已知条件时则所证命题得证高考调研 第29页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习思考题2若 a，b，c 是不全相等的正数，求证：lgab2 lgbc2 lgca2 lgalgblgc.【解析】方法一：(分析法)lgab2 lgbc2 lgca2 lgalgblgclg(ab2 bc2 ca2)lgabcab2 bc2 ca2 abc.因 为 a，b，c 是 不 全 相 等 的 正 数，所 以 显 然 有ab2 bc2 ca2 abc 成立，原不等式得证高考调研 第30页第七章 不等式及推理与
10、证明新课标版 数学（理）高三总复习方法二：(综合法)因为 a，b，cR，所以ab2 ab0，bc2 bc0，ac2 ac0.又因为 a，b，c 不全相等，所 以 上 述 三 个 不 等 式 中 等 号 不 能 同 时 成 立，即ab2 bc2 ca2 abc 成立高考调研 第31页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习上式两边同取常用对数，得lg(ab2 bc2 ca2)lgabc，即 lgab2 lgbc2 lgca2 lgalgblgc.【答案】略高考调研 第32页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习例3(2013陕西理)设an是公比为q的等比数列(1
11、)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列【解析】(1)设an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a1a1na1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，题型三反证法高考调研 第33页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习，得(1q)Sna1a1qn.Sna11qn1q.Snna1，q1，a11qn1q，q1.高考调研 第34页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习(2)证明：假设an1是等比数列，则对任意的 kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)a2k12ak11akak2akak21.a21
12、q2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1.a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10.q1，这与已知矛盾假设不成立，故an1不是等比数列【答案】略高考调研 第35页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习探究3(1)当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法求证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器(2)利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理，否则
13、，将出现循环论证的错误高考调研 第36页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习(1)用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x2axb0没有实根B方程x2axb0至多有一个实根C方程x2axb0至多有两个实根D方程x2axb0恰好有两个实根【答案】A思考题3高考调研 第37页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习(2)实数a，b，c，d满足abcd1，acbd1，求证：a，b，c，d中至少有一个为负数【证明】假设a，b，c，d都是非负数，则由abcd1，得1(ab)(cd)acbdadbcacbd，即
14、acbd1，这与acbd1矛盾，故假设不成立即a，b，c，d中至少有一个为负数【答案】略高考调研 第38页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习1综合法与分析法的关系：分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明；或两种方法交叉使用2反证法证明的关键：准确反设；从否定的结论正确推理；得出矛盾高考调研 第39页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习自助餐 高考调研 第40页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习1分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的()A充分条件
15、 B必要条件C充要条件D等价条件答案 A高考调研 第41页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习2若a0，b0，且ab4，则下列不等式中恒成立的是()答案 DA.1ab12B.1a1b1C.ab2 D.1a2b218解析 a2b22ab，2(a2b2)(ab)216.a2b28，1a2b218.高考调研 第42页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习3用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为()Aa，b，c中至少有两个偶数Ba，b，c中至少有两个偶数或都是奇数Ca，b，c都是奇数Da，b，c都是偶数答案 B高考调研 第43
16、页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习答案 略证明 a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac，又a，b，c为互不相等的非负数，上面三个式子中都不能取“”a2b2c2abbcac.4已知 a，b，c 为互不相等的非负数求证：a2b2c2 abc(a b c)高考调研 第44页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习abbc2 ab2c，bcac2 abc2，abac2 a2bc，又 a，b，c 为互不相等的非负数，abbcac abc(a b c)a2b2c2 abc(a b c)高考调研 第45页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习
17、5设数列an满足 a10 且11an111an1.(1)求an的通项公式；(2)设 bn1 an1n，记 Snnk1bk，证明：Sn1.答案(1)an11n(2)略高考调研 第46页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习解析(1)由题设11an111an1，得11an是公差为 1 的等差数列又11a11，故11ann.所以 an11n.(2)由(1)得bn1 an1n n1 nn1 n 1n1n1，Snnk1bknk1(1k1k1)11n1c，求证：a1a b1b c1c.【证明】a1a b1ba1abb1ab ab1ab，设 f(x)x1x(x0)，则 f(x)11x20.
18、f(x)在0，)上为增函数又 abc0，ab1ab c1c，a1a b1b c1c.高考调研 第59页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习探究 2(1)利用放缩法证明不等式应适当掌握放缩尺度，否则放的过大或缩的过小，如解析一中若从第二项 122开始放大，结果为原式1(1121213 1n11n)21n2 这样显然放的过大(2)本例题是通过改变 n2 中一个因式或两个因式的大小达到放缩的目的，对于多项式可通过添上或去掉个别项达到放缩的目的高考调研 第60页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习(3)均值不等式、绝对值不等式等一些重要不等式都可以作为放缩公式，
19、另外自己应该总结一些常见的放缩公式，如：k1 k 12 k k k1，真分数性质：bmamba(ab0，m0)，1k2 1k11k，2n1n1(n4)高考调研 第61页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习思考题2(1)已知 a，b，c，d 均为正数，Saabdbbcaccdbddac，则一定有()A0S1 B1S2C2S3 D3Saabcdbabcdcabcddabcd1，S aab bab ccd dcd2，1S2，故选 B.【答案】B高考调研 第63页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习(2)求证：12 23 nn1nn22.【证明】左边122 232 nn12(123n)n2nn12n2nn22.高考调研 第64页第七章 不等式及推理与证明新课标版 数学（理）高三总复习题组层级快练