1、山西大学附中20202021学年高二第一学期12月模块诊断（理）数 学 试 题考试时间：100分钟 满分：100分 一选择题（每小题3分，共36分）1直线的方程为，则直线的倾斜角为()A150 B120 C60 D302如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中, ，,则下列叙述正确的是( ) A原图形是正方形 B原图形是非正方形的菱形 C原图形的面积是 D原图形的面积是3命题“对任意，都有”的否定为( )A对任意，都有 B不存在，都有C存在，使得 D存在，使得4设，则“”是“直线：与直线：平行”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5两圆，则两
2、圆公切线条数为（ ）A1B2C3D46在直三棱柱中，则点到平面 的距离为( )A B C D7直线被圆截得最大弦长为( )ABC3D8.已知圆：和两点，若圆上有且只有一点，使得,则的值为（ ）A3B5C3或5D3或79若满足条件:,则的最小值为 ( ) A. B C D10已知圆(x3)2(y5)236和点A(2，2)，B(1，2)，若点C在圆上且ABC的面积为，则满足条件的点C的个数是（ ）A1B2C3 D411已知点P是椭圆上一点，M，N分别是圆和圆上的点，那么的最小值为（ ）A15B16C17D1812（理）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值
3、为（ ）ABCD二、填空题(本题有4个小题，每小题4分，共16分)13已知，直线过点且与线段相交，那么直线的斜率的取值范围是_14已知圆C1的圆心在x轴上，半径为1，且过点，圆C2：x2+y2=4，则圆C1，C2的公共弦长为_15若对圆上任意一点，的取值与，无关， 则实数a的取值范围是_16如图所示，在正方体中，分别是棱的中点，的顶点在棱与棱上运动，有以下四个命题：平面；平面；在底面上的射影图形的面积为定值；在侧面上的射影图形是三角形其中正确的命题序号是_三、解答题（本题有5个小题，共48分，请将推理、计算过程写在答题卡上。）17(8分)已知命题p：a；命题q：方程x2(a3)xa0有两个不相
4、等正实根；（1）若命题q为真命题，求实数a的取值范围；（2）若pq为真命题，且p为假命题，求实数a的取值范围18(10分)已知圆的方程为.（1）若圆与直线相交于、两点，且，(为坐标原点)，求的值；（2）在（1）的条件下，求以为直径的圆的方程.19.(10分)如图，在三棱柱中，平面，分别为的中点，（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.20(10分)已知圆，直线与圆相交于两点，且.（1）求直线的方程；（2）已知点，点是圆上任意一点，点在线段上，且存在常数使得，求点到直线距离的最小值.21(10分)如图，三棱柱中，侧面，已知，点是棱的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）在棱上是
5、否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.一选择题（每小题3分，共36分）1直线的方程为，则直线的倾斜角为()A150 B120 C60 D30答案 ：A 2如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中, ，,则下列叙述正确的是( ) A原图形是正方形 B原图形是非正方形的菱形 C原图形的面积是 D原图形的面积是答案 C3命题“对任意，都有”的否定为( )A对任意，都有 B不存在，都有C存在，使得 D存在，使得答案D4设，则“”是“直线：与直线：平行”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案A5两圆，则两圆公
6、切线条数为（ ）A1B2C3D4答案B6在直三棱柱中，则点到平面 的距离为( )A B C D答案B7直线被圆截得最大弦长为( )ABC3D【答案】D8.已知圆：和两点，若圆上有且只有一点，使得,则的值为（ ）A3B5C3或5D3或7答案D9若满足条件:,则的最小值为 ( ) A. B C D答案A10已知圆(x3)2(y5)236和点A(2，2)，B(1，2)，若点C在圆上且ABC的面积为，则满足条件的点C的个数是（ ）A1B2C3D4【答案】C11已知点P是椭圆上一点，M，N分别是圆和圆上的点，那么的最小值为（ ）A15B16C17D18【答案】C12（理）在棱长为1的正方体中，为线段的中
7、点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（ ）ABCD【答案】A13已知，直线过点且与线段相交，那么直线的斜率的取值范围是（ ）14已知圆C1的圆心在x轴上，半径为1，且过点(2，-1)，圆C2：x2+y2=4，则圆C1，C2的公共弦长为（ ）15若对圆上任意一点，的取值与，无关， 则实数a的取值范围是( )16如图所示，在正方体中，分别是棱的中点，的顶点在棱与棱上运动，有以下四个命题：平面；平面；在底面上的射影图形的面积为定值；在侧面上的射影图形是三角形其中正确的命题序号是_ 17已知命题p：a；命题q：方程x2(a3)xa0有两个不相等正实根；（1）若命题q为真命题，求实数a的取
8、值范围；（2）若pq为真命题，且p为假命题，求实数a的取值范围【答案】（1）；（2）【分析】（1）由一元二次方程根的分布求得的取值范围；（2）由p为假命题，为真命题，可得结论【详解】（1）设方程两个不相等正实根为命题为真，解得（2）若为真命题，且为假命题，则假真真：；为假命题，则真：所以实数的取值范围：18已知圆的方程为.（1）若圆与直线相交于、两点，且，(为坐标原点)，求的值；（2）在（1）的条件下，求以为直径的圆的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）直线方程与圆方程联立，消去，设、，由韦达定理得，由得，代入后可求得值，检验符合直线与圆相交即可；（2）求出中点坐标，即新圆心坐标，再求
9、出半径，得圆标准方程【详解】(1)由得，由可得， 由题意联立得：， 设、，根据韦达定理得， ，又，解得，符合，可取；(2)设圆心为，则， ，半径， 圆的方程.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆相交问题，解题方法是设而不求的思想方程，即设交点为、，由直线方程与圆方程联立方程组消元后，应用韦达定理得，代入所得的可求参数值19.(12分)如图，在三棱柱中，平面，分别为的中点，（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；19.解：（1）在三棱柱中，平面，四边形为矩形又，分别为，的中点， 2分又， 4分平面 5分（2）法一：由（1）知，由平面，平面 6分如图建立空间直角坐称系由题意得，设平面的法向量为，
10、令，则，平面的法向量，8分又平面的法向量为， 9分 11分所以二面角的余弦值为 12分20已知圆，直线与圆相交于两点，且.（1）求直线的方程；（2）已知点，点是圆上任意一点，点在线段上，且存在常数使得，求点到直线距离的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）圆，圆心，半径.求出圆心到直线的距离，又，求出，即得直线的方程；（2）设，根据，得.根据点在线段上，则共线，可得，代入，求出点的轨迹方程，可求点到直线距离的最小值.【详解】（1）圆，圆心，半径，直线与圆相交于两点，且，圆心到直线的距离，又，解得.直线的方程为.（2）设，则，.，即.又点在线段上，共线，.点是圆上任意一点，即.点在以为圆
11、心，半径为的圆上.圆心到直线的距离，点到直线距离的最小值为.【点睛】本题考查点到直线的距离公式，考查向量共线定理，考查代入法求轨迹方程及直线与圆的位置关系，属于较难的题目.21如图，三棱柱中，侧面，已知，点是棱的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在,或.【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，即可证得平面.（2）以为原点，分别以，和的方向为，和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解；（3）假设存在点
12、，设，根据，得到的坐标，结合平面的法向量为列出方程，即可求解.【详解】（1）由题意，因为，又，侧面，.又，平面直线平面.（2）以为原点，分别以，和的方向为，和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有，设平面的一个法向量为，令，则，设平面的一个法向量为，令，则，.设二面角为，则.设二面角的余弦值为.（3）假设存在点，设，设平面的一个法向量为，得.即，或，或.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.