1、2020年高考数学（4月份）第一次模拟试卷一、选择题（共10小题）.1已知集合Ax|x（x+1）0，集合Bx|1x1，则AB（）Ax|1x1Bx|1x0Cx|1x1Dx|0x12已知复数z（其中i是虚数单位），则|z|（）ABC1D23抛物线x24y的准线与y轴的交点的坐标为（）AB（0，1）C（0，2）D（0，4）4设函数f（x）x+2（x0），则f（x）（）A有最大值B有最小值C是增函数D是减函数5已知曲线C的方程为，则“ab”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6一排6个座位坐了2个三口之家若每家人坐在一起，则不同
2、的坐法种数为（）A12B36C72D7207已知圆C与直线yx及x+y40的相切，圆心在直线yx上，则圆C的方程为（）A（x1）2 +（y1）2 2B（x1）2 +（y+1）2 2C（x+1）2 +（y1）2 4D（x+1）2 +（y+1）2 48已知正项等比数列an中，a1a5a927，a6与a7的等差中项为9，则a10（）A729B332C181D969春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（）A10天B15天C19天D2天10某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的
3、人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A8B7C6D5二、填空题共5题，每题5分，共25分11设向量，不平行，向量+与+2平行，则实数 12已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转后经过点（1，），则sin 13某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为 14若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1），（2，1），（4，2）中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是 15某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示由于目前该片盈利未达到预
4、期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象给出下列四种说法：图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本其中，正确的说法是 （填写所有正确说法的编号）三、解答题16如图1，在ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，ABAC2，BC4将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使得平面A1DE平面BCED，如图（）求证：A1OBD；（）求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；17在b2+aca2+c2，ac
5、osBbsinA，sinB+cosB，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_，A，b，求ABC的面积18为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元（）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（）为了解乙公司员
6、工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费19已知函数f（x）lnx（1）若曲线yf（x）存在斜率为1的切线，求实数a的取值范围；（2）求f（x）的单调区间；（3）设函数g（x），求证：当1a0时，g（x）在（1，+）上存在极小值20已知椭圆C：x2+3y26的右焦点为F（）求点F的坐标和椭圆C的离心率；（）直线l：ykx+m（k0）过点F，且与椭圆C交于P，Q两点，如果点P关于x轴的对称点为P，判断直线PQ是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明
7、理由21各项均为非负整数的数列an同时满足下列条件：a1m（mN*）；ann1（n2）；n是a1+a2+an的因数（n1）（）当m5时，写出数列an的前五项；（）若数列an的前三项互不相等，且n3时，an为常数，求m的值；（）求证：对任意正整数m，存在正整数M，使得nM时，an为常数参考答案一、选择题共10题，每题4分，共40分在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知集合Ax|x（x+1）0，集合Bx|1x1，则AB（）Ax|1x1Bx|1x0Cx|1x1Dx|0x1【分析】先求出集合A，集合B，由此能求出AB解：集合Ax|x（x+1）0x|1x0，集合Bx|1x1，ABx|1x1
8、故选：C2已知复数z（其中i是虚数单位），则|z|（）ABC1D2【分析】利用复数模长的性质即可求解解：复数z，故选：A3抛物线x24y的准线与y轴的交点的坐标为（）AB（0，1）C（0，2）D（0，4）【分析】利用抛物线x24y的准线方程为y1，即可求出抛物线x24y的准线与y轴的交点的坐标解：抛物线x24y的准线方程为y1，抛物线x24y的准线与y轴的交点的坐标为（0，1），故选：B4设函数f（x）x+2（x0），则f（x）（）A有最大值B有最小值C是增函数D是减函数【分析】根据x0即可根据基本不等式得出，从而可得出f（x）4，并且x1时取等号，从而得出f（x）有最大值，没有单调性，从而得
9、出正确的选项解：x0，当且仅当，即x1时取等号，f（x）有最大值，f（x）在（，0）上没有单调性故选：A5已知曲线C的方程为，则“ab”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可解：若ab0，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则满足ab0，即a0，b0，满足ab，即必要性成立，即“ab”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件，故选：B6一排6个座位坐了2个三口之家若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A1
10、2B36C72D720【分析】根据题意，由捆绑法分析：先将2个三口之家的成员进行全排列，再对2个三口之家整体进行全排列，由分步计数原理计算可得答案解：根据题意，先将2个三口之家的成员进行全排列，有36种情况，再对2个三口之家整体进行全排列，有2种情况，则有36272种不同的坐法；故选：C7已知圆C与直线yx及x+y40的相切，圆心在直线yx上，则圆C的方程为（）A（x1）2 +（y1）2 2B（x1）2 +（y+1）2 2C（x+1）2 +（y1）2 4D（x+1）2 +（y+1）2 4【分析】根据圆心在直线yx上，设出圆心坐标为（a，a），利用圆C与直线yx及x+y40的相切，求得圆心坐标，
11、再求圆的半径，可得圆的方程解：圆心在yx上，设圆心为（a，a），圆C与直线yx及x+y40的相切，圆心到两直线yx及x+y40的距离相等，即：a1，圆心坐标为（1，1），R，圆C的标准方程为（x1）2+（y1）22故选：A8已知正项等比数列an中，a1a5a927，a6与a7的等差中项为9，则a10（）A729B332C181D96【分析】正项等比数列an的公比设为q，q0，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式及性质，解方程可得公比q，再由等比数列的通项公式计算可得所求值解：正项等比数列an的公比设为q，q0，由a1a5a927，可得a5327，即a53，即a1q43，a6与a7的等差中
12、项为9，可得a6+a718，即a1q5+a1q618，相除可得q2+q60，解得q2（3舍去），则a10a5q533296故选：D9春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（）A10天B15天C19天D2天【分析】由题意设荷叶覆盖水面的初始面积，再列出解析式，并注明x的范围，列出方程求解即可解：设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积ya2x（xN+），根据题意，令2（a2x）a220，解得x19，故选：C10某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的人数分别
13、是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A8B7C6D5【分析】设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），根据n（ABC）n（A）+n（B）+n（C）n（AB）n（AC）n（BC）+n（ABC），且n（AB）n（ABC），n（AC）n（ABC），n（BC）n（ABC）可得解：设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），则n（A）14，n（B）10，n（C）8，n（ABC）20，因为
14、n（ABC）n（A）+n（B）+n（C）n（AB）n（AC）n（BC）+n（ABC），且n（AB）n（ABC），n（AC）n（ABC），n（BC）n（ABC），所以14+10+820+n（ABC）3n（ABC），即n（ABC）6故选：C二、填空题共5题，每题5分，共25分11设向量，不平行，向量+与+2平行，则实数【分析】利用向量平行的条件直接求解解：向量，不平行，向量+与+2平行，+t（+2），解得实数故答案为：12已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转后经过点（1，），则sin1【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，先求得的值，可得sin的值解：角的
15、顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转后经过点（1，），tan（+），故+ 为第二象限角可令+，此时，sin1，故答案为：113某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积解：几何体的直观图如图：是长方体的一部分，长方体的棱长为：2，1，2，四棱锥的体积为：122故答案为：14若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1），（2，1），（4，2）中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是x28y或y2x【分析】由题意可设抛物线方程为y22px（p0）或x22py（p0），然后分类求解得答案解：由题意可得，抛物线方
16、程为y22px（p0）或x22py（p0）若抛物线方程为y22px（p0），代入（1，1），得p，则抛物线方程为y2x，此时（4，2）在抛物线上，符合题意；若抛物线方程为x22py（p0），代入（2，1），得p2，则抛物线方程为x28y，此时（2，）在抛物线上，符合题意抛物线的标准方程可以是x28y或y2x故答案为：x28y或y2x15某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象给出下列四种说法：图（2）对应的方案是：提高票价，并提
17、高成本；图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本其中，正确的说法是（填写所有正确说法的编号）【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解解：由图可知，点A纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图（2）降低了成本，但票价保持不变，即对；图（3）成本保持不变，但提高了票价，即对；故选：三、解答题共6题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16如图1，在ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，ABAC2，BC4将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使得平面
18、A1DE平面BCED，如图（）求证：A1OBD；（）求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；【分析】（）推导出A1ODE，从而A1O平面BCDE，由此能证明A1OBD（）以O为原点，在平面BCED中过点O作DE的垂线为x轴，以OE为y轴，OA1为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值解：（）证明：在ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，ABAC2，BC4A1ODE，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使得平面A1DE平面BCED，A1O平面BCDE，BD平面BCDE，A1OBD（）解：以O为原点，在平面BCED中过点O作DE的垂线为x轴，
19、以OE为y轴，OA1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（0，0，2），C（2，2，0），B（2，2，0），D（0，1，0），（2，2，2），（2，1，0），（0，1，2），设平面A1BD的法向量为（x，y，z），则，取x1，得（1，2，1），设直线A1C和平面A1BD所成角为，则直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值为：sin17在b2+aca2+c2，acosBbsinA，sinB+cosB，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_，A，b，求ABC的面积【分析】取，由余弦定理可得cosB进而解得B，C的大小也可得出，再由正弦定
20、理可得a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出；取acosBbsinA，由正弦定理可得：tanB1，B（0，），解得B，可得sinCsin（A+B），由正弦定理可得：a，利用三角形面积计算公式即可得出；取，可得，由此可求出B的大小，C的大小也可得出，再由正弦定理可得a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出；解：（1）若选择，由余弦定理，因为B（0，），所以；由正弦定理，得，因为，所以，所以所以（2）若选择acosBbsinA，则sinAcosBsinBsinA，因为sinA0，所以sinBcosB，因为B（0，），所以；由正弦定理，得，因为，所以，所以，所以（3）若选择，则，所以，因为B（0，
21、），所以，所以，所以；由正弦定理，得，因为，所以，所以，18为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元（）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；
22、（）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费【分析】（）由茎叶图能求出甲公司员工A投递快递件数的平均数和众数（）由题意能求出X的可能取值为136，147，154，189，203，分别求出相对应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望（）利用（）的结果能估算算两公司的每位员工在该月所得的劳务费解：（）甲公司员工A投递快递件数的平均数为：（32+33+33+38+35+36+39+33+41+40）36，众数为33（）设a为乙公司员工B投递件数，则当a34时，X136元，当a35时，X354+（a35）7元，X的可能取值为136，147，154，189，203，P（X136），P（X147
23、），P（X154），P（X189），P（X203），X的分布列为：X136147154189203P（）根据图中数据，由（）可估算：甲公司被抽取员工该月收入364.5304860元，乙公司被抽取员工该月收入165.5304965元19已知函数f（x）lnx（1）若曲线yf（x）存在斜率为1的切线，求实数a的取值范围；（2）求f（x）的单调区间；（3）设函数g（x），求证：当1a0时，g（x）在（1，+）上存在极小值【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为x2+x+a0存在大于0的实数根，根据yx2+x+a在x0时递增，求出a的范围即可；（2）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，判断导函数
24、的符号，求出函数的单调区间即可；（3）求出函数g（x）的导数，根据f（e）0，得到存在x0（1，e）满足g（x0）0，从而得到函数的单调区间，求出函数的极小值，证出结论即可解：（1）由f（x）lnx1得：f（x），（x0），由已知曲线yf（x）存在斜率为1的切线，f（x）1存在大于0的实数根，即x2+x+a0存在大于0的实数根，yx2+x+a在x0时递增，a的范围是（，0）；（2）由f（x），（x0），得：a0时，f（x）0，f（x）在（0，+）递增；a0时，若x（a，+）时，f（x）0，若x（0，a），则f（x）0，故f（x）在（a，+）递增，在（0，a）递减；（3）由g（x）及题设得：g（
25、x），由1a0，得：0a1，由（2）得：f（x）在（a，+）递增，f（1）a10，取xe，显然e1，f（e）0，存在x0（1，e）满足f（x0）0，即存在x0（1，e）满足g（x0）0，令g（x）0，解得：xx0，令g（x）0，解得：1xx0，故g（x）在（1，x0）递减，在（x0，+）递增，1a0时，g（x）在（1，+）存在极小值20已知椭圆C：x2+3y26的右焦点为F（）求点F的坐标和椭圆C的离心率；（）直线l：ykx+m（k0）过点F，且与椭圆C交于P，Q两点，如果点P关于x轴的对称点为P，判断直线PQ是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由【分析】（I）由
26、椭圆的标准方程即可得出；（II）直线l：ykx+m（k0）过点F，可得l：yk（x2）代入椭圆的标准方程可得：（3k2+1）x212k2x+12k260（依题意0）设 P（x1，y1），Q（x2，y2），可得根与系数的关系点P关于x轴的对称点为P，则P（x1，y1）可得直线PQ的方程可以为，令y0，把根与系数的关系代入化简即可得出解：（）椭圆C：，c2a2b24，解得c2，焦点F（2，0），离心率（）直线l：ykx+m（k0）过点F，m2k，l：yk（x2）由，得（3k2+1）x212k2x+12k260（依题意0）设 P（x1，y1），Q（x2，y2），则，点P关于x轴的对称点为P，则P（x
27、1，y1）直线PQ的方程可以设为，令y0，3直线PQ过x轴上定点（3，0）21各项均为非负整数的数列an同时满足下列条件：a1m（mN*）；ann1（n2）；n是a1+a2+an的因数（n1）（）当m5时，写出数列an的前五项；（）若数列an的前三项互不相等，且n3时，an为常数，求m的值；（）求证：对任意正整数m，存在正整数M，使得nM时，an为常数【分析】（）当m5时，写出数列an的前五项；（）对a2、a3分类取值，再结合各项均为非负整数列式求m的值；（）令Sna1+a2+an，则进一步推得存在正整数Mm，当nM时，必有成立再由成立证明an为常数【解答】（）解：m5时，数列an的前五项分别
28、为：5，1，0，2，2（）解：0ann1，0a21，0a32，又数列an的前3项互不相等，（1）当a20时，若a31，则a3a4a51，且对n3，都为整数，m2；若a32，则a3a4a52，且对n3，都为整数，m4；（2）当a21时，若a30，则a3a4a50，且对n3，都为整数，m1，不符合题意；若a32，则a3a4a52，且对n3，都为整数，m3；综上，m的值为2，3，4（）证明：对于n1，令Sna1+a2+an，则又对每一个n，都为正整数，其中“”至多出现m1个故存在正整数Mm，当nM时，必有成立当时，则从而由题设知，又及an+1均为整数，an+1，故常数从而常数故存在正整数M，使得nM时，an为常数