1、阶段提升课第二课 直线的方程思维导图构建网络考点整合素养提升 倾斜角与斜率 1若三点 A(1，2)，B(4，8)，C(5，x)在同一条直线上，则实数 x 的值为()A10 B10 C5 D5【解析】选 A.依题意，kABkAC，即2814 2x15，解得 x10.2如果直线 l1 的倾斜角是 150，l2l1，垂足为 B.l1，l2 与 x 轴分别相交于点 C，A，l3 平分BAC，则 l3 的倾斜角为_.【解析】因为直线 l1 的倾斜角为 150，所以BCA30，所以 l3 的倾斜角为12(9030)30.答案：303已知点 A(1，2)，若在坐标轴上有一点 P，使直线 PA 的倾斜角为 1
2、35，则点 P的坐标为_.【解析】由题意知 kPA1，若 P 点在 x 轴上，则设 P(m，0)，则02m1 1，解得 m3；若 P 点在 y 轴上，则设 P(0，n)，则n201 1，解得 n3，故 P 点的坐标为(3，0)或(0，3).答案：(3，0)或(0，3)求直线的倾斜角与斜率注意点(1)求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与 x 轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围(2)当直线的倾斜角 0，90)时，随着 的增大，直线的斜率 k 为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角(90，180)时，随着 的增大，直线的斜率 k 为负值且逐渐变大直线的方程 1已知直线 l1
3、：ym4 x12 与直线 l2：y25 xn5 垂直，垂足为 H(1，p)，则过点 H 且斜率为mpmn 的直线方程为()Ay2x2 By4x2Cy4x2 Dy2x2【解析】选 C.由题意可得m4251，m4112p，251n5p，解得m10，p2，n12.所以mpmn 1021012 4，则所求直线方程为 y24(x1)，即 y4x2.2过 l1：3x5y100 和 l2：xy10 的交点，且平行于 l3：x2y50的直线方程为_【解析】由3x5y100，xy10得交点为58，138，又 l3 的斜率为12，所以所求直线方程为 y138 12 x58，得 8x16y210.答案：8x16y2
4、103已知直线 l 的斜率为16，且和坐标轴围成的三角形的面积为 3，则直线 l 的方程为_.【解析】设直线 l 的方程为xa yb 1，所以12|ab|3，且ba 16，解得 a6，b1 或 a6，b1，所以直线 l 的方程为 x6 y1 或x6 y1，即 x6y60 或 x6y60.答案：x6y60 或 x6y60 求直线方程的方法(1)求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况(2)运用直线系方程的主要作用在于能使计算简单 直线的位置关系 1经过点 A(1，1)和点 B(3，
5、2)的直线 l1 与过点 C(4，5)和点 D(a，7)的直线l2 平行，则 a()A1 B4 C52 D44【解析】选 C.因为 k1 2131 14，又 l1l2，所以 k275a414，故 a52.2直线 l 过点(3，0)，且与直线 y2x3 垂直，则直线 l 的方程为()Ay12(x3)By12(x3)Cy12(x3)Dy12(x3)【解析】选 B.因为直线 y2x3 的斜率为 2，所以直线 l 的斜率为12.又直线 l 过点(3，0)，故所求直线的方程为 y12(x3).直线的位置关系的判断方法及注意点(1)方法：两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种，主要考查两条直
6、线的平行和垂直通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系(2)注意点：解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况 距离公式 1已知直线 x2ym0(m0)与直线 xny30 互相平行，且它们间的距离是 5，则 mn()A0 B1 C1 D2【解析】选 A.由题意，所给两条直线平行，所以 n2.由两条平行直线间的距离公式，得 d|m3|12（2）2|m3|5 5，解得 m2 或 m8(舍去)，所以 mn0.2已知 ABC 中，A(3，2)，B(1，5)，点 C 在直线 3xy30 上，若 ABC的面积为 10，则点 C 的坐标为_.【解析】设 C(x，y
7、)，由|AB|5，ABC 的面积为 10，得点 C 到直线 AB 的距离为 4，又线段 AB 所在直线方程为 3x4y170.所以|3x4y17|324243xy30，解得x1，y0或x53y8.所以点 C 的坐标为(1，0)或53，8.答案：(1，0)或53，8 距离公式的运用(1)距离问题包含两点间的距离，点到直线的距离，两平行直线间的距离(2)牢记各类距离的公式并能直接应用，解决距离问题时，往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合对称问题 1和直线 3x4y50 关于 x 轴对称的直线方程为()A3x4y50B3x4y50C3x4y50D3x4y50【解析】选 A.设所求直线上的任一点为
8、(x，y)，则此点关于 x 轴对称的点的坐标为(x，y)，因为点(x，y)在直线 3x4y50 上，所以 3x4y50.2光线通过点 A(2，3)，在直线 l：xy10 上反射，反射光线经过点 B(1，1)，则反射光线所在直线的方程为_【解析】设点 A(2，3)关于直线 l 的对称点为 A(x0，y0)，则2x023y0210，y03x021.解之得，A(4，3).由于反射光线经过点 A(4，3)和 B(1，1)，所以反射光线所在直线的方程为 y1(x1)1314，即 4x5y10.答案：4x5y101点关于直线对称的点的求法点 N(x0，y0)关于直线 l：AxByC0 的对称点 M(x，y)，可由方程组yy0 xx0AB 1（AB0），Axx02Byy02C0求得2直线关于直线对称的直线的求法求直线 l1：A1xB1yC10 关于直线 l：AxByC0 对称的直线 l2 的方程的方法是转化为点关于直线对称，在 l1 上任取两点 P1 和 P2，求出 P1，P2 关于直线 l的对称点，再用两点式求出 l2 的方程