1、第九章 立体几何初步 专题探究课(四)立体几何初步中的高考热点问题常考热点真题印证核心素养空间点、线、面的位置关系与度量计算2018全国卷，T18(2)2018全国卷，T192017全国卷，T182017全国卷，T191.直观想象2.数学运算与折叠有关的几何问题2018全国卷，T182016全国卷，T191.逻辑推理2.直观想象立体几何初步中的探索开放问题2018全国卷，T192016全国卷，T182016北京卷，T181.逻辑推理2.直观想象3.数学运算热点1 空间点、线、面的位置关系与度量计算(高考VS教材)以空间几何体(主要是柱、锥或简单组合体)为载体，通过空间平行、垂直关系的论证命制，
2、主要考查公理4及线、面平行与垂直的判定定理与性质定理，常与平面图形的有关性质及体积的计算等知识交汇考查，考查学生的空间想象能力和推理论证能力以及转化与化归思想，一般以解答题的形式出现，难度中等【例1】(2017全国卷)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBC12AD，BADABC90.(1)证明：直线BC平面PAD；(2)若PCD的面积为2 7，求四棱锥P-ABCD的体积(1)证明：在平面ABCD中，因为BADABC90，所以BCAD.又BC平面PAD，AD平面PAD，所以直线BC平面PAD.(2)解：如图，取AD的中点M，连接PM，CM.由ABBC 1
3、2 AD及BCAD，ABC90得四边形ABCM为正方形，则CMAD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PMAD，PM底面ABCD.因为CM底面ABCD，所以PMCM.设BCx，则CMx，CD 2x，PM 3x，PCPD2x，如图，取CD的中点N，连接PN，则PNCD，所以PN 142 x.因为PCD的面积为2 7，所以12 2x 142 x2 7.解得x2(舍去)或x2.于是ABBC2，AD4，PM2 3.所以四棱锥P-ABCD的体积V132（24）22 34 3.真题溯源 1.考题源于教材必修2P74页习题2.3B组T2，T4及P62页习题T3.
4、将教材三棱锥改成以四棱锥为载体，考查空间平行与垂直，在问题(1)和(2)的前提下设置求四棱锥的体积，在计算体积的过程中，考查面面垂直与线面垂直，可谓合二为一的精彩之作2考查将教材中多个问题整合，采取知识嫁接，添加数据，层层递进设置问题，匠心独运，考查源于教材高于教材变式训练(2019茂名模拟)如图，在三棱锥P-ABC中，PAAC，PCBC，M为PB的中点，D为AB的中点，且AMB为正三角形(1)求证：BC平面PAC；(2)若PA2BC，三棱锥P-ABC的体积为1，求点B到平面DCM的距离(1)证明：在正三角形AMB中，D是AB的中点，所以MDAB.因为M是PB的中点，D是AB的中点，所以MDP
5、A，故PAAB.又PAAC，ABACA，AB，AC平面ABC，所以PA平面ABC.因为BC平面ABC，所以PABC.又PCBC，PAPCP，PA，PC平面PAC，所以BC平面PAC.(2)解：设ABx，则MD 32 x，PA 3x，由PA2BC，得BC 32 x，由(1)可知BC平面PAC，又AC平面PAC，所以BCAC，所以AC12x，由三棱锥P-ABC的体积为V13SABC PA18x31，得x2.因为AMB为正三角形，所以ABMB2.因为BC 3，BCAC，AC1.所以SBCD12SABC1212BCAC1212 31 34.因为MD 3，由(1)知MDPA，PA平面ABC，所以MD平面
6、ABC，因为DC平面ABC，所以MDDC.在ABC中，CD12AB1，设点B到平面DCM的距离为h，因为VM-BCDVB-MCD，所以13SBCDMD13SMCDh，即13 34 313 32 h，所以h 32.即点B到平面DCM的距离为 32.热点2 与折叠有关的几何问题先将平面图形折叠成空间几何体，再以其为载体研究其中的线、面间的位置关系与计算有关的几何量是近几年高考考查立体几何的一类重要考向，它很好地将平面图形拓展成空间图形，同时也为空间立体图形向平面图形转化提供了具体形象的途径，是高考深层次上考查空间想象能力的主要方向【例2】(2018全国卷)如图，在平行四边形ABCM中，ABAC3，
7、ACM90.以AC为折痕将ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA.(1)证明：平面ACD平面ABC；(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BPDQ23DA，求三棱锥Q-ABP的体积(1)证明：由已知可得，BAC90，BAAC.又BAAD，所以AB平面ACD.又AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC.(2)解：由已知可得，DCCMAB3，DA3 2.又BPDQ23DA，所以BP2 2.作QEAC，垂足为E，则QE 13DC.由已知及(1)可得DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE1.因此，三棱锥Q-ABP的体积为VQ-ABP 13 SABPQE131232 2sin 4511
8、.1(1)利用平行关系将ACM90转化为BAC90是求证第(1)问的关键；(2)利用翻折的性质将ACM90转化为ACD90，进而利用面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理得出三棱锥Q-ABP的高是求解第(2)问的关键2平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化变式训练(2019惠州质检)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且DGGHBRRH.将AED，CFD，BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重
9、合于点P，如图2所示图1 图2(1)求证：GR平面PEF；(2)若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P-DEF的内切球的半径(1)证明：在正方形ABCD中，A，B，C为直角所以在三棱锥P-DEF中，PE，PF，PD两两垂直又PEPFP，所以PD平面PEF.因为DGGHBRRH，即DGGHPRRH，所以在PDH中，RGPD.所以GR平面PEF.(2)解：若正方形 ABCD 的边长为 4.由题意知，PEPF2，PD4，EF2 2，DF2 5，所以 SPEF2，SDPFSDPE4.SDEF122 2（2 5）2（2）26.设三棱锥 P-DEF 内切球的半径为 r，则三棱锥的体积为VP-DEF13PD
10、SPEF13(SPEF2SDPFSDEF)r，解得r12.所以三棱锥P-DEF的内切球的半径为12.热点3 立体几何初步中的探索开放问题高考中立体几何初步中的开放性试题主要涉及线面平行或垂直位置关系的探索，是高考命题的热点主要求解方式有两种：一是根据条件作出判断，再进一步论证；二是假设存在，进行推理计算，进一步判断条件是否具备【例3】(2018全国卷)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M是CD 上异于C，D的点(1)证明：平面AMD平面BMC.(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC平面PBD？说明理由(1)证明：由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD.因为BCCD，
11、BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM.因为M为CD 上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM.又BCCMC，所以DM平面BMC.而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.(2)解：当P为AM的中点时，MC平面PBD.证明如下：连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形，所以O为AC中点连接OP，因为P为AM中点，所以MCOP.MC平面PBD，OP平面BPD，所以MC平面PBD.1在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线，而线线平行是平行关系的根本2第(2)问是探索开放性问题，采用了先猜后证，即先观察与尝试给出条件再加以证
12、明，对于命题结论的探索，常从条件出发，探索出要求的结论是什么，对于探索结论是否存在，求解时常假设结论存在，再寻找与条件相容或者矛盾的结论变式训练(2019秦皇岛模拟)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD底面ABCD，且E，F分别为PC，BD的中点(1)求证：EF平面PAD；(2)在线段CD上是否存在一点G，使得平面EFG平面PDC？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由(1)证明：如图所示，连接EF，AC，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，且点F为对角线BD的中点所以对角线AC经过点F，又在PAC中，点E为PC的中点，所以EF为PAC的中位线，所以EFPA，又PA平面PAD，EF平面PAD，所以EF平面PAD.(2)解：存在满足要求的点G.在线段CD上存在一点G为CD的中点，使得平面EFG平面PDC，因为底面ABCD是边长为a的正方形，所以CDAD.又侧面PAD底面ABCD，CD平面ABCD，侧面PAD平面ABCDAD，所以CD平面PAD.又EF平面PAD，所以CDEF.取CD中点G，连接FG、EG.因为F为BD中点，所以FGAD.又CDAD，所以FGCD，又FGEFF，所以CD平面EFG，又CD平面PDC，所以平面EFG平面PDC.