云南省云南师大附中2021届高三数学适应性月考卷（一）理（含解析）.doc

1、云南省云南师大附中2021届高三数学适应性月考卷（一）理（含解析）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据集合中元素的特征，直接得出结果.【详解】因

2、为集合为数集，为点集，所以两集合没有共同元素，则.故选：C.【点睛】本题主要考查求集合的交集，属于基础题型.2. 在复平面内，复数(为复数单位)对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限.D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】先根据复数除法运算化简出，即可得出对应点象限.【详解】,对应的点在第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.3. 若随机变量， 则（ ）A. 0.6B. 0.4C. 0.3D. 0.8【答案】A【解析】【分析】由随机变量，得到正态曲线的对称轴，结合正态分布曲线的对称性，即可求解.【详解】由题意，随机变量，可得正态曲线的对称轴，所以.

3、故选: A【点睛】本题主要考查了正态分布的概率的计算，其中解答中熟记正态分布曲线的对称性是解答的关键，属于基础题.4. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式，以及同角三角函数基本关系，将所求式子化为，即可得出结果.【详解】因为，所以，故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，熟记同角三角函数基本关系以及诱导公式即可，涉及二倍角的余弦公式，属于基础题型.5. 电影达.芬奇密码中，有这样一个情节:故事女主人公的祖父雅克.索尼埃为了告诉孙女一个惊天的秘密又不被他人所知，就留下了一串奇异的数字13-3-2-21-1-1-8-5，将这串数字从小到大排列，就成

4、为1-1-2-3-5-8-13-21， 其特点是从第3个数字起，任何一个数字都是前面两个数字的和，它来自斐波那契数列，斐波那契数列与黄金分割有紧密的联系，苹果公司的logo(如图乙和丙)就是利用半径成斐波那契数列(1，1，2，3，5，8，13)的圆切割而成，在图甲的矩形ABCD中，任取一点，则该点落在阴影部分的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据图甲，分别求出阴影部分的面积，以及整个长方形的面积，面积比即为所求概率.【详解】由题意，阴影部分包括半径为和半径为的两个圆，面积分别为和，而整个长方形的宽为，长为，所以该点落在阴影部分的概率是.故选：A【点睛】本题主要考查

5、与面积有关的几何概型，属于基础题型.6. 双曲线 的右焦点为，且点F到双曲线C的一条渐近线的距离为1，则双曲线C的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由题意，得到，渐近线方程为，根据点到直线距离公式，求出，得出，即可求出离心率.【详解】因为双曲线的右焦点为，即，双曲线的渐近线方程为；又点F到双曲线C的一条渐近线的距离为1，所以，即，所以，则，因此.故选：B【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于基础题型.7. 如图，在中， ， ， ，点是边上靠近的三等分点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将用，表示出来，然后平

6、方，结合向量的数量积运算即可求出.【详解】由题意，.所以，故选：A.【点睛】本题考查平面向量的线性运算以及数量积运算，是基础题.8. 在正项等比数列中，前三项的和为7，若存在使得，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出数列的公比，再由可得，再利用基本不等式可求解.【详解】设等比数列的公比为，前三项和为7，则，即，解得或(舍去)，又由，得，即，得，所以 ，当且仅当，时，等号成立，但是m，故，时，最小值为.故选:D【点睛】本题考查等比数列的性质和基本不等式的综合应用，属于基础题.9. 如图，某几何体的三视图均为边长为2的正方形，则该几何体的体积是（ ）A. B.

7、 C. 1D. 【答案】D【解析】【分析】先由三视图还原几何体，得到该几何体的体积为正方体的体积减去2个三棱锥的体积，进而可求出结果.【详解】由题意三视图对应的几何体如图所示，所以该几何体的体积为正方体的体积减去2个三棱锥的体积，即，故选：D【点睛】本题主要考查由三视图求几何体的体积，熟记几何体的结构特征即可，属于基础题型.10. 已知函数，则（ ）A. 2019B. 2020C. 4038D. 4040【答案】C【解析】【分析】先由题意，得到，令，得到其为奇函数，推出关于成中心对称，进而可得出结果.【详解】，令，则，所以为奇函数，所以关于坐标原点对称，则关于成中心对称，则有，所以.故选：C【

8、点睛】本题主要考查通过构造奇函数求函数值，熟记奇函数的性质即可，属于常考题型.11. 设动直线x=t与曲线以及曲线分别交于P，Q两点，表示的最小值，则下列描述正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据条件将表示为函数的形式，然后利用导数研究对应函数的单调性并分析的取值范围.【详解】根据条件可知，所以，不妨令，则，又因为，所以存在，使得，所以在上递减，在上递增，所以在处取得最小值，且，根据对勾函数的单调性可知：在上单调递减，所以，所以有，故选：B【点睛】本题考查利用导数解决函数的最值问题，对学生的转化与化归能力要求较高，其中对于极值点范围的分析是一个重点，难度较难.12

9、. 过抛物线的焦点作抛物线的弦与抛物线交于、两点，为的中点，分别过、两点作抛物线的切线、相交于点.又常被称作阿基米德三角形.下面关于的描述：点必在抛物线的准线上；设、，则的面积的最小值为；平行于轴.其中正确的个数是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】作出图形，设点、，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，求出直线、的方程，求出点的坐标，可判断的正误；利用直线、斜率的关系可判断的正误；计算出的面积的表达式，可判断的正误；利用直线、的斜率关系可判断的正误；求出直线的斜率，可判断的正误.综合可得出结论.【详解】先证明出抛物线在其上一点处的切线方程为.证明如下

10、：由于点在抛物线上，则，联立，可得，即，所以，抛物线在其上一点处的切线方程为.如下图所示：设、，设直线的方程为，联立，消去得，由韦达定理可得，对于命题，抛物线在点处的切线方程为，即，同理可知，抛物线在点处的切线方程为，联立，解得，所以点的横坐标为，即点在抛物线的准线上，正确；对于命题，直线斜率为，直线的斜率为，所以，正确；对于命题，当垂直于轴时，由抛物线的对称性可知，点为抛物线的准线与轴的交点，此时；当不与轴垂直时，直线的斜率为，直线的斜率为，则.综上，正确；对于命题，所以，当且仅当时，等号成立，错误；对于命题，当垂直于轴时，由抛物线的对称性可知，点为抛物线的准线与轴的交点，此时直线与轴重合，

11、错误.故选：B.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，考查了抛物线的焦点弦的几何性质以及韦达定理法的应用，考查计算能力，属于中等题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 设实数，满足，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】画出不等式所表示的平面区域，根据目标函数的几何意义，结合图形，即可得出结果.【详解】画出所表示的平面区域如下，由得，则表示直线在轴上的截距；由图像可得，当直线过点时，在轴上的截距最小；由得，因此.故答案为：.【点睛】本题主要考查求线性规划的最值，利用数形结合的方法求解即可，属于常考题型.14. 在的展开式中，则的系数为_【答案】10206【解析】【分析】先求出

12、的展开式的通项公式，令的指数为，即可求出系数.【详解】的展开式的通项公式，令，解得，所以的系数为10206故答案为：10206.【点睛】本题考查二项式展开式指定项的系数的求法，属于基础题.15. 已知P是直线l: 上一动点，过点P作圆C:的两条切线，切点分别为A、B.则四边形PACB面积的最小值为_.【答案】2【解析】【分析】由圆的方程为求得圆心、半径r为，由“若四边形面积最小，则圆心与点的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长，最小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解【详解】由题意得：圆的方程为：圆心为，半径为2，又四边形PACB的面积，所以当PC最小时，四边形PACB面积最

13、小将代入点到直线的距离公式，故四边形PACB面积的最小值为2故答案为：2【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，同时，还考查了转化思想此题属中档题16. 已知有两个半径为的球记为、，两个半径为的球记为、这四个球彼此相外切，现有一个球与这四个球、都相内切，则球的半径为_.【答案】【解析】【分析】设的中点为，的中点为，推导出球心在上，设球的半径为，根据勾股定理列方程解出即可.【详解】由题意可得，取的中点，的中点，连接、，则，又，平面，同理可证平面，又因为平面平面，所以，球心在线段上，设球的半径为，则，即，解得.故答案为：.【点睛】本题考查球半径的求解，确定球心的

14、位置是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 （1）求角C；（2）若， 且，求ABC的面积.【答案】（1）；（2）或.【解析】分析】（1）由正弦定理将角化为边，再根据余弦定理可求出，继而得出角C；（2）根据条件可得，分和两种情况讨论可求出面积.【详解】（1）已知，由正弦定理，整理得，由余弦定理：，又，所以（2）已知，整理得，即当时，为直角三角形，,；当时，所以，为等边三角形，,的面积为或【点睛】本题考查正余弦定理的应用以及三角恒等变换解三角形，考查三角形面积的求

15、解，属于中档题.18. 某市数学教研员为了解本市高二学生的数学学习情况，从全市高二学生中随机抽取了20名学生，对他们的某次市统测数学成绩进行统计，统计结果如图（1）求x的值和数学成绩在90分以上的人数；（2）用样本估计总体，把频率作为概率，从该市所有的中学生(人数很多)中随机选取4人，用表示所选4人中成绩在110以上的人数，试写出的分布列，并求出的数学期望【答案】（1）0.02；12；（2）分布列见解析，0.8.【解析】【分析】（1）根据频率之和为1，由频率分布直方图列出方程，即可求出，进而可求出数学成绩在90分以上的人数；（2）先得出从该市所有的中学生中任取一人，成绩在110以上的概率，由题

16、意，可得，进而可求出分布列和数学期望.【详解】（1）由题意，x的值为，数学成绩在90分以上的人数：（2）把频率作为概率，从该市所有的中学生中任取一人，成绩在110以上的概率，所以从该市所有的中学生（人数很多）中随机选取4人，所选4人中成绩在110以上的人数，随机变量的取值可能为0，1，2，3，4， ，随机变量的分布列01234P0.40960.40960.15360.02560.0016随机变量数学期望【点睛】本题主要考查由频率分布直方图求参数，考查求二项分布的分布列和期望，属于常考题型.19. 如图，在三棱柱中，平面，证明:平面平面；求二面角的正弦值.【答案】证明见解析；.【解析】【分析】利

17、用面面垂直的判定定理证明即可；建立空间直角坐标系，利用二面角的正弦值的求法及向量积的知识点得出结果.【详解】解：证明：如图，平面，平面，又，平面又平面，平面平面过点作平面的垂线作为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量，则有，即，令，设平面的法向量，则有，即，令，向量，所成角的余弦值：，二面角的正弦值为【点睛】本题考查面面垂直的判定，考查二面角正弦值的求法，考查分析问题能力，空间想象能力，属于中档题.20. 已知点P是椭圆C:上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，（1）求椭圆C的标准方程;（2）设直线l不经过P点且与椭圆C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜

18、率之和为1，问:直线l是否过定点?证明你的结论【答案】（1）；（2）直线l过定点证明见解析.【解析】【分析】（1）由椭圆定义可知，再代入P即可求出，写出椭圆方程；（2）设直线l的方程，联立椭圆方程，求出和之间的关系，即可求出定点.【详解】（1）由，得，又在椭圆上，代入椭圆方程有，解得，所以椭圆C的标准方程为（2）证明：当直线l的斜率不存在时，解得，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程，由，整理得，由，整理得，即当时，此时，直线l过P点，不符合题意；当时， 有解，此时直线l：过定点【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆中直线过定点问题，属于中档题.21. 已知函数且.（1）讨论函数

19、的单调性;（2）当时，若函数的图象与轴交于，两点，设线段中点的横坐标为，证明:.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先对函数求导，得到，分别讨论和两种情况，进而可得出函数单调性；（2）先由（1）得到，对其求导，判定时，单调递增；将转化为，设，且，将问题转化为证明；根据题意，得到，证明，令，根据导数的方法判定其单调性，即可得出，进而可得结论成立.【详解】（1）函数的定义域为，解得(舍去)，当时，在上恒成立，所以函数单调递增；当时，在上，函数单调递减，在上，函数单调递增综上，时，函数单调递增；时，在上单调递减；在上单调递增；（2）由（1）知，令，则，当时，恒成立，所以

20、单调递增，即单调递增；又，故要证，即证；设，且，由题设条件知，因此只需证；由题意，两式作差可得，即，即，下面先证明，即证，令，则显然成立，所以在上单调递增，则，所以，即，所以，因此，即，即因此，所以原命题得证.【点睛】本题主要考查判定函数的单调性，考查导数的方法证明不等式，属于常考题型.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程：（为参数），曲线的普通方程：，以原点为极点，轴的正

21、半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系.（1）分别求曲线、曲线的极坐标方程；（2）射线与曲线、曲线的交点分别为、（均异于点），求的面积.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）将曲线的参数方程化为普通方程，进行利用极坐标方程与普通方程之间的转换关系可将曲线、曲线的普通方程化为极坐标方程；（2）计算出以及点到直线距离，利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】（1）由曲线的参数方程（为参数），消参得曲线的直角坐标方程为，即，由，得曲线的极坐标方程为，即.曲线的极坐标方程为；（2）设点、的极坐标分别为、，点到直线的距离，所以.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的相互转化，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.【选修4-5：不等式选讲】23. （1）求函数的最大值m;（2）若a1，b1，c1，a+b+c=m，求的最小值.【答案】（1）4；（2）9.【解析】【分析】（1）根据绝对值不等式即可求出最大值；（2）利用柯西不等式可以求出.【详解】（1）由绝对值不等式，所以（2）由（1）知：，即，所以，由柯西不等式：，当且仅当，等号成立，的最小值为9【点睛】本题考查绝对值不等式和柯西不等式的应用，属于基础题.