1、第七章 数 列 第四节 数列求和最新考纲考情索引核心素养1.掌握等差、等比数列的前n项和公式2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法.2018全国卷，T17 2018全国卷，T172017全国卷，T17 2016全国卷，T172016全国卷，T171.数学运算2.逻辑推理1公式法(1)等差数列的前n项和公式：Snn（a1an）2na1_(2)等比数列的前n项和公式：Snna1，q1，a1anq1q _.n（n1）2da1（1qn）1q,q12分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解3裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵
2、消，从而求得其和4错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前 n 项和可用错位相减法求解5倒序相加法如果一个数列an的前 n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法求解6并项求和法一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如 an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.1裂项时常用的三种变形(1)1n（n1）1n 1n1.(2)1（2n1）（2n1）1212n112n1.(3)1
3、n n1 n1 n.2应用裂项相消法时，应注意消项的规律具有对称性，即前面剩第几项则后面剩倒数第几项3在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解1概念思辨判断下列说法的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若数列an为等比数列，且公比不等于 1，则其前n 项和 Sna1an11q.()(2)当 n2 时，1n21121n1 1n1.()(3)求 Sna2a23a3nan 之和时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可根据错位相减法求得()(4)如果数列an是周期为 k 的周期数列，那么 SkmmSk(m，k 为大于 1 的正整数)()答案：(1)
4、(2)(3)(4)2教材衍化(1)(人 A 必修 5P47B 组 T4 改编)数列an中，an1n（n1），若an的前 n 项和为2 0192 020，则项数 n 为()A2 018 B2 019 C2 020 D2 021(2)(人 A 必修 5P61A 组 T4(3)改编)12x3x2nxn1_(x0 且 x1)解析：(1)an1n（n1）1n 1n1，Sn11212131n 1n11 1n1 nn12 0192 020，所以 n2 019.(2)设 Sn12x3x2nxn1，则 xSnx2x23x3nxn，得(1x)Sn1xx2xn1nxn1xn1x nxn，所以 Sn1xn（1x）2
5、nxn1x.答案：(1)B(2)1xn（1x）2 nxn1x3典题体验(1)(2019东北三省四市模拟)已知数列an满足an1an2，a15，则|a1|a2|a6|()A9 B15 C18 D30(2)(2019邯郸模拟)已知数列an，bn的前 n 项和分别为 Sn，Tn，bnan2n1，且 SnTn2n1n22，则 2Tn_(3)(2019河北“五个一”名校联盟质检)若 f(x)f(1x)4，anf(0)f1n fn1nf(1)(nN*)，则数列an的通项公式为_解析：(1)由题意知an是以 2 为公差的等差数列，又a15，所以|a1|a2|a6|5|3|1|13553113518.(2)由
6、题意知 TnSnb1a1b2a2bnann2n12，又 SnTn2n1n22，所以 2TnTnSnSnTn2n2n(n1)4.(3)由 f(x)f(1x)4，可得 f(0)f(1)4，f1nfn1n4，所以 2an(f(0)f(1)f1n fn1n(f(1)f(0)4(n1)，即 an2(n1)答案：(1)C(2)2n2n(n1)4(3)an2(n1)考点 1 分组转化法求和(讲练互动)【例】(2019郴州质量检测)已知在等比数列an中，a11，且 a1，a2，a31 成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足 bn2n1an(nN*)，数列bn的前 n 项和为 Sn.解：(1
7、)设等比数列an的公比为 q，因为 a1，a2，a31 成等差数列，所以 2a2a1(a31)a3，所以 qa3a22，所以 ana1qn12n1(nN*)(2)由(1)知 bn2n1an2n12n1，所以 Sn(11)(32)(522)(2n12n1)135(2n1)(12222n1)1（2n1）2n12n12 n22n1.分组转化法求和的常见类型1若 anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，则可采用分组求和法求an的前 n 项和2通项公式为 anbn，n为奇数，cn，n为偶数的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和变式训练(2019南昌一模)已知等差数列an
8、的前 n 项和为 Sn，且 a11，S3S4S5.(1)求数列an的通项公式；(2)令 bn(1)n1an，求数列bn的前 2n 项和 T2n.解：(1)设等差数列an的公差为 d，由 S3S4S5 可得 a1a2a3a5，即 3a2a5，所以 3(1d)14d，解得 d2.所以 an1(n1)22n1.(2)由(1)可得 bn(1)n1(2n1)所以 T2n1357(2n3)(2n1)(2)n2n.考点 2 裂项相消法求和(讲练互动)【例】(2019石家庄一模)已知等差数列an中，2a2a3a520，且前 10 项和 S10100.(1)求数列an的通项公式；(2)若 bn1anan1，求数
9、列bn的前 n 项和解：(1)由已知得2a2a3a54a18d20，10a11092d10a145d100，解得a11，d2，所以数列an的通项公式为 an12(n1)2n1.(2)bn1（2n1）（2n1）1212n112n1，所以 Tn12113131512n112n112112n1 n2n1.利用裂项相消法求和的注意事项1抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；2将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等如：若an是等差数列，则1anan11d1an 1an1，1anan2 12d1an 1an2.变式训练(2019赣州信
10、丰中学高考适应性测试)已知数列an的前 n 项和 Sn，且 a28，Snan12 n1.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列23nanan1 的前 n 项和 Tn.解：(1)因为 a28，Snan12 n1，所以 a1S1a22 22，当 n2 时，anSnSn1an12 n1an2 n，即 an13an2，又 a283a12，所以 an13an2，nN*，所以 an113(an1)，所以数列an1是等比数列，且首项为 a113，公比为 3，所以 an133n13n，所以 an3n1.(2)23nanan123n（3n1）（3n11）13n113n11.所以数列23nanan1 的前 n
11、项和Tn 131132113211331 13n113n11 1213n11.考点 3 错位相减法求和(讲练互动)【例】(2019郴州二模)已知等差数列an满足：an1an(nN*)，a11，该数列的前三项分别加上 1，1，3后成等比数列，an2log2bn1.(1)分别求数列an，bn的通项公式；(2)求数列anbn的前 n 项和 Tn.解：(1)设等差数列an的公差为 d，则 d0，由 a11，a21d，a312d 分别加上 1，1，3，后成等比数列，得(2d)22(42d)，解得 d2(舍负)，所以 an1(n1)22n1，又因为 an2log2bn1，所以 log2bnn，则 bn 1
12、2n.(2)由(1)知 anbn(2n1)12n，则 Tn 121 322 5232n12n，12Tn 122 323 5242n12n1，得12Tn122122 123 124 12n 2n12n1.所以12Tn122141 12n11122n12n1，所以 Tn12 22n12n12n342n12n332n2n.1错位相减法求和的适应范围如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前 n 项和时，可采用错位相减法求和2错位相减法求和的注意事项在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式在应用错位相减法求和时，若等比数列
13、的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解变式训练(2019 太 原 模 拟)已 知 数 列 an 的 前 n 项 和 Sn n（n1）2，数列bn满足 bnanan1(nN*)(1)求数列bn的通项公式；(2)若 cn2an(bn1)(nN*)，求数列cn的前 n 项和 Tn.解：(1)当 n1 时，a1S11，当 n2 时，anSnSn1n，当 n1 时，a11，符合上式，所以 ann(nN*)，所以 bnanan12n1.(2)由(1)得 ann，bn2n1，所以 cn2an(bn1)n2n1，所以 Tn122223324n2n1，2Tn123224325n2n2，得Tn22232n1n2n2(1n)2n24，所以 Tn(n1)2n24.