1、2012年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（文史类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1、计算： （为虚数单位）【解析】复数。【答案】2、若集合，则 【解析】集合，所以，即。【答案】3、函数的最小正周期是 【解析】函数，周期，即函数的周期为。【答案】4、若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）【解析】因为直线的方向向量为，即直线的斜率，即，所以直线的倾斜角。【答案】5、一个高为2的圆柱，底面周长为，该圆柱的表面积为 【解析】底面圆的周长，所以圆柱的底面半径，所以圆柱的侧面积为两个底面积为。，所以圆柱的表面积为。【答案】6、方程的解是 【解析】原方
2、程可化为，解得，或（舍去），。【答案】。7、有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则 【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，为公比的等比数列，+=，。【答案】。8、在的二项式展开式中，常数项等于 【解析】=，令=0，得r=3。故常数项为=20.【答案】20.9、已知是奇函数，若且，则 【解析】由，得，所以。【答案】310、满足约束条件的目标函数的最小值是 【解析】作出约束条件表示的平面区域可知，当，时，目标函数取最小值，为2.【答案】2.11、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 （结果
3、用最简分数表示）【解析】三位同学从三个项目选其中两个项目有中，若有且仅有两人选择的项目完成相同，则有，所以有且仅有两人选择的项目完成相同的概率为。【答案】.12、在矩形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 【解析】设=（01），则=,=，则=+,又=0，=，01，14，即的取值范围是1,4.【答案】1,4.13、已知函数的图像是折线段，其中、，函数（）的图像与轴围成的图形的面积为 【解析】，围成的面积=+=。【答案】。14、已知，各项均为正数的数列满足，若，则的值是 【解析】由题意得，且0，易得=，+=+=。【答案】。二、选择题（本大题共有4题，满分20分）1
4、5、若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）A、 B、 C、 D、【解析】因为是实系数方程的一个复数根，所以也是方程的根，则，所以解得，选D.【答案】D16、对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（ ）A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件【解析】0，或。方程=1表示的曲线是椭圆，则一定有故“0”是“方程=1表示的是椭圆”的必要不充分条件。【答案】B.17、在中，若，则的形状是（ ）A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定 【解析】根据正弦定理可知由,可知，在三角形中，所以为钝角，三角形为钝角三角形，选A.【答案】A18、若（
5、），则在中，正数的个数是（ ）A、16 B、72 C、86 D、100【解析】由题意可知，=0，共14个，其余均为正数，故共有100-14=86个正数。【答案】C三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19、（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分如图，在三棱锥中，底面，是的中点，已知，求：（1）三棱锥的体积（2）异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示） 20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知（1）若，求的取值范围（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，求函数（）的反函数21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第
6、1小题满分6分，第2小题满分8分海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里处，如图，现假设：失事船的移动路径可视为抛物线；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为（1）当时，写出失事船所在位置的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？ 22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分在平面直角坐标系中，已知双曲线（1）设是的左焦点，是右支上一点，若，求点的坐标；（2）过的左焦点作的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（3）设斜率为（）的直线交于、两点，若与圆相切，求证：23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分对于项数为的有穷数列，记（），即为中的最大值，并称数列是的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的（2）设是的控制数列，满足（为常数，），求证：（）（3）设，常数，若，是的控制数列，求