1、第一章 集合与常用逻辑用语 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词最新考纲考情索引核心素养1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义2.理解全称量词与存在量词的意义3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.2017山东卷，T51.逻辑推理2.数学运算1简单的逻辑联结词(1)命题中的“_”“_”“_”叫做逻辑联结词(2)命题 pq，pq，p 的真假判断且或非pqpqpqp真真_真_真假_假假真假_假假_假_真假假真真真假真2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“_”表示(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫
2、做存在量词，用符号“_”表示3全称命题和特称命题名称形式 全称命题特称命题结构对 M 中的任意一个x，有 p(x)成立存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)成立简记 _ _否定x0M，p(x0)_，p(x)xM，p(x)x0M，p(x0)xM1含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：pq见真即真，pq见假即假，p 与p真假相反2含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”3“pq”的否定是“(p)(q)”，“pq”的否定是“(p)(q)”1概念思辨判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)命题“56 或 52”是假命题.()(2)命题(pq)是假命题，则命题 p，q 中至少有一个是
3、真命题()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题()(4)x0M，p(x0)与xM，p(x)的真假性相反()解析：(1)错误命题 pq 中，p，q 有一真则真(2)错误pq 是真命题，则 p，q 都是真命题(3)错误命题“长方形的对角线相等”是全称命题答案：(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(人 A 选修 11P26A 组 T3 改编)命题“xR，x2x0”的否定是()Ax0R，x20 x00 Bx0R，x20 x00CxR，x2x0 DxR，x2x0 DxR，2x0(2)(2017山东卷)已知命题 p：x0，ln(x1)0；命题 q：若 ab，则 a2b2.下列命题为真命题的是()Ap
4、qBpqCpqDpq(3)(2019石家庄一模)已知命题 p：nN，n22n，则p 为_解析：(1)当 x10 时，lg 101，则 A 为真命题；当x0 时，sin 00，则 B 为真命题；当 x0 时，x30，则 D为真命题(2)因为 x0，所以 x11，所以 ln(x1)ln 10.所以命题 p 为真命题，所以p 为假命题因为 ab，取 a1，b2，而 121，(2)24，此时 a2b2，所以命题 q 为假命题，所以q 为真命题所以 pq 为假命题，pq 为真命题，pq 为假命题，pq 为假命题故选 B.(3)由全称命题的否定为特称命题，得p 为n0N，n202n0.答案：(1)C(2)
5、B(3)n0N，n202n0考点 1 含有逻辑联结词的命题的真假判断(自主演练)【例 1】(2019济南模拟)若命题“p 或 q”与命题“非p”都是真命题，则()A命题 p 与命题 q 都是真命题B命题 p 与命题 q 都是假命题C命题 p 是真命题，命题 q 是假命题D命题 p 是假命题，命题 q 是真命题解析：因为非 p 为真命题，所以 p 为假命题，又 p或 q 为真命题，所以 q 为真命题答案：D【例 2】设命题 p：函数 ysin 2x 的最小正周期为2；命题 q：函数 ycos x 的图象关于直线 x2对称则下列判断正确的是()Ap 为真Bp 为假Cpq 为假Dpq 为真解析：函数
6、 ysin 2x 的最小正周期为22，故命题p 为假命题；x2不是 ycos x 的对称轴，故命题 q 为假命题，故 pq 为假答案：C【例 3】(2019太原模拟)已知命题 p：x0R，x20 x010；命题 q：若 a1b，则下列命题中为真命题的是()ApqBp(q)C(p)qD(p)(q)解析：因为 x2x1x12234340，所以x0R，使 x20 x010 成立，故 p 为真命题，p 为假命题又易知命题 q 为假命题，所以q 为真命题，由复合命题真假判断的真值表知 p(q)为真命题答案：B【例 4】设 a，b，c 是非零向量已知命题 p：若ab0，bc0，则 ac0；命题 q：若 a
7、b，bc，则ac.则下列命题中真命题是()ApqBpqC(p)(q)Dp(q)解析：取 ac(1，0)，b(0，1)，显然 ab0，bc0，但 ac10，所以 p 是假命题又 a，b，c 是非零向量，由 ab 知 axb，由 bc 知 by c，所以 axy c，所以 ac，所以 q 是真命题综上知 pq 是真命题，pq 是假命题又因为p 为真命题，q 为假命题，所以(p)(q)，p(q)都是假命题答案：A1“pq”“pq”“p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题 p，q 的真假；(3)确定“pq”“pq”“
8、p”形式命题的真假2p 且 q 形式是“一假必假，全真才真”，p 或 q 形式是“一真必真，全假才假”，非 p 则是“与 p 的真假相反”考点 2 全称量词与存在量词(多维探究)角度 含有量词命题的否定【例 1】“xR，x2x0”的否定是()AxR，x2x0BxR，x2x0CxR，x20 x00Dx0R，x20 x00解析：全称命题的否定是特称命题，所以“xR，x2x0”的否定是“x0R，x20 x00”答案：D角度 全称命题与特称命题的真假判断【例 2】(2019江西师范大学附属中学月考)已知定义域为 R 的函数 f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是()AxR，f(x)f(x)Bx
9、R，f(x)f(x)Cx0R，f(x0)f(x0)Dx0R，f(x0)f(x0)解析：因为定义域为 R 的函数 f(x)不是偶函数，所以xR，f(x)f(x)为假命题，所以x0R，f(x0)f(x0)为真命题答案：C【例 3】(2019广州综合测试)已知命题 p：xR，x2axa20(aR)，命题 q：x0N*，2x2010，则下列命题中为真命题的是()ApqBpqC(p)qD(p)(q)解析：对于命题 p，因为在方程 x2axa20 中，3a20，所以 x2axa20，故命题 p 为真命题；对于命题 q，由 2x2010 得 22 x0 22，因此不存在x0N*，使得 2x2010，故命题
10、q 为假命题，结合选项知只有 pq 为真命题，故选 B.答案：B1全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论2判定全称命题“xM，p(x)”是真命题，需要对集合 M 中的每一个元素 x，证明 p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个 xx0，使 p(x0)成立变式训练1(2019河北五个一名校联考)已知命题“x0R，1f(x0)2”的否定形式是()AxR，1f(x)2BxR，12DxR，f(x)1 或 f(x)2解析：根据特
11、称命题的否定是全称命题可知原命题的否定形式为“xR，f(x)1 或 f(x)2”答案：D2已知命题 p：x0(，0)，2x03x0；命题 q：x0，2，sin xx，则下列命题为真命题的是()ApqBp(q)C(p)qDp(q)解析：因为当 x1，即 2x3x，所以命题 p为假命题，从而p 为真命题；因为当 x0，2 时，xsin x，所以命题 q 为真命题，所以(p)q 为真命题答案：C考点 3 由命题的真假求参数的取值范围(典例迁移)【例 1】(2019衡水金卷调研卷)已知命题 P：xR，log2(x2xa)0 恒成立，命题 Q：x02，2，2a2x0，若命题 PQ 为真命题，则实数 a
12、的取值范围为_解析：当 P 为真命题时，x2xa1 恒成立所以 14(a1)54.当 Q 为假命题时，Q 为真命题，即x2，2，2a2x，所以 a2，又命题 PQ 为真命题，所以命题 P，Q 都为真命题，则a54，a2，即54a2.故实数 a 的取值范围是54，2.答案：54，2【例 2】(经典母题)已知 f(x)ln(x21)，g(x)12xm，若对x10，3，x21，2，使得 f(x1)g(x2)，则实数 m 的取值范围是_解析：当 x0，3时，f(x)minf(0)0，当 x1，2时，g(x)ming(2)14m，由 f(x)ming(x)min，得 014m，所以 m14.答案：14，
13、迁移探究 例 2 中，若将“x21，2”改为“x21，2”，其他条件不变，则实数 m 的取值范围是_解析：当 x1，2时，g(x)maxg(1)12m，由 f(x)ming(x)max，得 012m，所以 m12.答案：12，1由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围2全称命题可转化为恒成立问题含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决核心素养欣赏 逻辑推理突破双变量“任意性或存在性”问题1形如“对任意 x1A，都存在 x2B，使得 g(x2)f(x1)成立”【例 1】已知函数
14、 f(x)x3(1a)x2a(a2)x，g(x)196 x13，若对任意 x11，1，总存在 x20，2，使得 f(x1)2ax1g(x2)成立，求实数 a 的取值范围解：由题意知，g(x)在0，2上的值域为13，6.令 h(x)f(x)2ax3x22xa(a2)，则 h(x)6x2，由 h(x)0 得 x13.当 x1，13 时，h(x)0.所以 h(x)minh13 a22a13.又由题意可知，h(x)的值域是13，6 的子集，则h（1）6，a22a1313，h（1）6.解得2a0，所以实数 a 的取值范围是2，0理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是等价转化，
15、即“函数 f(x)的值域是 g(x)的值域的子集”，从而利用包含关系构建关于 a的不等式组，求得参数的取值范围2形如“存在 x1A 及 x2B，使得 f(x1)g(x2)成立”【例 2】已知函数 f(x)2x2x1，x12，1，13x16，x0，12.函数 g(x)ksin x6 2k2(k0)，若存在 x10，1及x20，1，使得 f(x1)g(x2)成立，求实数 k 的取值范围解：由题意，易得函数 f(x)的值域为0，1，g(x)的值域为22k，23k2，并且两个值域有公共部分先求没有公共部分的情况，即 22k1 或 232k0，解得 k43，所以要使两个值域有公共部分，k 的取值范围是1
16、2，43.1该问题的实质是“两函数 f(x)与 g(x)的值域的交集不是空集”，上述解法的关键是利用了补集思想2若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”，则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和 g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围3形如“对任意 x1A，都存在 x2B，使得 f(x1)g(x2)成立”【例 3】已知函数 f(x)x4x，函数 g(x)2xa，若x112，1，x22，3，使得 f(x1)g(x2)，则实数a 的取值范围是_解析：依题意知 f(x)maxg(x)max.因为 f(x)x4x在12，1 上是减函数，所以 f(x)maxf12 172.又 g(x)2xa 在2，3上是增函数，所以 g(x)maxg(3)8a，因此172 8a，则 a12.答案：12，理解量词的含义，将原不等式转化为 f(x)maxg(x)max，利用函数的单调性，求 f(x)与 g(x)的最大值，得到关于 a 的不等式求得 a 的取值范围