1、第六章万有引力与航天目标定位 1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用.2.理解“计算天体质量”的基本思路.3.掌握运用万有引力定律和圆周运动知识分析天体运动问题的思路.学案4 万有引力理论的成就知识探究 自我检测 知识探究 一、“称量”地球质量 问题设计 1.卡文迪许在实验室测量出了引力常量G的值，他自称是可以称量地球质量的人，他“称量”的依据是什么？答案 若忽略地球自转的影响，在地球表面上质量为 m 的物体所受的重力 mg 等于地球对物体的引力，即 mgGMmR2，所以有 MgR2G，只要测出 G，便可“称量”地球的质量.2.设地面附近的重力加速度g9.8 m/s2，地球半径R6.4106
2、 m，引力常量G6.671011 Nm2/kg2，试估算地球的质量.答案 MgR2G 9.86.410626.671011kg6.01024 kg要点提炼 1.地球质量的计算 在地面上，忽略地球自转的影响，由 mgGMmR2 可以求得地球的质量：M .2.其他星球质量的计算 若已知天体的半径R和天体表面的重力加速度g，与地球质量的计算方法类似，即可计算出此天体的质量M.gR2GgR2G二、计算天体的质量和密度 问题设计 1.由天文观察知，某行星绕太阳运行的轨道半径为r，运行周期为T，则太阳的质量多大？答案 由GMmr2 42T2 mr 知 M42r3GT2.2.已知天体的质量和半径，如何得到天
3、体的平均密度？答案 M43R3 3M4R3.要点提炼 分析围绕该天体运动的行星(或卫星)，测出行星(或卫星)的运行周期和轨道半径，由万有引力提供向心力即可求中心天体的质量.由GMmr2 m42T2 r，得 M .1.计算天体质量的方法 42r3GT2根据密度的公式 M43R3，只要先求出天体的质量就可以代入此式计算天体的密度.2.天体密度的计算方法 由 mgGMmR2 和 M43R3，得 .(1)由天体表面的重力加速度g和半径R，求此天体的密度.3g4GR(2)若天体的某个行星(或卫星)的轨道半径为 r，运行周期为T，中心天体的半径为 R，则由 GMmr2 mr42T2 和 M43R3，得 .
4、3r3GT2R3注意 R、r 的意义不同，一般地 R 指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径，若绕近地轨道运行，则有 Rr，此时 3GT2.三、天体运动的分析与计算(1)GMmr2 manmv2r m2rm42T2 r(2)忽略自转时，mgGMmR2(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：gR2GM，该公式通常被称为“黄金代换式”.1.基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供.2.常用关系：(1)由 GMmr2 mv2r 得 vGMr，r 越大，v 越小.(2)由 GMmr2 m2r 得 GMr3，r 越大，越小.(3)由
5、GMmr2 m(2T)2r 得 T2r3GM，r 越大，T 越大.(4)由 GMmr2 man 得 anGMr2，r 越大，an 越小.3.四个重要结论：设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动.典例精析一、天体质量和密度的计算A.3g4RGB.3g4R2G C.gRGD.gRG2例1 地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，可估算地球的平均密度为()解析 忽略地球自转的影响，对处于地球表面的物体，有 mgGMmR2，又地球质量 MV43R3，代入上式化简可得地球的平均密度 3g4RG.A例2 假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星.若它贴近该天
6、体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知万有引力常量为G.(1)则该天体的密度是多少？解析 设卫星的质量为 m，天体的质量为 M，卫星贴近天体表面运动时有 GMmR2 m42T 21 R，M42R3GT 21根据数学知识可知天体的体积为 V43R3故该天体的密度为 MV42R3GT 21 43R3 3GT 21.答案 3GT 21(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？解析 卫星距天体表面距离为h时，忽略自转有 G MmRh2m42T 22(Rh)M42Rh3GT 22MV42Rh3GT 22 43R33Rh3GT 22 R3答案 3R
7、h3GT 22 R3二、天体运动的分析与计算例3 地球的两颗人造卫星质量之比m1m212，轨道半径之比r1r212.求：(1)线速度大小之比；解析 设地球的质量为M，两颗人造卫星的线速度分别为v1、v2，角速度分别为1、2，运行周期分别为T1、T2，向心力分别为F1、F2.根据万有引力和圆周运动规律 GmMr2 mv2r答案 见解析 得 vGMr，所以v1v2GMr1GMr2r2r121 21故二者线速度之比为 21.(2)角速度之比；解析 根据圆周运动规律 vr 得 vr所以12v1v2r2r12 21，故二者角速度之比为 2 21.答案 见解析(3)运行周期之比；解析 根据圆周运动规律 T
8、2，所以T1T221 12 2故二者运行周期之比为 12 2.答案 见解析(4)向心力大小之比.解析 根据万有引力充当向心力公式 FGmMr2所以F1F2m1m2r 22r 21 21故二者向心力之比为21.答案 见解析 例4 质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动.已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的()A.线速度 vGMRB.角速度 gRC.运行周期 T2RgD.向心加速度 aGmR2解析 探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，万有引力提供向心力，有 GMmR2 mamv2R m2Rm42T2
9、 R，可得 aGMR2，vGMR，GMR3，T2R3GM，所以 A 正确，D 错误；又由于不考虑月球自转的影响，则 GMmR2 mg，即 GMgR2，所以gR，T2Rg，所以 B 错误，C 正确.答案 AC 课堂要点小结 地球质量：由mgGMmR2 可得地球质量MgR2G地球重力加速度g与高度的关系在地球表面：gGMR2在离地面h处：g GMRh2 万有引力理论的成就 天体质量的计算：已知围绕中心天体运动的天体的物理 量，求中心天体的质量：M42r3GT2天体密度的计算：由GMmr2 mr42T2、V43R3 及MV得 3r3GT2R3.若为近地卫星则Rr，有 3GT2.发现未知天体万有引力理
10、论的成就自我检测 1 2 3 41.(天体质量的计算)已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有()A.月球的质量B.地球的质量 C.地球的半径D.地球的密度 解析 由天体运动的受力特点，得 GMmR2 m42T2 R，可得地球的质量 M42R3GT2.由于不知地球的半径，无法求地球的密度.故选 B.B1 2 3 42.(天体密度的计算)一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要()A.测定飞船的运行周期B.测定飞船的环绕半径 C.测定行星的体积D.测定飞船的运行速度 解析 取飞船为研究对象，由 GMmR
11、2 mR42T2 及 M43R3，A知 3GT2，A 对，故选 A.1 2 3 43.(天体运动分析)把太阳系各行星的运动近似看成匀速圆周运动，则离太阳越远的行星()A.周期越小B.线速度越小C.角速度越小D.加速度越小 解析 行星绕太阳做匀速圆周运动，所需的向心力由太阳对行星的引力提供，由 GMmr2 mv2r 得 vGMr，1 2 3 4可知r越大，线速度越小，B正确.由 GMmr2 m2r得 GMr3，可知r越大，角速度越小，C正确.又由 T2知，越小，周期T越大，A错.1 2 3 4由 GMmr2 ma 得 aGMr2，可知r越大，a越小，D正确.答案 BCD 1 2 3 44.(天体运动的分析与计算)据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形工作轨道距月球表面分别约为200 km和100 km，运行速度分别为v1和v2，那么，v1和v2的比值为(月球半径取1 700 km)()A.1918B.1918C.1819D.1819解析 由 GMmr2 mv2r，得 vGMr，则v1v2r2r11 7001001 7002001819，1 2 3 4故选项C正确.答案 C