1、大同市2022-2023年度高二期中测数学试题一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的1已知平面和平面的法向量分别为,则( )ABC与相交但不垂直D以上都不对2椭圆和具有( )A相同的离心率B相同的焦点C相同的顶点D相同的长、短轴3直线与圆相切,则的值是()A或12B2或C或D2或124已知点,若过点的直线与线段AB相交,则直线的斜率的取值范围是()ABC或D5在空间四边形OABC中,点在OA上,且,为BC中点,则()ABCD6设抛物线上的三个点,到该抛物线的焦点的距离分别为,若,的最大值为3,则的值为()AB2C3D7设和为双曲线的两个焦点
2、,若点,是等腰直角三角形的三个顶点,则双曲线的渐近线方程是()ABCD8鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥如图,在鳖臑中,平面,D,E分别是棱AB,PC的中点,点是线段DE的中点,则点到直线AC的距离是( )ABCD二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分9设,圆与圆的位置关系不可能是()A内切B相交C外切D外离10若方程所表示的曲线为,则下面四个命题错误的是()A若为椭圆,则B若为双曲线,则或C曲线可能是圆D若为椭圆,且长轴在轴上,则11若实数x,y满足,则()A的最大值为B的最小值为C的最大值
3、为D的最小值为12已知是椭圆上一点,椭圆的左、右焦点分别为,且,则()A的周长为12BC点到轴的距离为D三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13直线,的斜率,是关于的方程的两根,若,则_14已知,则等于_15已知双曲线被直线截得的弦AB,弦的中点为,则直线AB的斜率为_16如图,在梯形ABCD中,将沿对角线BD折起,设折起后点的位置为,并且平面平面BCD则下面四个命题中正确的是_(把正确命题的序号都填上);三棱锥的体积为;平面平面四、解答题:本题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)已知,为平面内的一个动点,且满足(1)求点的轨迹方程;(2)若直线为,
4、求直线被曲线截得的弦的长度18(12分)如图,在正方体中,为的中点(1)求证:平面ACE;(2)求直线AD与平面ACE所成角的正弦值19(12分)已知点,椭圆的离心率为,是椭圆的右焦点,直线AF的斜率为2,O为坐标原点(1)求E的方程;(2)设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点M、N,且,求的值20(12分)如图,在三棱锥中,侧面PAC是等边三角形,(1)证明:平面平面ABC;(2)若AC=2AB,则在棱PC上是否存在动点,使得平面MAB与平面ABC所成二面角的大小为4521(12分)已知抛物线上的一点到它的焦点的距离为(1)求的值;(2)过点作抛物线的切线,切点分别为P,Q,求证:直线P
5、Q过定点22(12分)已知双曲线的左、右焦点分别为,离心率为,且过点(1)求双曲线的方程;(2)过的两条相互垂直的直线分别交双曲线于点A,B和点C,D,M、N分别为AB、CD的中点,连接MN,过坐标原点作MN的垂线,垂足为,问:是否存在定点,使得为定值?若存在,求定点的坐标;若不存在,请说明理由数学参考答案一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的1B2A3D4D5B6C7C8B二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分9CD10AD11CD12BCD
6、三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13-21415116四、解答题:本题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)解:(1)由题意可设点的坐标为,由及两点间的距离公式可得,整理得(5分)(2)圆心到直线的距离,所以弦的长度(10分)18(12分)解:(1)证明:连接BD交AC于点,连接EF,则,平面,平面,平面ACE(6分)(2)以D为原点,、所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则,所以,设为平面ACE的法向量,所以即令,则,所以,所以,所以直线AD与平面ACE所成角的正弦值为(12分)19(12分)解:(1)由离
7、心率,得,直线AF的斜率为,解得,椭圆的方程为(4分)(2)答案设直线,则整理得,、是不同的两点,判别式,得,整理得,解得或(舍去),(12分)20(12分)解:(1)证明:取AC的中点,连接PO,BO,因为为等边三角形,所以,在中,有,又因为,所以,所以,即,又因为,所以平面ABC,又因为平面PAC,所以平面平面ABC(6分)(2)不妨设,在中,所以,在底面ABC内作于点,则OD,OC,OP两两垂直,以点为原点,OD所在的直线为轴,OC所在的直线为轴,OP所在的直线为轴,建立空间直角坐标系,如图所示:则,所以,设,则,设平面MAB的法向量为,所以,令,可得,所以,易知平面ABC的一个法向量为
8、,所以,整理可得,即,解得或(舍去)所以,所以当时,二面角的大小为45(12分)21(12分)解:(1)抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离,(2)证明:由题意得,过点的抛物线的切线的斜率存在,故可设切线方程为,代入得,直线与拋物线相切,得,即,代入并化简得,解得,设直线NP,NQ的斜率分别为,则,当时,直线PQ的方程为,整理得,即直线PQ过定点当时,直线PQ的方程为,过点综上可得,直线PQ过定点(12分)22(12分)解:(1)由题可知,所以双曲线的方程是(4分)(2)答案存在定点,使得为定值由题意可知,若直线AB和CD其中一条没有斜率,则点的坐标为,直线MN的方程为当直线AB和CD的斜率都存在时,因为点,所以设直线AB的方程为,则直线CD的方程为,设,联立得,所以,故,设,同理可得,故,所以,所以直线MN的方程为,化简得,可知直线MN过定点又,所以点的运动轨迹是以点为圆心,为直径的圆,所以存在定点,使得为定值(12分)