1、2.8 直线与圆锥曲线的位置关系关键能力合作学习类型一 直线与圆锥曲线的位置关系(逻辑推理)1设抛物线 y28x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是()A12，12B2，2C1，1 D4，4【解析】选 C.由已知，得直线 l 的方程为 yk(x2)，与抛物线方程联立方程组，整理得 ky28y16k0.当 k0 时，直线与抛物线有一个交点当 k0 时，由 6464k20，解得1k1，所以1k1，且 k0.综上得1k1.2已知双曲线 C：x2y24 1，过点 P(1，2)的直线 l，使 l 与 C 有且只有一个公共点，则满足上
2、述条件的直线 l 共有()A1 条B2 条C3 条D4 条【解析】选 B.因为双曲线的渐近线方程为 y2x，点 P 在一条渐近线上，又由于双曲线的顶点为(1，0)，所以过点 P 且与双曲线相切的切线只有一条过点 P 平行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条 3若椭圆x22 y2a2(a0)与连接两点 A(1，2)，B(3，4)的线段有公共点，则实数 a 的取值范围为_【解析】若椭圆x22 y2a2(a0)和连接两点 A(1，2)，B(3，4)的线段没有公共点，所以 A，B 都在椭圆内或 A，B 都在椭圆外，当点 A，B 都在椭圆内时，124a2，9216a2，9216
3、a2，解得 0a3 22.所以实数 a 的取值范围是0，3 22822，.所以当椭圆与线段 AB 有公共点时实数 a 的取值范围是3 22，822.答案：3 22，822 关于直线与圆锥曲线的交点个数判断(1)代数法：直线与圆锥曲线的方程联立、消元，如果得到的是一元二次方程，则利用 判断方程根的个数，即直线与圆锥曲线交点的个数；如果得到的是一元一次方程，则表示直线与双曲线的渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，此时直线与圆锥曲线有一个交点(2)几何法：一般适用直线与双曲线的位置关系，可以判断直线的斜率与渐近线斜率的大小，结合图象可以判断直线与双曲线的交点个数类型二 直线与圆锥曲线相切问题(逻
4、辑推理、数学运算)【典例】设点 M 是椭圆 C：x2a2 y2b2 1(ab0)上一动点，椭圆的长轴长为 4 3，离心率为 63.(1)求椭圆 C 的方程；(2)求点 M 到直线 l1：xy50 距离的最大值及此时点 M 的坐标【思路导引】(1)利用长轴长、离心率求 a，c，再求出 b.(2)利用与直线 l1 平行且与椭圆相切的直线求最大值【解析】(1)由题意可知 2a4 3，则 a2 3，离心率 eca 63，则 c2 2，b2a2c24，所以椭圆的标准方程为x212 y24 1.(2)由直线 l1 的方程与椭圆的方程可以设为，直线 l1 与椭圆不相交，设直线 m 平行于直线 l1，则直线
5、m 的方程可以设为 xyk0，由方程组xyk0，x212y24 1，消去 y，得 4x26kx3k2120，令方程的根的判别式 0，得 36k244(3k212)0，解方程得 k14 或 k24，由图可知，当 k4 时，直线 m 与椭圆的交点到直线 l1 的距离最远，此时直线 m的方程为 xy40，直线 m 与直线 l1 的距离 d|4（5）|12129 22，所以点 M 到直线 l1：xy50 距离的最大值为9 22.此时由方程 4x26kx3k2120，即 x26x90，解得 x3，所以 y1.故点 M 的坐标是()3，1.关于直线与圆锥曲线相切的问题(1)直线与圆锥曲线相切与直线与圆锥曲
6、线有一个交点不同，相切是当两个交点重合为一个交点时的情况，而相交于一个交点则是与渐近线、抛物线的对称轴平行时的情况；(2)利用直线与圆锥曲线相切可以求参数的范围、解决距离的最值问题等 设双曲线 的方程为 x2y24 1.设 l 是经过点 M(1，1)的直线，且和 有且仅有一个公共点，求 l 的方程【解析】(1)当直线 l 斜率不存在时，方程为 x1，显然与双曲线 相切，只有一个交点，符合题意，(2)当直线 l 的斜率存在且与双曲线 相切时，设斜率为 k，则直线 l 的方程为 y1k(x1)，即 ykxk1，联立方程ykxk1，x2y24 1，消去 y 得：(4k2)x22k(1k)x(1k)2
7、40，因为直线 l 和双曲线 有且仅有一个公共点，所以 4k2(1k)24(4k2)(1k)240，化简得：8032k0，所以 k52，所以直线 l 的方程为：y52 x32，即 5x2y30.(3)当直线 l 与双曲线 的渐近线平行时，也与双曲线 有且仅有一个公共点，因为双曲线 的渐近线方程为：y2x，所以直线 l 的斜率为2，所以直线 l 的方程为 y12(x1)或 y12(x1)，即 2xy10 或 2xy30，综上所述，直线 l 的方程为 x1 或 5x2y30 或 2xy10 或 2xy30.类型三 直线与圆锥曲线的弦长问题(逻辑推理)角度 1 求弦长 【典例】(2019全国卷)已知
8、抛物线 C：y23x 的焦点为 F，斜率为32 的直线 l与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P.(1)若|AF|BF|4，求 l 的方程(2)若AP 3PB，求|AB|.【解析】设直线 l：y32 xt，A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)由题设得 F34，0，故|AF|BF|x1x232，由题设可得 x1x252.由y32xt，y23x，可得 9x212(t1)x4t20，则 x1x212（t1）9.从而12（t1）952，得 t78.所以 l 的方程为 y32 x78.(2)由AP 3PB 可得 y13y2.由y32xt，y23x，可得 y22y2t0.所以 y1y22.
9、从而3y2y22，故 y21，y13.代入 C 的方程得 x13，x213.故|AB|4 133.角度 2 中点弦问题 【典例】已知 P(1，1)为椭圆x24 y22 1 内一定点，经过 P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为_【解析】方法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为 y1k(x1)，弦所在的直线与椭圆相交于 A，B 两点，A(x1，y1)，B(x2，y2).由y1k（x1），x24 y22 1，消去 y 得，(2k21)x24k(k1)x2(k22k1)0，所以 x1x24k（k1）2k21，又因为 x1x22，所以4k（k1）2k212，解得 k12.故
10、此弦所在的直线方程为 y112(x1)，即 x2y30.方法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为 k，弦所在的直线与椭圆相交于 A，B 两点，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x214 y212 1，x224 y222 1，得（x1x2）（x1x2）4（y1y2）（y1y2）20，因为 x1x22，y1y22，所以x1x22y1y20，所以 ky1y2x1x2 12，经检验 k12 满足题意所以此弦所在的直线方程为 y112(x1)，即 x2y30.答案：x2y30 本例若变为：椭圆与直线 xy10 相交于 A，B 两点，C 是 AB 的中点，若 AB2 2，OC的斜率为 22
11、，则椭圆的方程为_【解析】设椭圆的方程为 ax2by21(a0，b0，且 ab)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差得 a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0.而y1y2x1x2 1，y1y2x1x2 koc 22，代入上式可得 b 2 a.由|AB|1k2|x2x1|2|x2x1|2 2，其中 x1，x2 是方程(ab)x22bxb10 的两根，故22bab（）4b1ab 4，将 b 2 a 代入得 a13，所以 b 23.所以椭圆方程是x23 2y231.答案：x23 2y231 1直线与圆锥曲线相交时弦长的求法(1)定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，
12、利用圆锥曲线的定义可优化解题(客观题常用)(2)点距法：将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长(不常用)(3)弦长公式法：它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系(常用方法)2中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有 x1x2，y1y2，y1y2x1x2 三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率(2)根与系数的关系法：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解 1斜率为 1
13、的直线 l 与椭圆x24 y21 相交于 A，B 两点，则|AB|的最大值为()A2 B4 55 C4 105D8 105【解析】选 C.设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线 l 的方程为 yxt，由x24y24，yxt，消去 y，得 5x28tx4(t21)0，则 x1x285 t，x1x24（t21）5.所以|AB|1k2|x1x2|1k2 （x1x2）24x1x2 2 85t244（t21）54 25 5t2，当 t0 时，|AB|max4 105.2已知(4，2)是直线 l 被椭圆x236 y29 1 所截得的线段的中点，则 l 的方程是_【解析】设直线 l
14、 与椭圆相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2).则x2136 y219 1，且x2236 y229 1，两式相减得y1y2x1x2 x1x24（y1y2）.又 x1x28，y1y24，所以y1y2x1x2 12，故直线 l 的方程为 y212(x4)，即 x2y80.答案：x2y80 3已知点 Q 是抛物线 C1：y22px(p0)上异于坐标原点 O 的点，过点 Q 与抛物线 C2：y2x2 相切的两条直线分别交抛物线 C1 于点 A，B.若点 Q 的坐标为(1，6)，求直线 AB 的方程及弦 AB 的长【解析】由 Q(1，6)在抛物线 y22px 上，可得 p18，所以抛物线 C1 的方
15、程为 y236x.设抛物线 C2 的切线方程为 y6k(x1).联立y6k（x1），y2x2，消去 y，得 2x2kxk60，k28k48.由于直线与抛物线 C2 相切，故 0，解得 k4 或 k12.由y64（x1），y236x，得 A14，3；由y612（x1），y236x，得 B94，9.所以直线 AB 的方程为 12x2y90，弦 AB 的长为 2 37.课堂检测素养达标1直线 yba x3 与双曲线x2a2 y2b2 1 的交点个数是()A1 B2 C1 或 2 D0【解析】选 A.因为直线 yba x3 与双曲线的渐近线 yba x 平行，所以它与双曲线只有 1 个交点 2过抛物线
16、 y24x 的焦点作倾斜角为 135的弦 AB，则 AB 的长度是()A4 B4 2 C8 D8 2【解析】选 C.抛物线的焦点为(1，0)，则弦 AB 所在的直线方程为 yx1，代入抛物线方程，得 x26x10.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x26，x1x21，由弦长公式，得|AB|2（6241）8.3(教材练习改编)直线 ykx2 交抛物线 y28x 于 A，B 两点，若 AB 中点的横坐标为 2，则 k 等于()A2 或2 B1C2 D3【解析】选 C.由y28x，ykx2，得 k2x24(k2)x40，则4（k2）k24，解得 k2(k1 舍去).4已知直线 yb3 与椭圆x2a2 y2b2 1(ab0)交于 B，C 两点，且以 BC 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点 F，则该椭圆的离心率是_【解析】将 yb3 代入椭圆方程x2a2 y2b2 1(ab0).所以 x28a29，圆的半径为 r，则 r28a29，由题意可知，2b3（）c2r2，由 b2a2c2，代入整理得：7a28c2，所以 eca 144.答案：144
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