1、数学（理科）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合,则 （ ）A B C D2. 设i是虚数单位，则复数i3等于 （）A. i B. 3i C. i D. 3i3. 若向量,则 ( )A. (-2，-4) B. (2，4) C. ( 6, 10) D.( -6, -10)4. 斐波那契数列，又称数列，因列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“”，数列an满足a1a21，an2an1an，nN*，如果以an1和an分别为长和宽得到一个矩形，其长宽之比等于1.618时，就把这个矩形定义为黄金矩形，那么时，最接近黄
2、金矩形的n的值是 （ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 55. 已知，则的值为 ( )A. 2B. -2 C. D. 6. 将正方形（如图所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为 （ ） 7. 用列表法将函数表示如下，则 （ ） A.为奇函数 B.为偶函数 C.为奇函数 D.为偶函数 8. 已知函数（为自然对数的底），则的大致图象是 （ ） A B C D9. 设随机变量服从正态分布N(，2)，函数x24x没有零点的概率是，则等于 ( )A1 B2 C4 D不能确定10.已知定义在上的函数，设两曲线与在公共点处的切线相同，则值等于 （ ）A -3 B 1 C 3 D
3、 511. 已知双曲线（）的一条渐近线被圆截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为 ( )A. B. C. D. 12. 已知函数对任意的，满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是 （ ）A B C D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.若的展开式中第三项的系数等于6，则n= 14.已知函数，满足，则的最小值为 .15.若抛物线y22px（p0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是 16.在棱长为1的正方体中，在面中取一个点，使最小，则这个最小值为 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23
4、为选考题，考生根据要求作答17. 数列an的前n项和为Sn，且a1=1，n=1，2，3， 求：（1）a2，a3，a4的值及数列an的通项公式； （2）的值.18. 在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD60，PAPD. (1)证明：BCPB；(2)若PAPD，PBAB，求二面角APBC的余弦值19.“地摊经济”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号，某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据（），如表所示：试销单价（元）456789产品销量（件）8483807568已知，（1）试求q,若
5、变量，具有线性相关关系，求产品销量（件）关于试销单价（元）的线性回归方程；（2）用表示用（）中所求的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“好数据”现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数的分布列和数学期望。（参考公式：线性回归方程中，的最小二乘估计分别为，）20.已知椭圆E：(ab0)的离心率是，点P 在椭圆E上.（1）求椭圆E的方程；（2）过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q(xQ，yQ)(点Q异于点P)，若0xQ1，求直线l的斜率k的取值范围.21.已知函数.（1）判断函数的单调性；（2）求证： .选考题：共10分请考生在第2
6、2、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22.在直角坐标中，圆，圆.（1）在以O为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆的极坐标方程，并求出圆的交点坐标(用极坐标表示)；（2）求圆的公共弦的参数方程.23.（1）已知不等式的解集为，若，试比较与的大小.（并说明理由）；（2）已知对于任意非零实数和，不等式恒成立，试求实数的取值范围数学理科答案答案：DCADB,BACCD,DA1、设集合,则（D）A B C D解析:. 故选D2、设i是虚数单位，则复数i3等于(C)A.i B.3i C.i D.3i解析i3ii2ii.故选C.3.若向量,则A. (-2，-4) B. (2， 4
7、) C. ( 6, 10) D.( -6, -10)答案：A4.斐波那契数列，又称数列，因列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“”，数列an满足a1a21，an2an1an，nN*，如果以an1和an分别为长和宽得到一个矩形，其长宽之比等于1.618时，就把这个矩形定义为黄金矩形，那么时，最接近黄金矩形的n的值是（ D ）A.2 B.3 C.4 D.5答案：D5.已知，则的值为BA. 2B. -2C. D. 【解析】解：由，得，故选：B6.将正方形（如图所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为 （ B ）7.用列表法将函数表示如下，则 （ A ） A. 为奇
8、函数B.为偶函数 C. 为奇函数 D. 为偶函数 8.已知函数（为自然对数的底），则的大致图象是（ C ） A B C D9、设随机变量服从正态分布N(，2)，函数f(x)x24x没有零点的概率是，则等于(C)A1 B2C4 D不能确定解析当函数f(x)x24x没有零点时，1644，根据正态曲线的对称性，当函数f(x)x24x没有零点的概率是时，4.10.已知定义在上的函数，设两曲线与在公共点处的切线相同，则值等于（ D）A -3 B 1 C 3 D 5【解析】设函数在公共点（a,b）处的切线相同（a0），由题得所以，解之得a=1,b=-4,m=5.故答案为：D.11、已知双曲线（）的一条渐近
9、线被圆截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为( D )A. B. C. D. 解析: 由题意得圆方程即为，故圆心为（3,0），半径为2.双曲线的一条渐近线为，即，故圆心到渐近线的距离为。渐近线被圆截得的弦长为2,，整理得.12、已知函数对任意的，满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是A B CD【解答】解：构造函数，则，对任意的，满足，即函数在，单调递增，则，即，即，故A正确13.若的展开式中第三项系数等于6，则n= 答案：1214、已知函数，满足，则的最小值为 .15.若抛物线y22px（p0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是 设P为抛物线的任意一点，则P到焦点的距离
10、等于到准线：x的距离，显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值，即p216.在棱长为1的正方体中，在面中取一个点，使最小，则这个最小值为 解：将正方体补全成长方体，点关于面的对称点为，连接交平面于一点，即为所求点，使最小其最小值就是连接，计算可得，所以为直角三角形，所以17.数列an的前n项和为Sn，且a1=1，n=1，2，3，求 （I）a2，a3，a4的值及数列an的通项公式；（II）的值.解：（I）由a1=1，n=1，2，3，得，3分由（n2），得（n2），又a2=，所以an=(n2), 5分 数列an的通项公式为；7分（缺少第一项分段形式扣2分）（II）由（I）可知是首项为，公
11、比为项数为n的等比数列，9分 = 12分18.在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD60，PAPD.1)证明：BCPB；(2)若PAPD，PBAB，求二面角APBC的余弦值(1)证明取AD中点为E，连接PE，BE，BD，PAPD，PEAD，底面ABCD为菱形，且BAD60，ABD为等边三角形，BEAD，PEBEE，PE，BE平面PBE，AD平面PBE，又PB平面PBE，ADPB，ADBC，BCPB. 5分（缺少线线相交扣1分）(2)解设AB2，ADPB2，BE，PAPD，E为AD中点，PE1，PE2BE2PB2，（没有证明建系扣2份）PEBE.以E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所
12、在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，0)，P(0，0，1)，C(2，0)，8分(1，0)，(1，0，1)，(0，1)，(2，0，0)设平面PAB的法向量为n(x，y，z)，则即令y，则n(3，3)同理可得平面PBC的一个法向量m(0，3)cosm，n.设二面角APBC的平面角为，由图易知为钝角，则cos cosm，n.二面角APBC的余弦值为.12分(正值扣一分）19.“地摊经济”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号，某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销
13、售数据（），如表所示：试销单价（元）456789产品销量（件）8483807568已知，（）试求q,若变量，具有线性相关关系，求产品销量（件）关于试销单价（元）的线性回归方程；（）用表示用（）中所求的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“好数据”现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数的分布列和数学期望。（参考公式：线性回归方程中，的最小二乘估计分别为，）解析：（），可求得 2分，所以所求的线性回归方程为7分（）利用（）中所求的线性回归方程可得：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，与销售数据对比可知满足（1,2，6）的共有
14、3个“好数据”：、于是的所有可能取值为，9分；，的分布列为：0123于是12分20.已知椭圆E：1(ab0)的离心率是，点P在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程；(2)过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q(xQ，yQ)(点Q异于点P)，若0xQ1，求直线l的斜率k的取值范围.解(1)由题意得解得椭圆E的方程为y21.4分(2)设直线l的方程为yk(x1)，代入方程y21.消去y得(14k2)x2(4k8k2)x4k24k10，6分xQ1，0xQ1，01，即9分解得k，经检验，满足题意.直线l的斜率k的取值范围是.12分法2：利用几何法，判断直线和两段弧相交也能直接求解，解斜率。21.已知函数.（
15、）判断函数的单调性；（）求证： .试题解析：（）由已知的定义域为，,设，则，得，在上是减函数，在上是增函数，在和上都是增函数.-5分（）设，则，得，在上是减函数，在上是增函数，即. -7分当时， ，在上是增函数，即，. 8分当时， ，在上是增函数，即，.-10分当时， -11分由可知，对一切，有，即. 12分22.在直角坐标中，圆，圆。 （1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆的极坐标方程，并求出圆的交点坐标(用极坐标表示)； （2）求圆的公共弦的参数方程.23.（1）已知不等式的解集为，若，试比较与的大小.（并说明理由）（2）已知对于任意非零实数和，不等式恒成立，试求实数的取值范围；【解析】（）解得： ， 知：，即.-5分（），当且仅当时取等号，只需： ，由于，只需，所以： 的取值范围为： ；-10分