1、包头四中2016-2017学年度第二学期第一次月考 高二年级数学（理）试题考试时长： 120分钟 命题人： 李建忠注意：本试卷包含、两卷。第卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第卷为非选择题，所有答案必须填在答题卡的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。 第I卷（选择题）一选择题（本大题共12小题，共60分）1.命题p：x0，2xx，命题q：xR，x2+x+10，则下列命题正确的是（ ） A.（p）q为真 B.p（q）为假 C.pq为真 D.（p）（q）为真2.用反证法证明命题：“己知a、b是自然数，若a+b3，则a、b中至少有一个不小于2”，提出的假设应该是（ ）
2、A.a、b中至少有二个不小于2 B.a、b中至少有一个小于2 C.a、b都小于2 D.a、b中至多有一个小于23.复数 的虚部为（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -3 4.如图，四面体ABCD中，点E是CD的中点，记，则=（ ） （4题图） A. B. C. D. 5.下列说法正确的是（ ） A.若，则ab B.若命题，则P为真命题 C.已知命题p，q，“p为真命题”是“pq为真命题”的充要条件 D.若f（x）为R上的偶函数，则6. 已知函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f（x）在（a，b）上的图象如图所示，则函数f（x）在（a，b）上的极大值点的个数为（ ） A. 4 B.
3、 3 C. 2 D. 1 (6题图)来源:学科网7.设F1、F2是椭圆+=1的两焦点，P为椭圆上的点，若PF1PF2，则PF1F2的面积为（ ） A. 8 B. C. 4 D. 8.观察下列一组数据 a1=1， a2=3+5， a3=7+9+11， a4=13+15+17+19， 则a10从左到右第一个数是（ ） A. 91 B. 89 C. 55 D. 459.已知抛物线x2=-2y的一条弦AB的中点坐标为（-1，-5），则这条弦AB所在的直线方程是（ ） A.y=x-4 B.y=2x-3 C.y=-x-6 D.y=3x-210.已知则 ( )A. B. C. D. 11.对于R上可导函数f
4、（x），若满足（x-2）f（x）0，则必有（ ） A.f（1）+f（3）2f（2） B.f（1）+f（3）2f（2） C.f（1）+f（3）f（0）+f（4） D.f（1）+f（0）f（3）+f（4）来源:学科网12.设f（x）是函数f（x）定义在（0，+）上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D.第二卷（非选择题）二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知f（x）=x2+3xf（2），则1+f（1）= _ 14.已知复数z（1+i）=2i，则|z|等于 _ ；15.设（nN*），计算得f（2）=，f（4）2，f（8），f（16）3，观察上述结果，按照上
5、面规律，可以推测f（2048） _ 16.若方程所表示的曲线为C，给出下列四个命题： 若C为椭圆，则1t4； 若C为双曲线，则t4或t1； 曲线C不可能是圆； 若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则 . 其中真命题的序号为 _ （把所有正确命题的序号都填在横线上）三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)求由抛物线y2=8x（y0）与直线x+y-6=0及y=0所围成图形的面积 （17题图） 18.(12分)已知点在椭圆G：+=1（ab0）上，且点M到两焦点距离之和为 （1）求椭圆G的方程； （2）若斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底作等腰三角形，顶点为P（-3，2），求P
6、AB的面积 19.(12分)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，ABDC，ABAD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点 （）求证：B1C1CE； （）求二面角B1-CE-C1的正弦值 来源:Z_xx_k.Com 20(12分)已知函数f(x)ax2blnx在x1处有极值2(1). （19题图）(1)求a，b的值；来源:学科网(2)判断函数yf(x)的单调性并求出单调区间 21. (12分)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为5
7、60+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用）22.(12分)已知函数f（x）=ax-lnx（aR）（1）当a=1时，求f（x）的最小值； （2）若存在x1，3，使+lnx=2成立，求a的取值范围； （3）若对任意的x1，+），有f（x）成立，求a的取值范围 包头四中2016-2017学年度第二学期第一次月考答案和解析【答案】 一、选择题（每小题5分，共60分）1.C2.C3.D4.B5.B6.C7.C8.A9.A10.C11.B12.B二、填空题（每小题5分，共20分）13.-3 14. 15.
8、 16.三、解答题（17题10分，18-22都是12分）17.解：设所求图形面积为S，（4分） =（8分） =（12分） 18.解：（1）2a=4，a=2 又点M（2，）在椭圆G上，=1，解得b2=4，（4分） 椭圆G的方程为：=1（5分） （2）设直线l的方程为y=x+m，由，得4x2+6mx+3m2-12=0 设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2），AB的中点为E（x0，y0）， 则x0=-，y0=x0+m= 因为AB是等腰PAB的底边，所以PEAB 所以PE的斜率k=-1，解得m=-2（10分） 此时方程为4x2+12x=0，解得x1=-3，x2=0， 所以y1=-1，y2=2
9、 所以|AB|=3 此时，点P（-3，2）到直线AB：x-y+2=0的距离d=， 所以PAB的面积S=|AB|d=（12分） 19.（）以点A为原点，AD为x轴，建立空间直角坐标系， 则B1（0，2，2），C1（1，2，1），C（1，0，1），E（0，1，0）， =（1，0，-1）， ，B1C1CE （）由题设知B1C1平面CC1E， 平面CC1E的法向量， 设平面B1CE的法向量， 则， 令z=-1，则， 设二面角B1-CE-C1的平面角为， 则cos=cos=， sin= 二面角B1-CE-C1的正弦值为 20解(1)因为函数f(x)ax2blnx，所以f(x)2ax.又函数f(x)在x1
10、处有极值，所以即解得(2)由(1)可知f(x)x2lnx，其定义域是(0，)，且f(x)x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)来源:Z+xx+k.Com极小值所以函数yf(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，)21.【解析】设楼房每平方米的平均综合费为元，依题意得则，令，即，解得当时，；当时，因此，当时，取得最小值，元.答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。22.解：（1）f（x）=x-lnx（x0）的导数为f（x）=1-=， 当x1时，f（x）0，f（x）递增；当0x1时，f（x）0，f（x）递减 即
11、有f（x）在x=1处取得极小值，也为最小值，且为1； （2）存在x1，3，使+lnx=2成立， 即为=2-lnx， 即有a=， 设g（x）=，x1，3， 则g（x）=（1-lnx）（1+）， 当1xe时，g（x）0，g（x）递增；当ex3时，g（x）0，g（x）递减 则g（x）在x=e处取得极大值，且为最大值e+； g（1）=2，g（3）=3（2-ln3）+2， 则a的取值范围是2，e+； （3）若对任意的x1，+），有f（x）f（）成立， 即为ax-lnx-ln， 即有a（x-）2lnx，x1， 令F（x）=a（x-）-2lnx，x1， F（x）=a（1+）-， 当x=1时，原不等式显然成立
12、； 当x1时，由题意可得F（x）0在（1，+）恒成立， 即有a（1+）-0， 即a，由=1， 则a1 综上可得a的取值范围是1，+） 【解析】 1. 解：命题p：x0，2x0x，恒成立， 故命题p是真命题； 命题q：xR，x2+x+10，不成立， 故命题q是假命题； 故pq为真， 故选：C分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可本题考查了指数函数的性质，考查二次函数的性质以及复合命题的判断，是一道基础题 2. 解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立， 而命题：“己知a、b是自然数，若a+b3，则d、b中至少有一个不小于2”的否定为“a、b都小于2”， 故选
13、C 根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而要证明题的否定为：“a、b都小于2”，从而得出结论 本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于中档题 3. 解：z=， 复数z=的虚部为-3 故选：D 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 4. 解：连接AE， E是CD的中点， = ABE中，=， =-+=-+ 故选：B连接AE，根据AE是ACD中CD边上的中线，可得向量是、和的一半，再在ABE中利用向量加法的三角形法则，即可得到向量关于向量、的表达式本题在四面体ABCD中，已知E为C
14、D中点的情况下求向量的表达式，着重考查了向量的加法法则、空间向量的线性运算的知识，属于基础题 5. 解：对于A，a0b时成立，故错； 对于B，利用导数可判定命题为假命题，则P为真命题，故正确； 对于C，已知命题p，q，“p为真命题”是“pq为真命题”的必要条件，故错； 对于D，若f（x）为R上的偶函数，则其图象关于y轴对称，故不一定成立，故错； 故选：B 6. 解：导函数f（x）在（a，b）上的图象如图所示， 由函数取得极大值点x0的充要条件是：在x0左侧的导数大于0，右侧的导数小于0， 由图象可知：函数f（x）只有在点A，C处取得最大值， 而在B点处取得极小值，而在点O处无极值 故选：C 导
15、函数f（x）在（a，b）上的图象如图所示，由函数取得极大值点x0的充要条件是：在x0左侧的导数大于0，右侧的导数小于0，即可判断出结论本题考查了函数取得极大值在一点x0的充要条件是：在x0左侧的导数大于0，右侧的导数小于0，考查了数形结合思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题 7. 解：由椭圆+=1，可知a=4，b=2，可得c2=a2-b2=12，即c=2， 设|PF1|=m，|PF2|=n， 由椭圆的定义可知：m+n=2a=8， PF1PF2，得F1PF2=90， 由勾股定理可知：m2+n2=（2c）2， （m+m）2-2mn=4c2， 则64-2mn=48解得：mn=8， |PF1|PF
16、2|=8 PF1F2的面积S=|PF1|PF2|=8=4 故选C 根据椭圆的定义和勾股定理建立关于m、n的方程组，求得|PF1|PF2|=8，结合直角三角形的面积公式，可得PF1F2的面积S=|PF1|PF2|，求得PF1F2的面积 本题给出椭圆的焦点三角形的面积，考查勾股定理、椭圆的定义和简单几何性质等知识的应用，属于基础题 8. 解：观察数列an中，a1=1，a2=3+5，a3=7+9+11，a4=13+15+17+19， 各组和式的第一个数为：1，3，7，13， 即1，1+2，1+2+22，1+2+22+23， 其第n项为：1+2+22+23+2（n-1） 第10项为：1+2+22+23
17、+29=1+2=91 从而a10的第一个加数为91 故选A 观察数列an中，各组和式的第一个数：1，3，7，13，找出其规律，从而得出a10的第一个加数为91 本小题主要考查归纳推理、等差数列求和公式的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力属于中档题 9. 解：设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=-2，x12=-2y1，x22=-2y2 两式相减可得，（x1+x2）（x1-x2）=-2（y1-y2） 直线AB的斜率k=1， 弦AB所在的直线方程是y+5=x+1，即y=x-4 故选A， 设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2
18、）则由E为AB的中点可得x1+x2=-2，x12=-2y1，x22=-2y2，两式相减可求直线AB的斜率，即可求出弦AB所在的直线方程 此题主要强化了直线与圆锥曲线综合问题的考察解题的关键是要根据中点坐标及直线AB的斜率 10. 解：f（x）=， f（x）dx=e-xdx+dx=（-e-x）+lnx=1-+ln2， 故选：C 只需根据定积分的定义先求出被积函数的原函数，然后求解即可 本题考查定积分的运算性质及微积分基本定理，熟记微积分基本定理是解决问题的关键 11. 解：对于R上可导的任意函数f（x），（x-2）f（x）0有或， 即当x（2，+）时，f（x）为增函数， 当x（-，2）时，f（x
19、）为减函数 f（1）f（2），f（3）f（2） f（1）+f（3）2f（2） 故选：B 借助导数知识，根据（x-2）f（x）0，判断函数的单调性，再利用单调性，比较函数值的大小即可 本题考查了利用导数判断抽象函数单调性，以及利用函数的单调性比较函数值的大小 12. 解：f（x）是函数f（x）定义在（0，+）上的导函数，满足， 可得， 令g（x）=x2f（x），则g（x）=x2f（x）+2xf（x）=0， 函数g（x）在上单调递增 g（2）=4f（2）g（e）=e2f（e）g（3）=9f（3）， 故选：B 构造g（x）=x2f（x），利用其单调性即可推出结果 本题考查函数与导数的应用，正确构造g
20、（x）=x2f（x）和熟练掌握利用导数研究和的单调性是解题的关键 13. 解：因为f（x）=x2+3xf（2）， 所以f（x）=2x+3f（2）， 令x=2，得f（2）=4+3f（2）， 所以f（2）=-2， 所以f（1）=2+3f（2）=-4， 所以1+f（1）=-3故答案为：-3 先求出f（x）=2x+3f（2），令x=2，即可求出f（1） 本题考查函数与导数，求导公式的应用及函数值求解本题求出f（x ） 是关键步骤 14. 解：复数z（1+i）=2i，z（1+i）（1-i）=2i（1-i），2z=2（i+1），可得z=1+i， z= 故答案为： 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出
21、本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 15. 解：由已知中： f（2）=， f（4）2， f（8）， f（16）3， ， 归纳可得： f（2n）， 2048=211， 故f（2048）， 故答案为： 把已知的式子进行转化，然后寻找相应的规律 本题考查归纳推理，把已知的式子变形找规律是解决问题的关键，属基础题 16. 解：若C为椭圆应该满足，即1t4且t，故错； 若C为双曲线应该满足（4-t）（t-1）0，即t4或t1，故对； 当4-t=t-1，即t=时，表示圆，故错； 若C表示椭圆，且长轴在x轴上应该满足4-tt-10，则1t，故错 故答案为： 据椭圆方程的特点列出不等式求出t的范围判断出错，据双曲线方程的特点列出不等式求出t的范围，判断出对；据圆方程的特点列出方程求出t的值，判断出错；据椭圆方程的特点列出不等式求出t的范围，判断出错 本题考查了圆锥曲线的标准方程，熟练掌握椭圆、双曲线、圆的标准方程是解题的关键