1、第31练直线和圆锥曲线的位置关系问题题型一直线和椭圆的位置关系例1如图所示，椭圆C1：1(ab0)的离心率为，x轴被曲线C2：yx2b截得的线段长等于C1的短轴长C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.(1)求C1，C2的方程；(2)求证：MAMB；(3)记MAB，MDE的面积分别为S1，S2，若，求的取值范围破题切入点(1)利用待定系数法求解曲线C1，C2的方程(2)设出直线AB和曲线C2联立，利用坐标形式的向量证明(3)将S1和S2分别表示出来，利用基本不等式求最值(1)解由题意，知，所以a22b2.又22b，得b1.所以曲线
2、C2的方程：yx21，椭圆C1的方程：y21.(2)证明设直线AB：ykx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知M(0，1)则x2kx10，(x1，y11)(x2，y21)(k21)x1x2k(x1x2)1(1k2)k210，所以MAMB.(3)解设直线MA的方程：yk1x1，直线MB的方程：yk2x1，由(2)知k1k21，M(0，1)，由解得或所以A(k1，k1)同理，可得B(k2，k1)故S1|MA|MB|k1|k2|.由解得或所以D(，)同理，可得E(，)故S2|MD|ME|，则的取值范围是，)题型二直线和双曲线的位置关系例2已知双曲线C：x2y21及直线l：ykx1.(1)
3、若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且AOB的面积为，求实数k的值破题切入点(1)联立方程组，利用0求出k的取值范围(2)联立方程用根与系数的关系求解解(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点，则方程组有两个不同的实数根，整理得(1k2)x22kx20.解得k|x2|时，SOABSOADSOBD(|x1|x2|)|x1x2|；当A，B在双曲线的两支上且x1x2时，SOABSODASOBD(|x1|x2|)|x1x2|.SOAB|x1x2|，(x1x2)2(2)2，即()28，解得k0或k.又k0，b0)的上焦点为F，上顶点为A，B为虚轴的端点
4、，离心率e，且SABF1.抛物线N的顶点在坐标原点，焦点为F.(1)求双曲线M和抛物线N的方程；(2)设动直线l与抛物线N相切于点P，与抛物线的准线相交于点Q，则以PQ为直径的圆是否恒过y轴上的一个定点？如果是，试求出该点的坐标，如果不是，请说明理由破题切入点(1)根据双曲线的性质，用a，c表示已知条件，建立方程组即可求解双曲线的方程，然后根据抛物线的焦点求出抛物线的方程(2)设出点P的坐标，根据导数的几何意义求出切线方程，并求出点Q的坐标，然后根据圆的性质列出关于点P的坐标的方程，将问题转化为方程恒成立的问题来解决解(1)在双曲线中，c，由e，得，解得ab，故c2b.所以SABF(ca)b(
5、2bb)b1，解得b1.所以a，c2，其上焦点为F(0,2)所以双曲线M的方程为x21，抛物线N的方程为x28y.(2)由(1)知抛物线N的方程为yx2，故利用判别式法可得切线l的斜率方程kx，抛物线的准线为y2.设P(x0，y0)，则x00，y0x，且直线l的方程为yxx0(xx0)，即yx0xx.由得所以Q(，2)假设存在点R(0，y1)，使得以PQ为直径的圆恒过该点，也就是0对于满足y0x(x00)的x0，y0恒成立由于(x0，y0y1)，(，2y1)，由0，得x0(y0y1)(2y1)0，整理得2y0y0y12y1y0，即(y2y18)(2y1)y00，(*)由于(*)式对满足y0x(
6、x00)的x0，y0恒成立，所以解得y12.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点，定点坐标为(0,2)总结提高直线和圆锥曲线的位置关系问题，万变不离其宗，构建属于自己的解题模板，形成一定的解题思路，利用数形结合思想来加以解决重点掌握直线与椭圆的位置关系1已知圆C：(x1)2y28，定点A(1,0)，M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足2，0，点N的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)若直线ykx与(1)中所求点N的轨迹E交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且，求k2的取值范围解(1)如图所示，连接NA.由2，0，可知NP所在直线为线段AM的垂直平分线，所以|NA|NM|，所以
7、|NC|NA|NC|NM|22|CA|，所以动点N的轨迹是以C(1,0)，A(1,0)为焦点的椭圆，且长轴长为2a2，焦距2c2，即a，c1，b1.故曲线E的方程为y21.(2)设F(x1，y1)，H(x2，y2)由消去y，得(2k21)x24kx2k20，8k20，由根与系数的关系，得x1x2，x1x2，所以x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)k21k21.由，得，解得k21.2已知点P是圆O：x2y29上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足.(1)求动点Q的轨迹方程；(2)已知点E(1,1)，在动点Q的轨迹上是否存在两个不重合的两点M、N，
8、使()(O是坐标原点)，若存在，求出直线MN的方程，若不存在，请说明理由解(1)设P(x0，y0)，Q(x，y)，依题意，点D的坐标为D(x0，0)，所以(xx0，y)，(0，y0)，又，故即因为P在圆O上，故有xy9，所以x229，即1，所以点Q的轨迹方程为1.(2)假设椭圆1上存在不重合的两点M(x1，y1)，N(x2，y2)满足()，则E(1,1)是线段MN的中点，且有即又M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆1上，所以两式相减，得0，所以kMN，故直线MN的方程为4x9y130.所以椭圆上存在点M，N满足()，此时直线MN的方程为4x9y130.3(2013浙江)如图，点P(0，1)
9、是椭圆C1：1(ab0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2y24的直径l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；(2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程解(1)由题意得所以椭圆C1的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为ykx1.又圆C2：x2y24，故点O到直线l1的距离d，所以|AB|22 .又l2l1，故直线l2的方程为xkyk0.由消去y，整理得(4k2)x28kx0，故x0.所以|PD|.设ABD的面积为S，
10、则S|AB|PD|，所以S，当且仅当k时取等号所以所求直线l1的方程为yx1.4已知双曲线E：1(a0，b0)的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线xy0相切(1)求双曲线E的方程；(2)已知点F为双曲线E的左焦点，试问在x轴上是否存在一定点M，过点M任意作一条直线交双曲线E于P，Q两点(P在Q点左侧)，使为定值？若存在，求出此定值和所有的定点M的坐标；若不存在，请说明理由解(1)由题意知a，a.又2c4，c2，b1.双曲线E的方程为y21.(2)当直线为y0时，则P(，0)，Q(，0)，F(2,0)，(2,0)(2,0)1.当直线不为y0时，可设l：xtym(t)代入E：y21，
11、整理得(t23)y22mtym230(t)(*)由0得m2t23.设方程(*)的两个根为y1，y2，满足y1y2，y1y2，(ty1m2，y1)(ty2m2，y2)(t21)y1y2t(m2)(y1y2)(m2)2.当且仅当2m212m153时，为定值，解得m13，m23(舍去)综上，过定点M(3，0)任意作一条直线交双曲线E于P，Q两点，使1为定值5(2013天津)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程；(2)设A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点若8，求k的值解(1)设F(c,0)，由，
12、知ac.过点F且与x轴垂直的直线为xc，代入椭圆方程有1，解得y，于是，解得b，又a2c2b2，从而a，c1，所以椭圆的方程为1.(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(1,0)得直线CD的方程为yk(x1)，由方程组消去y，整理得(23k2)x26k2x3k260.求解可得x1x2，x1x2.因为A(，0)，B(，0)，所以(x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k26.由已知得68，解得k.6(2014辽宁)圆x2y24的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角
13、形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图)双曲线C1：1过点P且离心率为.(1)求C1的方程；(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程解(1)设切点P的坐标为(x0，y0)(x00，y00)，则切线斜率为，切线方程为yy0(xx0)，即x0xy0y4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S.由xy42x0y0知当且仅当x0y0时，x0y0有最大值，即S有最小值，因此点P的坐标为(，)由题意知解得故C1的方程为x21.(2)由(1)知C2的焦点坐标为(，0)，(，0)，由此设C2的方程为1，其中b10.由P(，)在C2上，得1，解得b3，因此C2的方程为1.显然，l不是直线y0.设l的方程为xmy，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(m22)y22my30，又设y1，y2是方程的根，因此由x1my1，x2my2，得因为(x1，y1)，(x2，y2)，由题意知0，所以x1x2(x1x2)y1y2(y1y2)40，将代入整理得2m22m4110，解得m1或m1.因此直线l的方程为x(1)y0或x(1)y0.