1、第2课时 抛物线方程及性质的应用关键能力合作学习类型一 直线与抛物线的位置关系(逻辑推理)1已知直线 ykxk 及抛物线 y22px(p0)，则()A直线与抛物线有一个公共点B直线与抛物线有两个公共点C直线与抛物线有一个或两个公共点D直线与抛物线可能没有公共点2已知抛物线的方程为 y24x，直线 l 过定点 P(2，1)，斜率为 k，k 为何值时，直线 l 与抛物线 y24x 只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？【解析】1.选 C.直线方程可化为 yk(x1)，因此直线恒过定点(1，0)，点(1，0)在抛物线 y22px(p0)的内部，因此直线与抛物线有一个或两个公共点2由题意，直线 l
2、 的方程为 y1k(x2)，由方程组y1k（x2），y24x(*)可得 ky24y4(2k1)0.：当 k0 时，由方程得 y1，把 y1 代入 y24x，得 x14，这时，直线 l 与抛物线只有一个公共点14，1.：当 k0 时，方程的判别式为 16(2k2k1).a由 0，即 2k2k10，解得 k1 或 k12，所以方程只有一个解，从而方程组(*)只有一个解，这时直线 l 与抛物线只有一个公共点 b由 0，即 2k2k10，解得1k12，于是，当1k12，且 k0 时，方程有两个解，从而方程组(*)有两个解，这时直线 l 与抛物线有两个公共点c由 0，解得 k12.于是 k12 时，方程
3、没有实数解，从而方程组(*)没有解，直线 l 与抛物线无公共点 综上，当 k0 或 k1 或 k12 时，直线 l 与抛物线只有一个公共点当1k12，且 k0 时，直线 l 与抛物线有两个公共点当 k12 时，直线 l 与抛物线无公共点 直线与抛物线位置关系的判断方法设直线 l：ykxb，抛物线：y22px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2(2kb2p)xb20.(1)若 k20，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合(2)若 k20，当 0 时，直线与抛物线相交，有两个交点；当 0 时，直线与抛物线相切，有一个交点；当 0)的焦点，斜率为 2
4、2 的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)，则由点 P(1，2)在抛物线上，得 222p1，解得 p2，故所求抛物线的方程是 y24x，准线方程是 x1.(2)因为 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以 kPAkPB，即y12x11 y22x21.又 A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，所以 x1y214，x2y224，从而有y12y214 1y22y224 1，即4y12 4y22，得 y1y24，故直线 AB 的斜率 kABy1y2x1x2 4y1y2 1.应用抛物线性质解题的常用技巧(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便(2)轴对称问题，一是抓
5、住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等解决这些问题的关键是代换和转化(4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值 在平面直角坐标系 xOy 中，设点 F(1，0)，直线 l：x1，点 P 在直线 l 上移动，R 是线段 PF 与 y 轴的交点，RQFP，PQl.(1)求动点 Q 的轨迹方程；(2)记 Q 的轨迹为曲线 E，过点 F 作两条互相垂直
6、的直线交曲线 E 的弦为 AB，CD，设 AB，CD 的中点分别为点 M，N，求证：直线 MN 过定点(3，0).【解析】(1)因为点 F(1，0)，直线 l：x1，所以点 R 是线段 FP 的中点，由此及 RQFP 知，RQ 是线段 FP 的垂直平分线因为|PQ|是点 Q 到直线 l 的距离，而|PQ|QF|，所以动点 Q 的轨迹 E 是以 F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为y24x(x0).(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，直线 AB：xmy1(m0)，则xmy1，y24x，消去 x 得 y24my40.于是，有 yMy1y222m，xMmyM12m21
7、，即 M(2m21，2m).同理，N2m21，2m.因此，直线 MN 的斜率 kMN2m2m（2m21）2m21mm21，直线 MN 的方程为 y2mmm21(x2m21)，即 mx(1m2)y3m0.显然，不论 m 为何值，(3，0)均满足方程，所以直线 MN 过定点(3，0).课堂检测素养达标1已知点 A(2，3)在抛物线 C：y22px 的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线AF 的斜率为()A43 B1 C34 D12【解析】选 C.因为抛物线 C：y22px 的准线为 xp2，且点 A(2，3)在准线上，故p2 2，解得 p4，所以 y28x，所以焦点 F 的坐标为(2，0)，这时直
8、线 AF 的斜率 kAF 3022 34.2已知直线 ykxm 与抛物线 y24x 相交于 P，Q 两点，线段 PQ 的中点坐标为(x0，2)，则 k 等于_【解析】由题意，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，代入抛物线的方程，可得y21 4x1y22 4x2，两式相减得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，所以 ky1y2x1x2 4y1y2 44 1.答案：1 3(教材二次开发：练习改编)已知抛物线 y28x，过动点 M(a，0)，且斜率为 1的直线 l 与抛物线交于不同的两点 A，B，若|AB|8，则实数 a 的取值范围是_【解析】将 l 的方程 yxa 代入 y28x，得 x22(a4)xa20，则 4(a4)24a20，所以 a2.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x22(a4)，x1x2a2，所以|AB|2（x1x2）24x1x2 64（a2）8，即 a2 1.又|AB|0，所以2a1.答案：(2，1 4已知 O 为坐标原点，F 为抛物线 y24x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA AF4，则点 A 的坐标是_.【解析】因为抛物线的焦点为 F(1，0)，设 Ay204，y0，则OA y204，y0，AF 1y204，y0，由OA AF 4 得 y02，所以点 A 的坐标是(1，2)或(1，2).答案：(1，2)或(1，2)