1、第24练基本量破解等差、等比数列的法宝题型一等差、等比数列的基本运算例1已知等差数列an的前5项和为105，且a102a5.(1)求数列an的通项公式；(2)对任意mN*，将数列an中不大于72m的项的个数记为bm.求数列bm的前m项和Sm.破题切入点(1)由已知列出关于首项和公差的方程组，解得a1和d，从而求出an.(2)求出bm，再根据其特征选用求和方法解(1)设数列an的公差为d，前n项和为Tn，由T5105，a102a5，得解得a17，d7.因此ana1(n1)d77(n1)7n(nN*)(2)对mN*，若an7n72m，则n72m1.因此bm72m1.所以数列bm是首项为7，公比为4
2、9的等比数列，故Sm.题型二等差、等比数列的性质及应用例2(1)已知正数组成的等差数列an，前20项和为100，则a7a14的最大值是_(2)(2014济南模拟)在等差数列an中，a12 013，其前n项和为Sn，若2，则S2 013的值为_破题切入点(1)根据等差数列的性质，a7a14a1a20，S20可求出a7a14，然后利用基本不等式(2)等差数列an中，Sn是其前n项和，则也成等差数列答案(1)25(2)2 013解析(1)S2020100，a1a2010.a1a20a7a14，a7a1410.an0，a7a14225.当且仅当a7a14时取等号故a7a14的最大值为25.(2)根据等
3、差数列的性质，得数列也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项a12 013，公差d1，故2 013(2 0131)11，所以S2 0132 013.题型三等差、等比数列的综合应用例3已知数列an的前n项和Sn满足条件2Sn3(an1)，其中nN*.(1)证明：数列an为等比数列；(2)设数列bn满足bnlog3an，若cnanbn，求数列cn的前n项和破题切入点(1)利用anSnSn1求出an与an1之间的关系，进而用定义证明数列an为等比数列(2)由(1)的结论得出数列bn的通项公式，求出cn的表达式，再利用错位相减法求和(1)证明由题意得anSnSn1(anan1)(n2)，an3an1，
4、3(n2)，又S1(a11)a1，解得a13，数列an是首项为3，公比为3的等比数列(2)解由(1)得an3n，则bnlog3anlog33nn，cnanbnn3n，设Tn131232333(n1)3n1n3n，3Tn132233334(n1)3nn3n1.2Tn3132333nn3n1n3n1，Tn.总结提高(1)关于等差、等比数列的基本量的运算，一般是已知数列类型，根据条件，设出a1，an，Sn，n，d(q)五个量的三个，知三求二，完全破解(2)等差数列和等比数列有很多相似的性质，可以通过类比去发现、挖掘(3)等差、等比数列的判断一般是利用定义，在证明等比数列时注意证明首项a10，利用等比
5、数列求和时注意公比q是否为1.1已知an为等差数列，其公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为an的前n项和，nN*，则S10的值为_答案110解析a3a12da14，a7a16da112，a9a18da116，又a7是a3与a9的等比中项，(a112)2(a14)(a116)，解得a120.S101020109(2)110.2(2014课标全国改编)等差数列an的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则an的前n项和Sn_.答案n(n1)解析由a2，a4，a8成等比数列，得aa2a8，即(a16)2(a12)(a114)，a12.Sn2n22nn2nn(n1)3等比数列an的前n项和
6、为Sn，若2S4S5S6，则数列an的公比q的值为_答案2解析由2S4S5S6，得2(1q4)1q51q6，化简得q2q20，解得q1(舍去)，q2.4(2014大纲全国改编)等比数列an中，a42，a55，则数列lg an的前8项和为_答案4解析数列lg an的前8项和S8lg a1lg a2lg a8lg(a1a2a8)lg(a1a8)4lg(a4a5)4lg(25)44.5(2014大纲全国改编)设等比数列an的前n项和为Sn，若S23，S415，则S6_.答案63解析在等比数列an中，S2、S4S2、S6S4也成等比数列，故(S4S2)2S2(S6S4)，则(153)23(S615)，
7、解得S663.6已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是_答案5解析由等差数列的前n项和及等差中项，可得7 (nN*)，故n1,2,3,5,11时，为整数即正整数n的个数是5.7(2013课标全国)若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式是an_.答案(2)n1解析当n1时，a11；当n2时，anSnSn1anan1，故2，故an(2)n1.8(2014江苏)在各项均为正数的等比数列an中，若a21，a8a62a4，则a6的值是_答案4解析因为a8a2q6，a6a2q4，a4a2q2，所以由a8a62a4得a2q6a2q42a2q2，消去a
8、2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2q220，解得q22，a6a2q41224.9(2014安徽)数列an是等差数列，若a11，a33，a55构成公比为q的等比数列，则q_.答案1解析设等差数列的公差为d，则a3a12d，a5a14d，(a12d3)2(a11)(a14d5)，解得d1，q1.10在数列an中，如果对任意nN*都有k(k为常数)，则称数列an为等差比数列，k称为公差比现给出下列问题：等差比数列的公差比一定不为零；等差数列一定是等差比数列；若an3n2，则数列an是等差比数列；若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比其中正确命题的序号为_答案解析若k0，an为常数列，分
9、母无意义，正确；公差为零的等差数列不是等差比数列，错误；3，满足定义，正确；设ana1qn1(q0)，则q，正确11(2014课标全国)已知an是递增的等差数列，a2，a4是方程x25x60的根(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和解(1)方程x25x60的两根为2,3，由题意得a22，a43.设数列an的公差为d，则a4a22d，故d，从而a1.所以an的通项公式为ann1.(2)设的前n项和为Sn.由(1)知，则Sn，Sn.两式相减得Sn()(1).所以Sn2.12(2014北京)已知an是等差数列，满足a13，a412，数列bn满足b14，b420，且bnan为等比数列(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列bn的前n项和解(1)设等差数列an的公差为d，由题意得d3，所以ana1(n1)d3n(n1,2，)设等比数列bnan的公比为q，由题意得q38，解得q2.所以bnan(b1a1)qn12n1.从而bn3n2n1(n1,2，)(2)由(1)知bn3n2n1(n1,2，)数列3n的前n项和为n(n1)，数列2n1的前n项和为2n1.所以，数列bn的前n项和为n(n1)2n1.