1、吕梁市20202021学年高二年级第一学期期末考试试题（理科）数学（本试卷满分150分，考试时间120分钟。答案一律写在答题卡上）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑1抛物线的准线方程是ABCD2命题“若，则且”的逆命题是A若，则且B若，则或C若或，则D若且，则3已知向量，若，则x的值为A1BCD34已知m，n是两条不同的直线，、是三个不同的平面，则下列命题正确的是A若，则B若，则C若，则D若，则5已知命题，则命题p的否定是A，B，C，D，6已知正四面体ABCD中，棱长为2，E是AB的
2、中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为ABCD7若直线与圆有两个公共点，则实数k的取值范围是ABCD8已知抛物线上一点P到的距离为，到准线的距离为，则的最小值为AB3CD9如图是一个圆锥和圆柱的组合体的三视图，则该几何体的体积为ABCD10若双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则C的离心率为A2BCD11如图，在正三棱柱中，则点C到平面的距离为ABCD12刘徽的九章算术注记载“斜解立方，有两堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”意思是把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，再沿堑堵的一顶点与其相对的面对角线剖开成两块，大的叫阳马（底面为长方形，且有一
3、侧棱与底面垂直的四棱锥），小的叫鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体），若三棱锥为鳖臑，平面ABC，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的体积为ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13如图，平面ABC，则在和的边所在的直线中，与AP垂直的直线是_14已知直线，则下列结论正确的是_直线l的倾斜角是；若直线，则；点到直线l的距离是4；过与直线l平行的直线方程是15已知抛物线的方程是，直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若，则直线AB必过定点_16已知焦点在x轴上的椭圆的左、右焦点分别为、，直线l过，且和椭圆C交于A，B两点，则椭圆C的离心率为_三、解答题（本大题共6小
4、题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题10分）设命题p：实数x满足，命题q：实数x满足（1）若，为真命题，求x的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围18（本小题12分）已知方程，（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；（2）若m的值为（1）中能取到的最大正整数，则得到的圆设为圆C，过点作圆C的切线，求切线方程19（本小题12分）如图，在正方体中，M为棱的中点（1）求证：平面；（2）连接，求直线与平面所成角的正弦值20（本小题12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线，焦点为F，点是抛物线上一点，满足（1）求抛物线C的方程；（2）过点作直线AB交C于
5、A，B两点，若，求弦AB的长度21（本小题12分）如图，在等腰梯形ABCD中，AE为梯形ABCD的高，将沿AE折到的位置，使得（1）求证：平面ABCE；（2）求平面PBC与平面PAE所成二面角的余弦值 22（本小题12分）已知椭圆的一个顶点为，离心率为，对称中心为O，直线与椭圆C相交于，两点，设A，B两点对应的相关点分别为，且（1）求椭圆C的标准方程；（2）试判断的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由吕梁市2020-2021学年高二年级第一学期期末考试试题（理科）数学参考答案一、1-6 ADCDAA 7-12 DCABDA二、13BC 14 15 16三、17解：（1）当时
6、，由得，由，得由得，为真命题，命题p，q均为真命题，解得，实数x的取值范围是（2）由条件得不等式的解集为，是的充分不必要条件，是q的充分不必要条件，实数a的取值范围是18解：（1）方程，可化为，当方程表示圆时，有，即，所以m的取值范围是（2）由题意，可得，方程，即为，得，此圆的圆心为，当切线斜率不存在时，利用图形可以得出，当切线斜率存在时，设过点的圆的切线方程为，即，圆心到直线的距离，所以切线方程为所以过点的切线方程为或19解：（1）证明：如图1连接，则O为中点，连接OM，M为的中点所以在中，又因为平面，平面，所以平面（2）如图2方法一：在中，连接OB，因为，所以，又因为，所以平面，平面，所以
7、平面平面因为平面平面，在平面中，过点作，交BO的延长线于G，所以平面则为直线与平面所成的角设正方体的棱长为1，在中，用余弦定理得所以，所以直线与平面所成角的正弦值是方法二、空间向量法（略）20解：（1）因为F是抛物线的焦点，点是抛物线C上一点，满足，而抛物线C的准线为，所以由抛物线定义得，解得，因此抛物线C的方程为由（1）知：抛物线，焦点因为过点作直线AB交C于A，B两点，所以直线AB的斜率不为0，因此设直线AB的方程为设，因为，因此，因此由消去x，得，则，又因为，所以，因此或，所以21（1）证明：折叠前，折叠后，折叠前由已知得，在中，折叠后，因为，所以可以计算得折叠后为直角三角形，即，,因为，平面ABCE，平面ABCE，所以平面ABCE（2）由（1）知，又所以以E为原点,建立如图所示的空间直角坐标系，所以平面PAE的法向量为，又，设平面PBC的一个法向量为则可求得平面PBC的一个法向量为计算得，所以平面PBC与平面PAE所成二面角的余弦值为（说明：使用射影面积公式的得2分）22解：（1）由题意知：，解得，所以椭圆的方程为（2）设，则，即，即，代入，得，点O到直线AB的距离为，所以的面积为定值