1、山东省济宁市兖州区2019-2020学年高一数学下学期5月阶段性测试试题（含解析）一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】本题首先可以通过复数的运算法则对复数进行化简，得到，即可得出复数所对应的点的坐标，问题得解【详解】，所以复数所对应的点为，它在第二象限，故选B【点睛】本题主要考查复数的运算法则以及复数所对应的点的坐标，考查运算能力，考查推理能力，是简单题2.已知是两个不共线向量，且，.若向量
2、与共线，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据平面向量共线基本定理,设,即可解方程组求得的值.【详解】根据平面向量共线基本定理,若向量与共线则满足即所以满足,解得故选:A【点睛】本题考查了平面向量共线基本定理的简单应用,属于基础题.3.给出下列命题：圆柱的母线与它的轴可以不平行；圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.其中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的
3、性质即可判断.【详解】由圆柱的母线无论旋转到什么位置都与轴平行，故错误；圆锥是以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的，故正确；中连接的线可能存在与轴异面的情况，而圆台的母线与轴共面，故错误；由于圆柱中任意母线均与轴平行，故其中任意两条母线相互平行，故正确；综上可知正确，错误.故选：D.【点睛】本题主要考查了圆柱、圆锥、圆台的几何结构特征，属于基础题.4.已知向量，满足|1，|2，且与的夹角为120，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先计算，然后将进行平方，可得结果.【详解】由题意可得： 则故选：D.【点睛】本题考查的是向量的数量积的运算和模的计
4、算，属基础题。5.在梯形中，是边上的点，且.若记，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】作出图形，由向量加法的三角形法则得出可得出答案.【详解】如下图所示：由题意可得，由向量加法的三角形法则可得.故选：A.【点睛】本题考查利用基底来表示向量，涉及平面向量加法的三角形法则的应用，考查数形结合思想的应用，属于基础题.6.已知一个正三棱锥的高为3，如下图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图，其中，则此正三棱锥的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据的长，求得正三棱锥的底面边长，由此求得底面积，进而求得正三棱锥的体积.【详解】由于，所以，根据斜二
5、测画法的知识可知，正三棱锥的底面等边三角形的边长为，其面积为，所以正三棱锥的体积为.故选：A【点睛】本小题主要考查根据斜二测画法的直观图，求原图的边长，考查正棱锥的体积的求法，属于基础题.7.在中，若，则角的大小为（ ）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理即可得到结果.【详解】解：b3，c，C，由正弦定理，可得，可得：sinB，cb，可得B或，故选：D【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题8.已知M是边长为1的正ABC的边AC上的动点，N为AB的中点，则的取值范围是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】可
6、取AC的中点为O，然后以点O为原点，直线AC为x轴，建立平面直角坐标系，从而根据条件可得出，并设，从而可得出，根据x的范围，配方即可求出的最大值和最小值，从而得出取值范围.【详解】解：取AC的中点O，以O为原点，直线AC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则：，设，且，时，取最小值时，取最大值，的取值范围是.故选：A.【点睛】本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量坐标的数量积运算，配方求二次函数值域的方法，考查了计算能力，属于中档题.二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的
7、得3分，有选错的得0分.9.已知复数，则（ ）A. B. 的虚部是C. 若，则，D. 【答案】CD【解析】【分析】取特殊值可判断A选项正误；由复数的概念可判断B、C选项的正误；由复数模的概念可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，取，则，A选项错误；对于B选项，复数的虚部为，B选项错误；对于C选项，若，则，C选项正确；对于D选项，D选项正确.故选：CD.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题.10.下面关于四棱柱的命题中，真命题的是（ ）A. 若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱B. 若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直
8、四棱柱C. 若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱D. 若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱【答案】BD【解析】【分析】对于可举出反例加以说明；对于可结合棱柱的概念进行判断【详解】解：错，必须是两个相邻的侧面；正确；因两个过相对侧棱的截面都垂直于底面可得到侧棱垂直于底面；错，反例，可以是斜四棱柱；正确，对角线两两相等，则此两对角线所在的平行四边形为矩形,可得侧棱与底面垂直，棱柱为直棱柱故选：BD【点睛】棱柱的性质：棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多
9、边形过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形直棱柱的侧棱长与高相等；直棱柱的侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形11.在中，已知，给出下列结论中正确结论是（ ）A. 由已知条件，这个三角形被唯一确定B. 一定是钝三角形C. D. 若，则的面积是【答案】BC【解析】【分析】可设的周长为，则由，可将边长均用表示出来，故三角形不确定，A错误；根据三边长计算最大的角的余弦值，根据符号确定三角形是否是钝角三角形；根据边长比和正弦定理可确定；根据，求出三角形三边长，计算三角形的面积.【详解】可设的周长为，则由，可得，又，则，故三角形不确定，A错；由，为钝角，故B正确；由正弦定理，故C正确；由，则，得
10、，故，由，得，的面积是，故D错.故选：BC【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的应用，是一道解三角形的综合应用题，属于中档题.12.定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，令.下面说法正确的是（ ）A. 若与共线，则B. C. 对任意的，有D. 【答案】ACD【解析】【分析】根据新定义，.依次代入验证即可求得结果.【详解】若，共线，则，依运算“”知，故A正确；由于，又，因此，故B不正确；对于C，由于，因此，又，故C正确；对于D，,故D正确.故选: ACD【点睛】本题考查新定义向量运算,意在考查分析新定义,推理和证明,难度一般.三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共2
11、0分.13.已知复数是纯虚数，则实数的值为_【答案】6【解析】【分析】先对复数进行化简，结合纯虚数可求实数的值.【详解】因为为纯虚数，所以且，即.故答案为：6.【点睛】本题主要考查复数的乘法运算及纯虚数的概念，侧重考查数学运算的核心素养.14.若，则与 的夹角为_.【答案】【解析】【分析】由及，即可得到本题答案.【详解】设与 的夹角为，则，得，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查利用向量的模的计算公式求向量的夹角，属基础题.15.五曹算经是我国南北朝时期数学家甄鸾为各级政府的行政人员编撰的一部实用算术书，其第四卷第九题如下：“今有平地聚粟，下周三丈，高四尺，问粟几何？”其意思为“场院内有圆锥形
12、稻谷堆，底面周长3丈，高4尺，那么这堆稻谷有多少斛？”已知1丈等于10尺，1斛稻谷的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的稻谷约有_斛.（保留两位小数）【答案】61.73【解析】【分析】根据圆锥的周长求出底面半径，再计算圆锥的体积，从而估算堆放的稻谷数【详解】解：设圆锥形稻谷堆的底面半径为尺，则底面周长为尺，解得尺，又高为尺，所以圆锥的体积为（立方尺）；又（斛，所以估算堆放的稻谷约有61.73（斛故答案为：【点睛】本题考查了锥体的体积计算问题，也考查了实际应用问题，属于基础题16.设，分别为内角，的对边，已知，则_，的取值范围为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据
13、题设条件、正弦定理和三角形的性质，化简整理得，得到，求得，再结合余弦定理，求得，即可求解.【详解】因为，可得，由正弦定理可得，即，又因为，则，所以，又由，所以，因为，所以，所以，由余弦定理，可得，所以.故答案为：，【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知，与的夹角为.(1)求的值;(2)若k为实
14、数，求的最小值.【答案】(1);(2)1【解析】【分析】(1)利用数量积公式得出的值，再由数量积的运算律计算即可；(2)由模长公式得出，再由二次函数的性质得出当时，的最小值.【详解】(1)因为，与的夹角为，所以.(2)，当时，最小值为1，即的最小值为1.【点睛】本题主要考查了利用定义计算数量积以及已知数量积求模，属于中档题.18.已知复数z满足|z|，z的实部大于0，z2的虚部为2.（1）求复数z；（2）设复数z，z2，zz2之在复平面上对应的点分别为A，B，C，求（）的值.【答案】（1）1+i；（2）2.【解析】【分析】（1）先设出复数的表达式,结合已知条件中,实部大于,和的虚部为,列出方程
15、求解出复数的表达式.（2）由（1）求出复数的表达式,即可得到,在复平面上对应的点坐标,进而求出结果.【详解】（1）设复数z=x+yi,x、yR;由|z|,得x2+y2=2;又z的实部大于即x0,z2=x2y2+2xyi的虚部为2xy=2,所以xy=1;解得x=1,y=1;所以复数z=1+i;（2）复数,则,;则A（1,1）,B（0,2）,C（1,1）;所以.【点睛】本题考查了求复数的表达式及复数的几何意义,解题时的方法是设出复数的表达式,按照题意得到方程组进行求解,本题较为基础.19.如图所示，在中，点D为边上一点，且， E为的中点，.（1）求的长；（2）求的面积.【答案】（1）2；（2）【解
16、析】【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求值，利用两角和的正弦函数公式可求的值，进而根据正弦定理可得的值（2）由（1）知，依题意得，在中，由余弦定理解得的值，进而根据三角形的面积公式即可求解【详解】（1）在中，由正弦定理知，得.（2）由（1）知，依题意得，在中，由余弦定理得，即，解得，（负值舍去）， ，从而.【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题20.一个圆锥底面半径为，高为，（1）求圆锥的表面积.（2）求圆锥的内接正四棱柱表面积的最大值【答案】（1）；（2
17、）.【解析】【分析】（1）计算出圆锥的母线长，然后利用圆锥的表面积公式计算即可；（2）设正四棱柱的底面对角线的一半为，根据轴截面上的两个三角形相似，列出比例式求出四棱柱的高，根据正四棱柱的表面积公式得出其表面积的表达式，然后利用二次函数的基本性质得出该正四棱柱表面积的最大值.【详解】（1）由题意可知，圆锥的母线长为，所以，该圆锥的表面积为；（2）如下图所示，设正四棱柱的底面对角线的一半为，即，解得，正四棱柱的底面是一个正方形，其底边长为，底面积为，所以，四棱柱的底面积为，由二次函数的基本性质可知，当时，正四棱柱的表面积有最大值，即.【点睛】本题考查圆锥的表面积的计算，同时也考查了圆锥的内接正四
18、棱柱表面积的计算，一般要利用轴截面并结合相似三角形来计算，考查运算求解能力，属于中等题.21.在;这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.在中，角的对边分别为，已知 ，.(1)求;(2)如图，为边上一点，求的面积【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）结合正弦定理，条件选择，则，再利用公式求；若选择条件，由正弦定理和诱导公式可得，再根据二倍角公式求得，再根据求解.（2）解法1:设，在中由余弦定理，解得，再由（1），解得边长，最后求得到的面积；解法2：由 可知，再根据正弦定理和面积公式 .【详解】解:若选择条件，则答案为:(1)在中，由正弦定理得，因为，所以
19、，所以，因为，所以.(2)解法1:设，易知在中由余弦定理得:，解得.所以在中，所以，所以，所以解法2:因为，所以，因为所以，所以因为为锐角，所以又所以所以若选择条件，则答案为:(1)因为，所以，由正弦定理得，因为，所以，因为，所以，则，所以.(2)同选择【点睛】本题考查正余弦定理，面积公式解三角形，意在考查转化与化归的思想，和计算能力，属于中档题型，本题属于开放性试题，需先选择条件，再求解.22.平面内有向量，（其中为坐标原点），点是直线上的一个动点.（1）若，求的坐标；（2）当取最小值时，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】先由题意，设，得到，（1）根据，得到，求出，即可得出结果；（2）先由题意，得到，得到当时，取最小值，求出，再由向量夹角公式，即可求出结果.【详解】因为点是直线上的一个动点，所以可设，因为，所以，（1）因为，所以，解得，所以；（2）因为，所以，显然，当时，取最小值，此时，所以.【点睛】本题主要考查由向量共线求参数的问题，以及求向量的夹角的问题，熟记向量共线的坐标表示，以及向量数量积的运算与夹角公式即可，属于常考题型.